Regel 2

Wenn die linke und rechte Seite der Ausdrücke vertauscht werden, kehrt sich die Ungleichung um. Man nennt es umgekehrte Eigenschaft.

• Wenn a> b, dann b
• Wenn ein A
• Wenn a ≥ b, dann ist b ≤ a
• Wenn a ≤ b, dann ist b ≥ a

Regel 3

Wenn auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Konstante k addiert oder subtrahiert wird, sind beide Seiten der Ungleichung gleich.

• Wenn a> b, dann a + k> b + k
• Wenn a> b, dann a – k> b – k

Ähnliches gilt für andere Ungleichungen.

• Wenn ein
• Wenn ein
• Wenn a ≤ b, dann a + k ≤ b + k
• Wenn a ≤ b, dann a – k ≤ b – k
• Wenn a ≥ b, dann a + k ≥ b + k
• Wenn a ≥ b, dann a – k ≥ b – k

Die Richtung der Ungleichung ändert sich nicht, nachdem eine Konstante addiert oder subtrahiert wurde.

Regel 4

Wenn k eine positive Konstante ist, die mit beiden Seiten der Ungleichung multipliziert oder dividiert wird, ändert sich die Richtung der Ungleichung nicht.

• Wenn a> b, dann ak> bk
• Wenn ein
• Wenn a ≤ b, dann gilt ak ≤ bk
• Wenn a ≥ b, dann ist ak ≥ bk

Wenn k eine negative Konstante ist, die mit beiden Seiten der Ungleichung multipliziert oder dividiert wird, dann kehrt sich die Richtung der Ungleichung um.

• Wenn a> b, dann ak
• Wenn a> b, dann ak
• Wenn a ≥ b, dann gilt ak ≤ bk
• Wenn a ≤ b, dann ist ak ≥ bk

Regel 5

Das Quadrat jeder Zahl ist immer größer oder gleich Null.

• A²≥ 0

Regel 6

Das Ziehen von Quadratwurzeln auf beiden Seiten der Ungleichung ändert nichts an der Richtung der Ungleichung.

• Wenn a> b, dann √a> √b
• Wenn ein
• Wenn a ≥ b, dann √a ≥ √b
• Wenn a ≤ b, dann √a ≤ √b

Diagramm für Ungleichungen

Ungleichungen bestehen entweder aus einer oder zwei Variablen, oder wir haben ein System von Ungleichungen. Alle Ungleichungen können auf der kartesischen Ebene dargestellt werden, wenn diese nur zwei Variablen enthält. Ungleichungen in einer Variablen werden auf reellen Linien dargestellt und zwei Variablen werden auf der kartesischen Ebene dargestellt.

Intervallnotation für Ungleichungen

Wichtige Punkte zum Schreiben von Intervallen für Ungleichungen:

• Im Falle größer und gleich ( ≥ ) oder kleiner als gleich ( ≤ ) sind die Endwerte enthalten, daher werden geschlossene oder eckige Klammern [ ] verwendet.
• Im Falle von mehr als ( > ) oder weniger als ( < ), die Endwerte werden ausgeschlossen, daher werden offene Klammern () verwendet.
• Für positive und negative Unendlichkeiten werden offene Klammern () verwendet.

Die folgende Tabelle stellt Intervalle für verschiedene Ungleichungen dar:

Diagramm für lineare Ungleichungen mit einer Variablen

Aus der folgenden Tabelle können wir verstehen, wie verschiedene lineare Ungleichungen mit einer Variablen auf einer reellen Linie dargestellt werden.

Ungleichheit	Intervall	Graph
x> 1	(1, ∞)	Lineare Ungleichungen mit einer Variablen
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Diagramm für lineare Ungleichungen mit zwei Variablen

Nehmen wir ein Beispiel für lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Betrachten Sie die lineare Ungleichung 20x + 10y ≤ 60, da die möglichen Lösungen für eine gegebene Ungleichung (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0) sind ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1 ), (2,2), (3,0) und auch alle Punkte darüber hinaus sind ebenfalls die Lösung der Ungleichung.

Lassen Sie uns den Graphen der gegebenen Lösungen zeichnen.

Der schattierte Bereich im Diagramm stellt die möglichen Lösungen für die gegebene Ungleichung dar.

