Sie haben wahrscheinlich viel über Formen gelernt, ohne jemals wirklich darüber nachzudenken, was sie sind. Aber zu verstehen, was eine Form ist, ist unglaublich praktisch, wenn man sie mit anderen geometrischen Figuren wie Ebenen, Punkten und Linien vergleicht.
In diesem Artikel besprechen wir, was genau eine Form ist, sowie eine Reihe gängiger Formen, wie sie aussehen und welche wichtigen Formeln damit verbunden sind.
Was ist eine Form?
Wenn Sie jemand fragt, was eine Form ist, können Sie wahrscheinlich einige davon nennen. Aber „Form“ hat auch eine spezifische Bedeutung – es ist nicht nur ein Name für Kreise, Quadrate und Dreiecke.
Eine Form ist die Form eines Objekts – nicht wie viel Platz es einnimmt oder wo es sich physisch befindet, sondern die tatsächliche Form, die es annimmt. Ein Kreis wird nicht dadurch definiert, wie viel Platz er einnimmt oder wo man ihn sieht, sondern vielmehr durch die tatsächliche runde Form, die er annimmt.
Eine Form kann jede beliebige Größe haben und überall erscheinen; Sie werden durch nichts eingeschränkt, da sie eigentlich keinen Platz beanspruchen. Es fällt einem schwer, den Überblick zu behalten, aber denken Sie nicht, dass es sich dabei um physische Objekte handelt – eine Form kann dreidimensional sein und physischen Raum einnehmen, wie zum Beispiel eine Buchstütze in Pyramidenform oder eine zylinderförmige Dose Haferflocken usw es kann zweidimensional sein und keinen physischen Raum einnehmen , beispielsweise ein auf ein Blatt Papier gezeichnetes Dreieck.
Die Tatsache, dass sie eine Form hat, unterscheidet eine Form von einem Punkt oder einer Linie.
Ein Punkt ist nur eine Position; Es hat keine Größe, keine Breite, keine Länge, überhaupt keine Dimension.
Eine Linie hingegen ist eindimensional. Es erstreckt sich unendlich in beide Richtungen und hat keine Dicke. Es ist keine Form, weil es keine Form hat.
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Obwohl wir Punkte oder Linien möglicherweise als Formen darstellen, weil wir sie tatsächlich sehen müssen, haben sie eigentlich keine Form. Das ist es, was eine Form von den anderen geometrischen Figuren unterscheidet – sie ist zwei- oder dreidimensional, weil sie eine Form hat.
Würfel, wie die hier gezeigten, sind dreidimensionale Formen von Quadraten – beides sind Formen!
Die 6 Haupttypen zweidimensionaler geometrischer Formen
Es ist schwierig, sich eine Form nur anhand der Definition vorzustellen – was bedeutet es zu haben bilden aber keinen Platz beanspruchen? Werfen wir einen Blick auf einige verschiedene Formen, um besser zu verstehen, was es genau bedeutet, eine Form zu sein!
Wir klassifizieren Formen oft danach, wie viele Seiten sie haben. Eine „Seite“ ist ein Liniensegment (Teil einer Linie), das einen Teil einer Form bildet. Aber eine Form kann auch eine mehrdeutige Anzahl von Seiten haben.
Typ 1: Ellipsen
Ellipsen sind runde, ovale Formen, in denen ein bestimmter Punkt ( P ) hat die gleiche Summe der Entfernung von zwei verschiedenen Brennpunkten.
Oval
Ein Oval sieht ein bisschen wie ein geglätteter Kreis aus – es ist nicht perfekt rund, sondern irgendwie länglich. Allerdings ist die Klassifizierung ungenau. Es gibt viele, viele Arten von Ovalen, aber Die allgemeine Bedeutung ist, dass sie eine runde Form haben, die länglich ist, und nicht perfekt rund, wie es bei einem Kreis der Fall ist. Ein Oval ist eine beliebige Ellipse, bei der sich die Brennpunkte an zwei verschiedenen Positionen befinden.
Da ein Oval nicht perfekt rund ist, müssen die Formeln, mit denen wir es verstehen, angepasst werden.
