In diesem Artikel befassen wir uns mit der Fourier-Transformationsanalyse oder der Fourier-Transformation in der Schaltungsanalyse. Die Fourier-Transformation ist im Grunde eine mathematische Operation, die ein Signal in seine Frequenzkomponenten zerlegt. Vereinfacht ausgedrückt wandelt es ein Signal vom Zeitbereich in den Frequenzbereich um. Der Zeitbereich stellt das Signal als Funktion der Zeit dar, während der Frequenzbereich das Signal als Funktion der Frequenz darstellt.
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation ist ein erstaunlich leistungsfähiges Werkzeug zur Analyse des Verhaltens verschiedener Arten von Schaltkreisen, da sie es uns ermöglicht, zu sehen, wie der Schaltkreis bei verschiedenen Frequenzen reagiert. Dies ist für verschiedene Arten von Aufgaben nützlich, wie zum Beispiel:
- Analyse der Reaktion einer Schaltung auf beliebige Eingangssignale: Damit lassen sich problemlos Schaltkreise entwerfen, die eine große Bandbreite an Eingangssignalen wie Audio- oder Videosignale verarbeiten können.
- Identifizieren der Resonanzfrequenzen eines Stromkreises: Resonanzfrequenzen sind die Frequenzen, bei denen eine Schaltung die Signale verstärkt. Diese Informationen können verwendet werden, um Schaltkreise zu entwerfen, die bei bestimmten Frequenzen arbeiten sollen, beispielsweise als Filter oder Oszillatoren.
- Entwerfen von Filtern zum Entfernen unerwünschter Frequenzkomponenten aus einem Signal: Filter können hauptsächlich dazu verwendet werden, Rauschen oder Interferenzen aus einem Signal zu entfernen oder bestimmte Frequenzkomponenten aus einem bestimmten Signal zu extrahieren.
- Die Stabilität einer Schaltung verstehen: Ein stabiler Stromkreis ist ein Stromkreis, der einfach nicht schwingt oder divergiert. Die Fourier-Transformation kann verwendet werden, um die Stabilität einer Schaltung zu analysieren, indem man einfach den Frequenzgang der Schaltung betrachtet.
Die Fourier-Transformation wird auch in vielen anderen Bereichen verwendet, darunter in der Signalverarbeitung, Bildverarbeitung und Quantenmechanik.
In diesem Artikel werden wir die folgenden Themen diskutieren, die sich auf die Fourier-Transformation in der Schaltkreisanalyse beziehen:
- Arten von Fourier-Transformationen
- Eigenschaften der Fourier-Transformation
- Anwendungen der Fourier-Transformation in der Schaltungsanalyse
Wir werden auch die Beispiele und Abbildungen besprechen, um das richtige Verständnis der Konzepte zu erleichtern.
Den Grund der Evolution verstehen
Die Fourier-Transformation wurde erstmals im frühen 19. Jahrhundert vom bekannten französischen Mathematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier entwickelt. Sein großes Interesse galt der Lösung der Wärmeleitungsgleichung, einer partiellen Differentialgleichung. Fourier erkannte, dass er die Gleichung lösen konnte, indem er einfach die anfängliche Temperaturverteilung in ihre konstituierenden Sinus- und Kosinuswellen zerlegte.
Die Fourier-Transformation wurde seitdem auf eine Vielzahl physikalischer und technischer Probleme angewendet, darunter auch die Schaltungsanalyse. Bei der Schaltungsanalyse kann die Fourier-Transformation verwendet werden, um die Reaktion einer Schaltung auf beliebige Eingangssignale zu analysieren.
Auswirkungen der Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation hat eine Vielzahl wichtiger Auswirkungen auf die Schaltungsanalyse. Erstens ermöglicht es uns, die Reaktion einer Schaltung auf beliebige Eingangssignale zu analysieren. Zweitens ermöglicht es uns, die Resonanzfrequenzen eines Schaltkreises zu identifizieren. Danach können wir im dritten Schritt Filter entwerfen, mit denen unerwünschte Frequenzkomponenten aus einem Signal entfernt werden.
Fourier-Transformationsformel
Die Fourier-Transformation eines Signals x(t) wird mit X(f) bezeichnet und ist wie folgt definiert:
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> Hier ist f die Frequenz im Parameter Hertz.
Die in der Fourier-Transformationsformel verwendete Notation lautet:
- x(t) ist ein Zeitbereichssignal.
- X(f) ist das Frequenzbereichssignal.
- j ist eine imaginäre Einheit.
- e −j2πft ist eine komplexe Exponentialfunktion.
Arten der Fourier-Transformation
Es gibt hauptsächlich zwei Arten von Fourier-Transformationen:
- Kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT)
- Diskrete Fourier-Transformation (DFT) .
Kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT)
Die CFT ist für zeitkontinuierliche Signale definiert, bei denen es sich grundsätzlich um Signale handelt, die zu jeder Zeit einen beliebigen Wert annehmen können.
Die kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT) eines Signals x(t) kann wie folgt definiert werden:
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> wobei f die Frequenz in Hertz ist.