Lesen Sie auch

• Grafische Lösung linearer Ungleichungen in zwei Variablen

Arten von Ungleichheiten

Es gibt verschiedene Arten von Ungleichheiten, die wie folgt klassifiziert werden können:

• Polynomielle Ungleichungen: Polynomielle Ungleichungen sind Ungleichungen, die in Form von Polynomen dargestellt werden können. Beispiel: 2x + 3 ≤ 10.
• Absolutwertungleichungen: Absolutwertungleichungen sind die Ungleichungen innerhalb des Absolutwertzeichens. Beispiel: |y + 3| ≤ 4.
• Rationale Ungleichungen: Rationale Ungleichungen sind Ungleichungen mit Brüchen und Variablen. Beispiel: (x + 4) / (x – 5) <5.

Wie man Ungleichheiten löst

Um die Ungleichungen zu lösen, können wir die folgenden Schritte verwenden:

• Schritt 1: Schreiben Sie die Ungleichung in Form der Gleichung.
• Schritt 2: Lösen Sie die Gleichung und ermitteln Sie die Wurzeln der Ungleichungen.
• Schritt 3: Stellen Sie die erhaltenen Werte auf dem Zahlenstrahl dar.
• Schritt 4: Stellen Sie die ausgeschlossenen Werte auch auf dem Zahlenstrahl mit den offenen Kreisen dar.
• Schritt 5: Finden Sie die Intervalle vom Zahlenstrahl.
• Schritt 6: Nehmen Sie aus jedem Intervall einen Zufallswert, fügen Sie diese Werte in die Ungleichung ein und prüfen Sie, ob sie die Ungleichung erfüllen.
• Schritt 7: Die Lösung für die Ungleichung sind die Intervalle, die die Ungleichung erfüllen.

So lösen Sie Polynomungleichungen

Polynomielle Ungleichungen umfassen lineare Ungleichungen, quadratische Ungleichungen, kubische Ungleichungen usw. Hier lernen wir, lineare und quadratische Ungleichungen zu lösen.

Lineare Ungleichungen lösen

Lineare Ungleichungen können wie lineare Gleichungen gelöst werden, jedoch nach der Ungleichungsregel. Lineare Ungleichungen können mit einfachen algebraischen Operationen gelöst werden.

Ein- oder zweistufige Ungleichungen

Bei der einstufigen Ungleichung handelt es sich um Ungleichungen, die in einem Schritt gelöst werden können.

Beispiel: Lösen: 5x <10

Lösung:

⇒ 5x <10 [Beide Seiten durch 5 teilen]

⇒ x <2 oder (-∞, 2)

Zweistufige Ungleichungen sind Ungleichungen, die in zwei Schritten gelöst werden können.

Beispiel: Lösen Sie: 4x + 2 ≥ 10

Lösung:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Subtrahieren von 2 von beiden Seiten]

⇒ 4x ≥ 8 [Beide Seiten durch 4 teilen]

⇒ x ≥ 2 oder [2, ∞)

Zusammengesetzte Ungleichungen

Zusammengesetzte Ungleichungen sind Ungleichungen, bei denen mehrere Ungleichungen durch und oder oder getrennt sind. Um zusammengesetzte Ungleichungen zu lösen, lösen Sie die Ungleichungen separat und führen Sie für die endgültige Lösung die Schnittmenge der erhaltenen Lösungen durch, wenn die Ungleichungen durch und getrennt sind, und führen Sie die Vereinigung der erhaltenen Lösungen durch, wenn die Ungleichungen durch oder getrennt sind.

Beispiel: Lösen Sie: 4x + 6 <10 und 5x + 2 < 12

Lösung:

Lösen Sie zunächst 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [6 von beiden Seiten subtrahieren]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 oder (-∞, 1) —–(i)

Zweitens: 5x + 2 <12 lösen

⇒ 5x + 2 <12 [Subtrahieren von 2 von beiden Seiten]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 oder (-∞, 2) ——-(ii)

Aus (i) und (ii) haben wir zwei Lösungen x <1 und x <2.