Es ist auch wichtig, das zu beachten Den Umfang eines Ovals zu berechnen ist ziemlich schwierig Daher gibt es unten keine Umfangsgleichung. Verwenden Sie stattdessen einen Online-Rechner oder einen Rechner mit integrierter Umfangsfunktion, denn selbst die besten Umfangsgleichungen, die Sie von Hand erstellen können, sind Näherungswerte.
Definitionen
- $o{π}$: (ausgesprochen wie Kuchen) 3.141592…; ${ he circumference of a circle}/{ he adius of a circle}$; Wird verwendet, um alle möglichen Dinge im Zusammenhang mit Kreisen zu berechnen
- Alternative, Umfang : $Seite*4$
- Alternative, Bereich : ${Perimeter*Apothem}/2$
Kreis
Wie viele Seiten hat ein Kreis? Gute Frage! Leider gibt es keine gute Antwort, denn „Seiten“ haben eher mit Polygonen zu tun – einer zweidimensionalen Form mit mindestens drei geraden Seiten und typischerweise mindestens fünf Winkeln. Die bekanntesten Formen sind Polygone, aber Kreise haben keine geraden Seiten und definitiv keine fünf Winkel, sie sind also keine Polygone.
Wie viele Seiten hat ein Kreis? Null? Eins? Eigentlich ist es irrelevant – Die Frage gilt einfach nicht für Kreise.
Ein Kreis ist kein Polygon, aber was ist das? Ein Kreis ist eine zweidimensionale Form (ohne Dicke und Tiefe), die aus einer Kurve besteht, die immer den gleichen Abstand von einem Punkt in der Mitte hat. Ein Oval hat zwei Brennpunkte an unterschiedlichen Positionen, während die Brennpunkte eines Kreises immer an derselben Position liegen.
Definitionen
Formeln
Typ 2: Dreiecke
Dreiecke sind die einfachsten Polygone. Sie haben drei Seiten und drei Winkel, können aber unterschiedlich aussehen. Sie haben vielleicht schon von rechtwinkligen oder gleichschenkligen Dreiecken gehört – das sind verschiedene Arten von Dreiecken, aber alle haben drei Seiten und drei Winkel.
Weil es viele Arten von Dreiecken gibt, es gibt viele wichtiger Dreiecksformeln , viele davon komplexer als andere. Die Grundlagen sind unten aufgeführt, aber selbst die Grundlagen basieren auf der Kenntnis der Länge der Dreiecksseiten. Wenn Sie die Seiten des Dreiecks nicht kennen, können Sie dennoch verschiedene Aspekte des Dreiecks anhand von Winkeln oder nur einigen Seiten berechnen.
Definitionen
Formeln
Typ 3: Parallelogramme
Ein Parallelogramm ist eine Form mit gleichen gegenüberliegenden Winkeln, parallelen gegenüberliegenden Seiten und parallelen Seiten gleicher Länge. Möglicherweise fällt Ihnen auf, dass diese Definition für Quadrate und Rechtecke gilt – das liegt daran Quadrate und Rechtecke sind ebenfalls Parallelogramme ! Wenn Sie die Fläche eines Quadrats berechnen können, können Sie dies mit jedem Parallelogramm tun.
Definitionen
Formeln
Rechteck
Ein Rechteck ist eine Form mit parallelen gegenüberliegenden Seiten, kombiniert mit allen 90-Grad-Winkeln. Als eine Art Parallelogramm hat es gegenüberliegende parallele Seiten. In einem Rechteck, Ein Satz paralleler Seiten ist länger als der andere, sodass es wie ein längliches Quadrat aussieht.
Da es sich bei einem Rechteck um ein Parallelogramm handelt, können Sie zur Berechnung der Fläche und des Umfangs genau dieselben Formeln verwenden.
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Quadrat
Ein Quadrat ähnelt stark einem Rechteck, mit einer bemerkenswerten Ausnahme: Alle seine Seiten sind gleich lang. Wie Rechtecke, Quadrate haben alle 90-Grad-Winkel und parallele gegenüberliegende Seiten. Das liegt daran, dass ein Quadrat eigentlich eine Art Rechteck ist, also eine Art Parallelogramm!
