EULERS TOTIENT-FUNKTION – TECHCODEVIEW.COM

Eulers Totient-Funktion Φ(n) für eine Eingabe n ist die Anzahl der Zahlen in {1, 2, 3, …, n-1}, die teilerfremd zu n sind, d. h. die Zahlen, deren GCD (größter gemeinsamer Teiler) mit n ist 1.

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Beispiele:

Φ(1) = 1
gcd(1, 1) ist 1

Φ(2) = 1
gcd(1, 2) ist 1, aber gcd(2, 2) ist 2.

Φ(3) = 2
gcd(1, 3) ist 1 und gcd(2, 3) ist 1

Φ(4) = 2
gcd(1, 4) ist 1 und gcd(3, 4) ist 1

Φ(5) = 4
gcd(1, 5) ist 1, gcd(2, 5) ist 1,
gcd(3, 5) ist 1 und gcd(4, 5) ist 1

Φ(6) = 2
gcd(1, 6) ist 1 und gcd(5, 6) ist 1,

Empfohlene Praxis Euler-Tient-Funktion Probieren Sie es aus!

Wie berechnet man Φ(n) für eine Eingabe n?
A einfache Lösung besteht darin, alle Zahlen von 1 bis n-1 zu durchlaufen und Zahlen mit ggT mit n als 1 zu zählen. Nachfolgend finden Sie die Implementierung der einfachen Methode zur Berechnung der Totient-Funktion von Euler für eine eingegebene ganze Zahl n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

Javascript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Ausgabe

phi(1) = 1 phi(2) = 1 phi(3) = 2 phi(4) = 2 phi(5) = 4 phi(6) = 2 phi(7) = 6 phi(8) = 4 phi( 9) = 6 phi(10) = 4

Der obige Code ruft die gcd-Funktion O(n)-mal auf. Die zeitliche Komplexität der gcd-Funktion beträgt O(h), wobei h die Anzahl der Ziffern in einer kleineren Anzahl von zwei gegebenen Zahlen ist. Daher ist eine Obergrenze für die Zeitkomplexität der obigen Lösung ist O(N^2 log N) [Wie Φ es höchstens geben kann Log₁₀n Ziffern in allen Zahlen von 1 bis n]

Hilfsraum: O(log N)

Unten ist ein Bessere Lösung . Die Idee basiert auf der Produktformel von Euler, die besagt, dass der Wert der Gesamtfunktionen unter dem Produkt insgesamt Primfaktoren p von n liegt.

Die Formel besagt im Grunde, dass der Wert von Φ(n) gleich n multipliziert mit dem Nebenprodukt von (1 – 1/p) für alle Primfaktoren p von n ist. Beispiel: Wert von Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
Mit der in verwendeten Idee können wir alle Primfaktoren finden Das Post.

1) Initialisieren: Ergebnis = n
2) Führen Sie eine Schleife von „p“ = 2 bis sqrt(n) aus und führen Sie Folgendes für jedes „p“ aus.
a) Wenn p n teilt, dann
Set: result = result * (1.0 - (1.0 / (float) p));
Teilen Sie alle Vorkommen von p in n.
3) Ergebnis zurückgeben

Nachfolgend finden Sie die Implementierung der Eulerschen Produktformel.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  //Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind //wenn n eine Primzahl ist return (int)result; } // Treibercode int main() { int n;    for(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  //Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind //wenn n eine Primzahl ist return (int)result; } // Treiberprogramm zum Testen der obigen Funktion int main() { int n;  für (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  //Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind //wenn n eine Primzahl ist return (int)result;  } // Treiberprogramm zum Testen der obigen Funktion public static void main(String args[]) { int n;  für (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : result -= result // n #Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind #wenn n eine Primzahl ist, return int(result) # Driver Programm zum Testen der obigen Funktion für n im Bereich (1, 11): print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Dieser Code wurde # von Nikita Tiwari beigesteuert.>

 // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  //Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind //wenn n eine Primzahl ist return (int)result;  } // Treibercode public static void Main() { int n;  für (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>

Javascript

 // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  //Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind //wenn n eine Primzahl ist return parseInt(result); } // Treibercode für (let n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>

PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $result -= $result / $n;  //Da in der Menge {1,2,....,n-1} alle Zahlen relativ prim mit n sind //wenn n eine Primzahl ist, return intval($result); } // Treibercode für ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>

Ausgabe

Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4

Zeitkomplexität: O(Φ n log n)
Hilfsraum: O(1)

Mit der obigen Methode können wir Gleitkommaberechnungen vermeiden. Die Idee besteht darin, alle Primfaktoren und ihre Vielfachen zu zählen und diese Zahl von n zu subtrahieren, um den Gesamtfunktionswert zu erhalten (Primfaktoren und Vielfache von Primfaktoren haben ggT nicht als 1)

1) Ergebnis als n initialisieren
2) Betrachten Sie jede Zahl „p“ (wobei „p“ von 2 bis Φ(n) variiert).
Wenn p n teilt, gehen Sie wie folgt vor
a) Subtrahiere alle Vielfachen von p von 1 bis n [alle Vielfachen von p
wird einen gcd von mehr als 1 (mindestens p) mit n haben]
b) Aktualisieren Sie n, indem Sie es wiederholt durch p dividieren.
3) Wenn das reduzierte n mehr als 1 ist, entfernen Sie alle Vielfachen
von n aus Ergebnis.

