Wenn Sie Trigonometrie oder Infinitesimalrechnung studieren – oder sich darauf vorbereiten – müssen Sie sich mit dem Einheitskreis vertraut machen. Der Einheitskreis ist Ein unverzichtbares Werkzeug zur Berechnung von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels. Aber wie funktioniert es? Und welche Informationen müssen Sie wissen, um sie nutzen zu können?

In diesem Artikel erklären wir, was der Einheitskreis ist und warum Sie ihn kennen sollten. Außerdem geben wir Ihnen drei Tipps, die Ihnen helfen, sich an die Verwendung des Einheitskreises zu erinnern.

Feature-Bild: Gustavb /Wikimedia

Der Einheitskreis: Eine grundlegende Einführung

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1. Das bedeutet, dass für jede gerade Linie, die vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt am Rand des Kreises gezogen wird, die Länge dieser Linie immer gleich 1 ist. (Dies bedeutet auch, dass der Durchmesser des Kreises gleich 2 ist, da der Durchmesser ist gleich der doppelten Länge des Radius.)

Typischerweise, Der Mittelpunkt des Einheitskreises liegt dort, wo sich die x-Achse und die y-Achse schneiden, oder an den Koordinaten (0, 0):

Der Einheitskreis oder Trigonometriekreis, wie er auch genannt wird, ist aus diesem Grund nützlich zu kennen Damit können wir ganz einfach den Kosinus, den Sinus und den Tangens eines beliebigen Winkels zwischen 0° und 360° (oder 0 und 2π Bogenmaß) berechnen.

Warteschlange in Java

Wie Sie im obigen Diagramm sehen können, erstellen Sie durch Zeichnen eines Radius in einem beliebigen Winkel (im Bild durch ∝ gekennzeichnet) ein rechtwinkliges Dreieck. In diesem Dreieck ist der Kosinus die horizontale Linie und der Sinus die vertikale Linie. Mit anderen Worten, Kosinus =x-Koordinate und Sinus = y-Koordinate. (Die längste Linie oder Hypotenuse des Dreiecks ist der Radius und daher gleich 1.)

Warum ist das alles wichtig? Denken Sie daran, dass Sie die Längen der Seiten eines Dreiecks mithilfe von berechnen können Satz des Pythagoras oder $a^2+b^2=c^2$ (in welchem A Und B sind die Längen der Seiten des Dreiecks und C ist die Länge der Hypotenuse).

Wir wissen, dass der Kosinus eines Winkels gleich der Länge der horizontalen Linie ist, der Sinus gleich der Länge der vertikalen Linie und die Hypotenuse gleich 1 ist. Deshalb können wir das sagen Die Formel für jedes rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis lautet wie folgt:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Da ^2=1$ ist, können wir diese Gleichung wie folgt vereinfachen:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Beachten Sie, dass Diese Werte können negativ sein abhängig vom gebildeten Winkel und dem Quadranten, in den die x- und y-Koordinaten fallen (ich werde dies später ausführlicher erklären).

Hier ist eine Übersicht aller wichtigen Winkel in Grad und Bogenmaß auf dem Einheitskreis:

Einheitskreis – Grad

Einheitskreis – Bogenmaß

Was aber, wenn kein Dreieck entsteht? Schauen wir uns an Was passiert, wenn der Winkel 0° beträgt und eine horizontale gerade Linie entlang der x-Achse entsteht:

Auf dieser Linie ist die x-Koordinate gleich 1 und die y-Koordinate gleich 0. Das wissen wir der Kosinus ist gleich der x-Koordinate und der Sinus ist gleich der y-Koordinate, also können wir das schreiben:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Was ist, wenn der Winkel 90° beträgt und eine perfekt vertikale Linie entlang der y-Achse ergibt?

Hier sehen wir, dass die x-Koordinate gleich 0 und die y-Koordinate gleich 1 ist. Daraus ergeben sich folgende Werte für Sinus und Cosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Dieser Slogan trifft auf jeden Fall zu, wenn Sie kein Mathematikliebhaber sind.