Aus diesem Grund können Sie zur Berechnung der Fläche oder des Umfangs eines Quadrats dieselben Formeln verwenden wie für jedes andere Parallelogramm.
Rhombus
Eine Raute ist – Sie haben es erraten – eine Art Parallelogramm. Der Unterschied zwischen einer Raute und einem Rechteck oder Quadrat besteht darin, dass ihre Innenwinkel gleich groß sind nur das gleiche wie ihre diagonalen Gegensätze.
Aus diesem Grund, Eine Raute sieht ein bisschen aus wie ein etwas zur Seite geneigtes Quadrat oder Rechteck . Obwohl der Umfang auf die gleiche Weise berechnet wird, wirkt sich dies auf die Art und Weise aus, wie Sie die Fläche berechnen, da die Höhe nicht mehr mit der eines Quadrats oder Rechtecks übereinstimmt.
Definition
Formeln
Typ 4: Trapeze
Trapeze sind vierseitige Figuren mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. Im Gegensatz zu einem Parallelogramm Ein Trapez hat statt vier nur zwei gegenüberliegende parallele Seiten , was sich auf die Art und Weise auswirkt, wie Sie die Fläche und den Umfang berechnen.
Definitionen
Formeln
Typ 5: Pentagon
Ein Fünfeck ist eine fünfseitige Form. Normalerweise sehen wir regelmäßige Fünfecke, bei denen alle Seiten und Winkel gleich sind , aber es gibt auch unregelmäßige Fünfecke. Ein unregelmäßiges Fünfeck hat ungleiche Seiten und ungleiche Winkel und kann konvex – ohne nach innen gerichtete Winkel – oder konkav – mit einem Innenwinkel von mehr als 180 Grad – sein.
Da die Form komplexer ist, muss sie zur Berechnung ihrer Fläche in kleinere Formen unterteilt werden.
Definitionen
Formeln
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Typ 6: Sechsecke
Ein Sechseck ist eine sechsseitige Form, die dem Fünfeck sehr ähnlich ist. Am häufigsten sehen wir regelmäßige Sechsecke, aber sie können wie Fünfecke auch unregelmäßig und konvex oder konkav sein.
Ebenso wie bei Fünfecken ist die Flächenformel eines Sechsecks deutlich komplexer als die eines Parallelogramms.
Formeln
Was ist mit dreidimensionalen geometrischen Formen?
Es gibt auch dreidimensionale Formen, die nicht nur eine Länge und eine Breite, sondern auch Tiefe oder Volumen haben. Dies sind Formen, die man in der realen Welt sieht, wie einen kugelförmigen Basketball, einen zylindrischen Behälter mit Haferflocken oder ein rechteckiges Buch.
Dreidimensionale Formen sind von Natur aus komplexer als zweidimensionale Formen eine zusätzliche Dimension – der Platzbedarf, nicht nur die Form –, die bei der Berechnung von Fläche und Umfang berücksichtigt werden muss.
Mathematik mit 2D-Formen wie den oben genannten wird aufgerufen ebene Geometrie, da es sich speziell um Ebenen oder flache Formen handelt . Mathematik mit 3D-Formen wie Kugeln und Würfeln wird aufgerufen Volumengeometrie, weil es sich um Volumenkörper handelt, ein anderes Wort für 3D-Formen .
2D-Formen bilden die 3D-Formen, die wir jeden Tag sehen!
3 wichtige Tipps zum Arbeiten mit Formen
Es gibt so viele Arten von Formen, dass es schwierig sein kann, sich daran zu erinnern, welche welche sind und wie man ihre Flächen und Umfänge berechnet. Hier sind ein paar Tipps und Tricks, die Ihnen helfen, sich daran zu erinnern!
#1: Polygone identifizieren
Einige Formen sind Polygone, andere nicht. Eine der einfachsten Möglichkeiten, die Art der Form einzugrenzen, besteht darin, herauszufinden, ob es sich um ein Polygon handelt.