Die in der CFT-Formel verwendete Notation lautet:
- x(t) ist das Zeitbereichssignal.
- X(f) ist das Frequenzbereichssignal.
- j ist die imaginäre Einheit.
- e −j2πft ist die komplexe Exponentialfunktion.
Ableitung des CFT
Die CFT lässt sich leicht aus der Fourier-Reihe eines periodischen Signals ableiten. Die Fourier-Reihe eines periodischen Signals x(t) mit der Periode T ist gegeben durch:
x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}> Hier Cn sind die Fourier-Koeffizienten des Signals.
Die CFT kann erhalten werden, indem man einfach den Grenzwert der Fourier-Reihe nimmt, wenn sich die Periode T der Unendlichkeit nähert. In diesem Grenzfall werden die Fourier-Koeffizienten zu stetigen Funktionen der Frequenz und die Fourier-Reihe wird zur CFT.
Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
Die DFT ist für zeitdiskrete Signale definiert, also Signale, die nur zu bestimmten Zeiten bestimmte Werte annehmen können.
Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) eines zeitdiskreten Signals x[n] kann wie folgt definiert werden:
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Dabei ist k der Frequenzindex und N die Länge des jeweiligen Signals.
Die in der DFT-Formel verwendete Notation lautet:
Warum ist die Zeichenfolge in Java unveränderlich?
- x[n] ist das zeitdiskrete Signal.
- X[k] ist das Frequenzbereichssignal.
- j ist die imaginäre Einheit.
- e −j2πkn/N
- ist die komplexe Exponentialfunktion.
Ableitung der DFT
Vereinfacht ausgedrückt ist CFT grundsätzlich definiert für zeitkontinuierliche Signale , während die DFT definiert ist für zeitdiskrete Signale . Die DFT wird hauptsächlich als Fourier-Transformationstyp in der Schaltungsanalyse verwendet, da die meisten elektronischen Schaltungen mit zeitdiskreten Signalen arbeiten.
Die DFT eines zeitdiskreten Signals x[n] wird mit X[k] bezeichnet und ist wie folgt definiert:
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Dabei ist k der Frequenzindex und N die Länge des Signals.
Die DFT kann aus der CFT abgeleitet werden, indem die CFT einfach bei diskreten Frequenzen abgetastet wird:
X[k] = X(f = k/N)>
Beispiele für Fourier-Transformation mit Diagramm
Betrachten wir die folgende Beispielschaltung:
Einfache RC-Schaltung
Hier ist der Eingang der Schaltung eine Rechteckwelle und der Ausgang eine gefilterte Rechteckwelle. Wobei die Fourier-Transformation der Eingangsrechteckwelle eine Reihe von Impulsen bei den harmonischen Frequenzen ist. Die Fourier-Transformation der ausgegebenen Rechteckwelle ist eine Reihe gedämpfter Impulse bei harmonischen Frequenzen.
Hier ist das folgende Diagramm, das die Fourier-Transformationen der Eingangs- und Ausgangssignale zeigt:
Eingabe-Ausgabe der Fourier-Transformation
Eigenschaften
Die Fourier-Transformation hat eine Reihe wichtiger Eigenschaften, darunter:
- Die Fourier-Transformation eines realen Signals ist konjugiert symmetrisch.
- Die Fourier-Transformation einer Linearkombination von Signalen ist eine Linearkombination der Fourier-Transformationen der einzelnen Signale.
- Die Fourier-Transformation eines zeitverschobenen Signals ist ein frequenzverschobenes Signal.
- Die Fourier-Transformation eines frequenzverschobenen Signals ist ein zeitverschobenes Signal.
Eigenschaften
Die Fourier-Transformation eines Signals weist folgende Eigenschaften auf:
- Die Größe der Fourier-Transformation eines Signals stellt die Amplitude der Frequenzkomponenten des Signals dar.
- Die Phase der Fourier-Transformation eines Signals stellt die Phase der Frequenzkomponenten des Signals dar.
Anwendungen
Die Fourier-Transformation hat in der Schaltkreisanalyse zahlreiche Anwendungen, darunter:
- Analyse der gegebenen Reaktion einer Schaltung auf beliebige Eingangssignale.
- Identifizieren der Resonanzfrequenzen eines Stromkreises.
- Entwerfen von Filtern zum Entfernen unerwünschter Frequenzkomponenten aus einem Signal.
Vorteile und Nachteile
Einige der Vor- und Nachteile der Fourier-Transformation sind:
In welchem Jahr wurde der Computer erfunden?
Vorteile:
- Die Fourier-Transformation ist ein äußerst leistungsfähiges Werkzeug zur Analyse des Frequenzgangs einer Schaltung.
- Es kann zum Entwerfen von Filtern verwendet werden, um unerwünschte Frequenzkomponenten aus einem Signal zu entfernen.
Nachteile:
- Die Fourier-Transformation kann auch viel komplexer zu verstehen und zu verwenden sein.
- Die Berechnung der Fourier-Transformation kann rechenintensiver sein.