Warum Sie den Einheitskreis kennen sollten

Wie oben erwähnt, ist der Einheitskreis hilfreich, weil Es ermöglicht uns die einfache Lösung nach Sinus, Cosinus oder Tangens in jedem Grad oder Bogenmaß. Es ist besonders nützlich, das Einheitskreisdiagramm zu kennen, wenn Sie für Mathe-Hausaufgaben nach bestimmten trigonometrischen Werten suchen müssen oder sich auf das Studium der Analysis vorbereiten.

Aber wie genau kann Ihnen die Kenntnis des Einheitskreises helfen? Nehmen wir an, Sie erhalten bei einem Mathetest die folgende Aufgabe – und das ist auch der Fall nicht Es ist erlaubt, einen Taschenrechner zu verwenden, um es zu lösen:

$$sin30°$$

Wo fängst du an? Werfen wir noch einmal einen Blick auf das Einheitskreisdiagramm – dieses Mal mit allen großen Winkeln (in Grad und Bogenmaß) und ihren entsprechenden Koordinaten:

Jim.belk /Wikimedia

Lassen Sie sich nicht überfordern! Denken Sie daran, dass Sie nur nach $sin30°$ suchen. Wenn wir uns dieses Diagramm ansehen, können wir das sehen die y-Koordinate entspricht /2$ bei 30°. Und da die y-Koordinate dem Sinus entspricht, lautet unsere Antwort wie folgt:

$$sin30°=1/2$$

Zeiger in c

Aber was ist, wenn Sie ein Problem haben, bei dem Bogenmaß anstelle von Grad verwendet wird? Der Lösungsprozess ist immer noch derselbe. Angenommen, Sie erhalten ein Problem, das so aussieht:

$$cos{{3π}/4}$$

Anhand der obigen Tabelle können wir erneut erkennen, dass die x-Koordinate (oder der Kosinus) für ${3π}/4$ (was 135° entspricht) $-{√2}/2$ beträgt. So würde unsere Antwort auf dieses Problem dann aussehen:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

All dies ist ziemlich einfach, wenn Sie das obige Einheitskreisdiagramm als Referenz verwenden können. Meistens (wenn nicht sogar immer) ist dies jedoch nicht der Fall, und von Ihnen wird erwartet, dass Sie diese Art von Mathematikfragen nur mit Ihrem Gehirn beantworten.

Wie können Sie sich also an den Einheitskreis erinnern? Lesen Sie weiter für unsere Top-Tipps!

So merken Sie sich den Einheitskreis: 3 wichtige Tipps

In diesem Abschnitt geben wir Ihnen unsere Top-Tipps zum Merken des Triggerkreises, damit Sie ihn problemlos für jede mathematische Aufgabe verwenden können, die ihn erfordert.

Ich würde nicht empfehlen, den Einheitskreis mit Post-its zu üben, aber hey, es ist ein Anfang.

#1: Merken Sie sich gemeinsame Winkel und Koordinaten

Um den Einheitskreis effektiv nutzen zu können, müssen Sie dies tun Merken Sie sich die häufigsten Winkel (in Grad und Bogenmaß) sowie die entsprechenden x- und y-Koordinaten.

Das obige Diagramm ist ein hilfreiches Einheitskreisdiagramm, da es zusätzlich zu den entsprechenden Koordinatenpunkten entlang der x- und y-Achse alle wichtigen Winkel in Grad und Bogenmaß enthält.

Hier ist ein Diagramm, das dieselben Informationen in Tabellenform auflistet:

Nun können Sie gerne versuchen, sich all diese Koordinaten und Winkel zu merken, aber das hier ist eine Menge von Dingen, an die man sich erinnern kann.

Glücklicherweise gibt es einen Trick, mit dem Sie sich die wichtigsten Teile des Einheitskreises merken können.