Ein Polygon besteht aus geraden Linien, die sich nicht schneiden. Welche der folgenden Formen sind Polygone und welche nicht?
Der Kreis und das Oval sind keine Polygone, was bedeutet, dass ihre Fläche und ihr Umfang unterschiedlich berechnet werden. Erfahren Sie oben mehr darüber, wie Sie sie mit $π$ berechnen!
#2: Auf parallele Seiten prüfen
Wenn es sich bei der betrachteten Form um ein Parallelogramm handelt, ist es im Allgemeinen einfacher, dessen Fläche und Umfang zu berechnen, als wenn es sich nicht um ein Parallelogramm handelt. Aber wie erkennt man ein Parallelogramm?
Es steckt genau im Namen – parallel. Ein Parallelogramm ist ein vierseitiges Polygon mit zwei Sätzen paralleler Seiten . Quadrate, Rechtecke und Rauten sind allesamt Parallelogramme.
Quadrate und Rechtecke verwenden die gleichen Grundformeln für Fläche: Länge mal Höhe. Außerdem ist es sehr einfach, den Umfang zu ermitteln, da man einfach alle Seiten zusammenzählt.
Bei Rauten wird es knifflig, da man die Diagonalen miteinander multipliziert und durch zwei dividiert.
Um festzustellen, um welche Art von Parallelogramm es sich handelt, fragen Sie sich, ob es alle 90-Grad-Winkel aufweist.
Wenn ja, ist es entweder ein Quadrat oder ein Rechteck . Ein Rechteck hat zwei Seiten, die etwas länger sind als die anderen, während die Seiten eines Quadrats alle gleich lang sind. In beiden Fällen berechnen Sie die Fläche, indem Sie die Länge mit der Höhe und dem Umfang multiplizieren, indem Sie alle vier Seiten addieren.
Wenn nicht, handelt es sich wahrscheinlich um eine Raute, die so aussieht, als ob Sie ein Quadrat oder Rechteck in die eine oder andere Richtung neigen würden. In diesem Fall ermitteln Sie die Fläche, indem Sie die beiden Diagonalen miteinander multiplizieren und durch zwei dividieren. Der Umfang wird auf die gleiche Weise ermittelt wie der Umfang eines Quadrats oder Rechtecks.
#3: Zählen Sie die Anzahl der Seiten
Formeln für Formen, die keine vier Seiten haben, können ziemlich knifflig sein, daher ist es am besten, sie auswendig zu lernen. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, sie klar zu halten, versuchen Sie, sich die griechischen Wörter für Zahlen zu merken. wie zum Beispiel:
Drei : drei, wie in dreifach, was drei von etwas bedeutet
Tetra : vier, wie in der Anzahl der Quadrate in einem Tetris-Block
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Penta : fünf, wie im Pentagon in Washington D.C., einem großen Gebäude in Form eines Pentagons
Hexa : sechs, wie im Hexadezimalformat, die sechsstelligen Codes, die häufig für Farben im Web- und Grafikdesign verwendet werden
Septen : sieben, wie in Septa, dem weiblichen Klerus der Game of Thrones-Religion, die sieben Götter hat
Okto : acht, wie in den acht Beinen eines Oktopus
Ennea : neun, wie in einem Enneagramm, ein gemeinsames Modell für menschliche Persönlichkeiten
Deka : zehn, wie bei einem Zehnkampf, bei dem die Athleten zehn Disziplinen absolvieren
Was kommt als nächstes?
Wenn Sie sich auf den ACT vorbereiten und ein wenig zusätzliche Hilfe zu Ihrer Geometrie benötigen, Schauen Sie sich diesen Leitfaden zur Koordinatengeometrie an!
Wenn Sie eher der SAT-Typ sind, Dieser Leitfaden zu Dreiecken im Abschnitt „SAT-Geometrie“ hilft Ihnen bei der Vorbereitung auf den Test !
Sie können nicht genug von ACT-Mathematik bekommen? Dieser Leitfaden zu Polygonen im ACT hilft Ihnen bei der Vorbereitung mit nützlichen Strategien und Übungsproblemen!