Unterschied zwischen Laplace-Transformation und Fourier-Transformation
Grundsätzlich ähnelt die Fourier-Transformation größtenteils der Laplace-Transformation, es gibt jedoch einige wesentliche Unterschiede. Die Fourier-Transformation ist für zeitkontinuierliche Signale definiert, während die Laplace-Transformation sowohl für zeitkontinuierliche als auch für zeitdiskrete Signale definiert ist. Darüber hinaus eignet sich die Fourier-Transformation nicht gut für die Analyse transienter Signale, während die Laplace-Transformation dabei nützlich ist.
| Eigentum | Laplace-Transformation | Fourier-Transformation |
|---|---|---|
| Domain | Zeit und Häufigkeit | Nur Häufigkeit |
| Definition | X(s)=∫ −∞ ∞ x(t)e −st dt | X(f)=∫ −∞ ∞ x(t)e −j2πft dt |
| Anwendungen | Schaltungsanalyse, Signalverarbeitung, Regelungstheorie | Schaltungsanalyse, Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Quantenmechanik |
Vorwärts- und Rückwärts-Fourier-Transformation
Die Vorwärts-Fourier-Transformation kann ein Signal vom Zeitbereich in den Frequenzbereich umwandeln. Die inverse Fourier-Transformation soll ein Signal vom Frequenzbereich in den Zeitbereich umwandeln.
Die inverse Fourier-Transformation ist wie folgt definiert:
x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df> Vorwärtssinustransformation und Fourier-Cosinustransformation
Die Vorwärtssinustransformation und die Vorwärtskosinustransformation sind grundsätzlich zwei Varianten der Fourier-Transformation. Die Vorwärtssinustransformation ist wie folgt definiert:
S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt> Die Vorwärtskosinustransformation ist wie folgt definiert:
C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt> Die Vorwärtssinustransformation und die Vorwärtskosinustransformation sind sehr nützlich für die Analyse von Signalen mit gerader bzw. ungerader Symmetrie.
Abschluss
Insgesamt ist die Fourier-Transformation ein äußerst wichtiges Werkzeug für die Schaltungsanalyse. Es gibt uns die Möglichkeit zu verstehen, wie Schaltkreise auf unterschiedliche Frequenzen reagieren, was für den Entwurf und die Analyse elektronischer Schaltkreise wichtiger ist. Die Fourier-Transformation hat verschiedene Anwendungen in der Schaltungsanalyse, einschließlich der Analyse der Reaktion einer Schaltung auf beliebige Eingangssignale, der Identifizierung der Resonanzfrequenzen einer bestimmten Schaltung, der Entwicklung von Filtern zur Entfernung unerwünschter Frequenzkomponenten aus dem Signal und dem Verständnis der Stabilität von eine Schaltung.
Die Fourier-Transformation wird auch in vielen anderen Bereichen verwendet, darunter in der Signalverarbeitung, Bildverarbeitung und der Quantenmechanik. Es ist ein sehr vielseitiges und leistungsstarkes Werkzeug mit einem breiten Anwendungsspektrum.
Hier sind einige zusätzliche bewusste Gedanken zur Bedeutung der Fourier-Transformation in der Schaltkreisanalyse:
Prioritätswarteschlange Java
- Die Fourier-Transformation ermöglicht uns einfach die Analyse linearer und nichtlinearer Schaltkreise.
- Die Fourier-Transformation kann zur Analyse verschiedener Arten von Schaltungen im Zeitbereich oder im Frequenzbereich verwendet werden.
- Die Fourier-Transformation kann für Analyseschaltungen mit mehreren Ein- und Ausgängen verwendet werden.
- Die Fourier-Transformation kann zur Analyse von Schaltkreisen mit Rückkopplungsschleifen verwendet werden.
Die Fourier-Transformation ist ein leistungsstarkes Werkzeug, mit dem sich eine Vielzahl von Schaltungsproblemen analysieren lassen. Es ist ein unverzichtbares Werkzeug für jeden Schaltungsingenieur.
Häufig gestellte Fragen
1. Was ist der Unterschied zwischen der Fourier-Transformation und der Laplace-Transformation?
Die Laplace-Verwendung sowohl für CFT als auch für DFT, jedoch nicht für die Fourier-Transformation
2. Warum ist die Fourier-Transformation in der Schaltungsanalyse wichtig?
Die Fourier-Transformation ist in der Schaltkreisanalyse wichtiger, da sie es uns ermöglicht, den Frequenzgang von Schaltkreisen zu analysieren. Der Frequenzgang
3. Welche Anwendungen gibt es für die Fourier-Transformation in der Schaltkreisanalyse?
Die Fourier-Transformation kann für eine Vielzahl von Aufgaben in der Schaltungsanalyse verwendet werden, wie zum Beispiel:
Analysieren der Reaktion einer Schaltung auf beliebige Eingangssignale.
Identifizieren der Resonanzfrequenzen eines Stromkreises.
Entwerfen von Filtern zum Entfernen unerwünschter Frequenzkomponenten aus einem Signal.
Die Stabilität einer Schaltung verstehen.