Schauen Sie sich die Koordinaten oben an und Sie werden ein klares Muster bemerken: alle Punkte (außer denen bei 0°, 90°, 270° und 360°) zwischen nur drei Werten wechseln (ob positiv oder negativ):

• 1/2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Jeder Wert entspricht eine kurze, mittlere oder lange Linie für Kosinus und Sinus:

Folgendes bedeuten diese Längen:

Kurze horizontale oder vertikale Linie= 1/2$ Mittlere horizontale oder vertikale Linie= ${√2}/2$ Lange horizontale oder vertikale Linie= ${√3}/2$

Wenn Sie beispielsweise versuchen, $cos{π/3}$ zu lösen, sollten Sie sofort wissen, dass dieser Winkel (der 60° entspricht) anzeigt eine kurze horizontale Linie auf dem Einheitskreis. Daher, seine entsprechende x-Koordinate muss gleich /2$ sein (ein positiver Wert, da $π/3$ einen Punkt im ersten Quadranten des Koordinatensystems erzeugt).

Obwohl es hilfreich ist, sich alle Blickwinkel in der obigen Tabelle zu merken, sollten Sie Folgendes beachten Die bei weitem wichtigsten Aspekte, die es zu beachten gilt, sind die folgenden:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Behandeln Sie Ihre negativen und positiven Teile wie Kabel, die bei falschem Anschluss möglicherweise tödlich sein können.

#2: Erfahren Sie, was negativ und was positiv ist

Es ist wichtig, positive und negative x- und y-Koordinaten unterscheiden zu können, damit Sie den richtigen Wert für ein trigonometrisches Problem finden. Als eine Erinnerung, In Ob eine Koordinate auf dem Einheitskreis positiv oder negativ ist, hängt davon ab In welchen Quadranten (I, II, III oder IV) der Punkt fällt:

Byte-Array in String umwandeln

Hier ist ein Diagramm, das zeigt, ob eine Koordinate basierend auf dem Quadranten, in dem sich ein bestimmter Winkel (in Grad oder Bogenmaß) befindet, positiv oder negativ ist:

Angenommen, Sie erhalten bei einem Mathetest die folgende Aufgabe:

$$cos210°$$

Bevor Sie überhaupt versuchen, es zu lösen, sollten Sie erkennen können, dass die Antwort so sein wird eine negative Zahl da der Winkel 210° in Quadrant III fällt (wo sich die x-Koordinaten befinden). stets Negativ).

Mit dem Trick, den wir in Tipp 1 gelernt haben, können Sie nun herausfinden, dass ein Winkel von 210° entsteht eine lange horizontale Linie. Daher lautet unsere Antwort wie folgt:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Wissen, wie man Tangens löst

Schließlich ist es wichtig zu wissen, wie man all diese Informationen über den trigonometrischen Kreis sowie Sinus und Cosinus nutzt, um dazu in der Lage zu sein Lösen Sie nach dem Tangens eines Winkels auf.

Um den Tangens eines Winkels θ (entweder in Grad oder im Bogenmaß) zu ermitteln, müssen Sie in Trigonometrie einfach Folgendes tun: Teilen Sie den Sinus durch den Kosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Angenommen, Sie versuchen, dieses Problem zu lösen:

$$ an300°$$

Der erste Schritt besteht darin, eine Gleichung für Sinus und Cosinus aufzustellen:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Um nun den Tangens zu ermitteln, müssen wir den Sinus finden Und Kosinus von 300°. Sie sollten schnell erkennen können, dass der Winkel 300° in den vierten Quadranten fällt, also das bedeutet Der Kosinus oder die X-Koordinate ist positiv und der Sinus oder die Y-Koordinate ist negativ.

Das solltest du auch gleich wissen Der Winkel 300° entsteht eine kurze horizontale Linie und eine lange vertikale Linie. Daher beträgt der Kosinus (die horizontale Linie) /2$ und der Sinus (die vertikale Linie) $-{√3}/2$ (ein negativer y-Wert, da dieser Punkt im Quadranten IV liegt). .

Um nun die Tangente zu finden, müssen Sie nur noch Folgendes eingeben und lösen:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

Zeit, deine Mathefähigkeiten unter Beweis zu stellen!

Übungsfragensatz für den Einheitskreis

Nachdem Sie nun wissen, wie der Einheitskreis aussieht und wie man ihn verwendet, testen wir das Gelernte anhand einiger Übungsaufgaben.