Nachfolgend finden Sie die Implementierung des obigen Algorithmus.

C++

 // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;    Ergebnis zurückgeben; } // Treibercode int main() { int n;  for(n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>

 // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  Ergebnis zurückgeben; } // Treiberprogramm zum Testen der obigen Funktion int main() { int n;  für (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n;  Ergebnis zurückgeben; } // Treibercode public static void main (String[] args) { int n;  für (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>

Python3

 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): result -= int(result / n); Ergebnis zurückgeben; # Treibercode für n im Bereich(1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Dieser Code wurde # von mits>'> beigesteuertC# // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) Ergebnis -= Ergebnis / n; Ergebnis zurückgeben; } // Treibercode static public void Main () { int n;  für (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>Javascript // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) result -= parseInt(result / n);  Rückgabeergebnis; } // Treibercode für (let n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>PHP <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $result -= (int)$result / $n;  $result zurückgeben; } // Treibercode für ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>  
  Ausgabe  Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4
     Zeitkomplexität:    O(Φ n log n)  
    Hilfsraum:    O(1)
 Nehmen wir ein Beispiel, um den obigen Algorithmus zu verstehen.
 n = 10.  
Initialisieren: Ergebnis = 10  
  
2 ist ein Primfaktor, also n = n/i = 5, Ergebnis = 5  
3 ist kein Primfaktor.  
  
Die for-Schleife stoppt nach 3, da 4*4 nicht kleiner oder gleich ist  
bis 10.  
  
Nach der for-Schleife ist das Ergebnis = 5, n = 5  
Da n> 1, ist Ergebnis = Ergebnis - Ergebnis/n = 4
    Einige interessante Eigenschaften der Eulerschen Totient-Funktion

1) Für ein Primzahl p ,phi(p) = p – 1

enthält Teilzeichenfolge Java

Nachweisen :

Beispiele:

phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28

2) Für zwei Primzahlen a und b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , benutzt in RSA-Algorithmus

Nachweisen :

phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), wobei a und b Primzahlen sindphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Gesamtzahl von 1 bis ab = ab Gesamtzahl der Vielfachen von a von 1 bis ab =frac{a cdot b} {a}=bGesamtes Vielfaches von b von 1 bis ab =frac{a cdot b} {b}=a Beispiel: a = 5, b = 7, ab = 35Vielfache von a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} Vielfache von b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35} Kann es zu Doppelzählungen kommen? (Sehen Sie sich das obige Beispiel genau an, versuchen Sie es mit anderen Primzahlen auch zum besseren Verständnis)Natürlich haben wir nachgezähltab zweimal in Vielfachen von a und Vielfachen von b also, Gesamtzahl der Vielfachen = a + b - 1 (womitgcd eq 1mitab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), Entfernen aller Zahlen mitgcd eq 1mitab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)

Beispiele:

phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12

3) Für eine Primzahl p ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}

Nachweisen :

Base64-Javascript-Dekodierung

phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, wobei p eine Primzahl istGesamtzahlen von 1 bisp ^ k = p ^ kGesamtes Vielfaches vonp = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Entfernen dieser Vielfachen wie bei ihnengcd eq 1 Beispiel : p = 2, k = 5,p ^ k= 32Vielfache von 2 (wie bei ihnengcd eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}

Beispiele:

phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162

4) Für zwei Nummer a und b phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}

Sonderfall: gcd(a, b) = 1

phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)

Beispiele:

Besonderer Fall : gcd(a, b) = 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8 Normalfall: gcd(a, b) eq 1 , phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16

5) Die Summe der Werte der Gesamtfunktionen aller Teiler von n ist gleich n.

Gauß

Beispiele:

n = 6
Faktoren = {1, 2, 3, 6}
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8Faktoren = {1, 2, 4, 8}n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10Faktoren = {1, 2, 5, 10}n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10

6) Das bekannteste und wichtigste Merkmal kommt in zum Ausdruck Satz von Euler :

Der Satz besagt, dass wenn n und a teilerfremd sind
(oder relativ teilerfremde) positive ganze Zahlen

A^Φ(n)Φ 1 (mod n)

Der RSA-Kryptosystem basiert auf diesem Satz:
In dem besonderen Fall, dass m eine Primzahl ist, beispielsweise p, wird der Satz von Euler zum sogenannten Satz Fermats kleiner Satz :

A^{S. 1}Φ 1 (gegen p)

7) Die Anzahl der Generatoren einer endlichen zyklischen Gruppe unter Modulo-n-Addition beträgt Φ(n) .

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Verweise:
http://e-maxx.ru/algo/euler_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

Fangen Sie Java und probieren Sie es aus

https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html

http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/