Fragen

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Antworten

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. 1/2$
4. $-√3$

Beantworten Sie Erläuterungen

#1: $sin45°$

Bei diesem Problem sollten Sie zwei Informationen sofort identifizieren können:

Die Antwort wird positiv sein,da der Winkel 45° im Quadranten I liegt und der Sinus eines Winkels gleich der y-Koordinate ist

• Der Winkel 45° entsteht eine mittellange vertikale Linie (für ihre)

Da 45° eine positive, mittellange Linie anzeigt, die richtige Antwort ist ${√2}/2$.

Wenn Sie sich nicht sicher sind, wie Sie das herausfinden können, zeichnen Sie ein Diagramm, um festzustellen, ob die Länge der Linie kurz, mittel oder lang sein wird.

#2: $cos240°$

Wie bei Problem Nr. 1 oben gibt es zwei Informationen, die Sie bei diesem Problem schnell verstehen sollten:

Die Antwort wird negativ sein,da der Winkel 240° im Quadranten III liegt und der Kosinus eines Winkels gleich der x-Koordinate ist

• Der Winkel 240° entsteht eine kurze horizontale Linie (für Kosinus)

Da 240° eine negative, kurze Linie anzeigt, die richtige Antwort ist $-1/2$.

Erdnuss gegen Erdnuss

#3: $cos{5π}/3$

Im Gegensatz zu den oben genannten Problemen verwendet dieses Problem Bogenmaß statt Grad. Obwohl das Problem dadurch möglicherweise schwieriger zu lösen erscheint, werden in Wirklichkeit dieselben grundlegenden Schritte wie bei den beiden anderen Problemen verwendet.

Zunächst sollten Sie erkennen, dass der Winkel ${5π}/3$ im Quadranten IV liegt, also die x-Koordinate oder der Kosinus eine positive Zahl. Das sollte man auch erkennen können${5π}/3$schafft eine kurze horizontale Linie.

Dies gibt Ihnen genügend Informationen, um dies festzustellen Die Antwort ist 1/2 $.

#4: $ an{2π}/3$

Bei diesem Problem geht es um den Tangens statt um Sinus oder Cosinus, was bedeutet, dass wir etwas mehr Mathematik benötigen. Erinnern Sie sich zunächst einmal daran die Grundformel zum Finden der Tangente:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Nehmen wir nun den Grad, den wir erhalten haben – ${2π}/3$– und setzen Sie es in diese Gleichung ein:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Sie sollten nun in der Lage sein, Sinus und Cosinus separat zu berechnen, indem Sie das verwenden, was Sie über den Einheitskreis gelernt haben. Da der Winkel ${2π}/3$ im Quadranten II liegt, Die x-Koordinate (oder der Kosinus) ist negativ und die y-Koordinate (oder der Sinus) ist positiv.

Als nächstes sollten Sie in der Lage sein, allein anhand des Winkels zu bestimmen, welchen Winkel die horizontale Linie hat eine kurze Zeile, und die vertikale Linie ist eine lange Schlange. Das bedeutet, dass der Kosinus gleich $-1/2$ und der Sinus gleich ${√3}/2$ ist.

Nachdem wir diese Werte nun herausgefunden haben, müssen wir sie nur noch in unsere Ausgangsgleichung einsetzen und nach dem Tangens auflösen:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Was kommt als nächstes?

Wenn Sie demnächst am SAT oder ACT teilnehmen, müssen Sie einige trigonometrische Kenntnisse beherrschen, damit Sie im Mathematikteil gut abschneiden können. Werfen Sie einen Blick auf unsere Expertenleitfäden zum Auslösen von SAT und ACT, damit Sie genau lernen können, was Sie für den Testtag wissen müssen!

Neben dem Auswendiglernen des Einheitskreises, Es ist eine gute Idee zu lernen, wie man Zahlen und Antworten einfügt. Lesen Sie unsere Leitfäden, um alles über diese beiden nützlichen Strategien zu erfahren, die Sie bei jedem Mathetest verwenden können – einschließlich SAT und ACT!