Für die endgültige Lösung nehmen wir den Schnittpunkt, da die Ungleichungen durch und getrennt sind.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Die endgültige Lösung für eine gegebene zusammengesetzte Ungleichung ist (-∞, 1).

Mehr lesen

• Zusammengesetzte Ungleichungen
• Textaufgaben zu linearen Ungleichungen
• Dreiecksungleichung

Quadratische Ungleichungen lösen

Nehmen wir ein Beispiel, um Absolutwertungleichungen zu lösen.

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Lösung:

Im Folgenden sind die Schritte zur Lösung der Ungleichung aufgeführt: x²– 7x + 6 ≥ 0

Schritt 1: Schreiben Sie die Ungleichung in Form der Gleichung:

X²– 7x + 6 = 0

Schritt 2: Löse die Gleichung:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 und x = 1

Aus dem obigen Schritt erhalten wir die Werte x = 6 und x = 1

Schritt 3: Aus den obigen Werten ergeben sich die Intervalle (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Da die Ungleichung ≥ ist, die gleich einschließt, verwenden wir geschlossene Klammern für die erhaltenen Werte.

Schritt 4: Zahlenstrahldarstellung der oben genannten Intervalle.

Schritt 5: Nehmen Sie Zufallszahlen zwischen den einzelnen Intervallen und prüfen Sie, ob sie den Wert erfüllen. Wenn dies zutrifft, schließen Sie das Intervall in die Lösung ein.

Für das Intervall (-∞, 1] sei der Zufallswert -1.

Setze x = -1 in die Ungleichung x ein²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Wahr)

Für das Intervall [1, 6] sei der Zufallswert 2.

Setze x = 0 in die Ungleichung x ein²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (Falsch)

Für das Intervall [6, ∞) sei der Zufallswert 7.

Setze x = 7 in die Ungleichung x ein²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Wahr)

Schritt 6: Also die Lösung für die Absolutwertungleichung x²– 7x + 6 ≥ 0 ist das Intervall (-∞, 1] ∪ [6, ∞), da es die Ungleichung erfüllt, die auf der Zahlengeraden wie folgt dargestellt werden kann:

So lösen Sie absolute Wertungleichungen

Nehmen wir ein Beispiel, um Absolutwertungleichungen zu lösen.

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung: |y + 1| ≤ 2

Lösung:

Im Folgenden sind die Schritte zur Lösung der Ungleichung aufgeführt: |y + 1| ≤ 2

Schritt 1: Schreiben Sie die Ungleichung in Form einer Gleichung:

|y + 1| = 2

Schritt 2: Löse die Gleichung:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 und y + 1 = – 2

y = 1 und y = -3

Aus dem obigen Schritt erhalten wir die Werte y = 1 und y = -3

Schritt 3: Aus den obigen Werten ergeben sich folgende Intervalle: (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Da die Ungleichung ≤ ist, die gleich einschließt, verwenden wir geschlossene Klammern für die erhaltenen Werte.

Schritt 4: Zahlenstrahldarstellung der oben genannten Intervalle.

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Schritt 5: Nehmen Sie Zufallszahlen zwischen den einzelnen Intervallen und prüfen Sie, ob sie den Wert erfüllen. Wenn dies zutrifft, schließen Sie das Intervall in die Lösung ein.

Für das Intervall (-∞, -3] sei der Zufallswert -4.

Setze y = -4 in die Ungleichung |y + 1| ein ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Falsch)

Für das Intervall [-3, 1] sei der Zufallswert 0.

Setzen Sie y = 0 in die Ungleichung |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Wahr)

Für das Intervall [1, ∞) sei der Zufallswert 2.

Setzen wir y = 2 in die Ungleichung |y + 1| ein ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (Falsch)

Schritt 6: Also die Lösung für die Absolutwertungleichung |y + 1| ≤ 2 ist das Intervall [-3, -1], da es die Ungleichung erfüllt, die auf der Zahlengeraden wie folgt dargestellt werden kann:

Wie man rationale Ungleichungen löst

Nehmen wir ein Beispiel, um rationale Ungleichungen zu lösen.

Beispiel: Lösen Sie die Ungleichung: (x + 3) / (x – 1) <2

Lösung:

Im Folgenden sind die Schritte zur Lösung der Ungleichheit aufgeführt:

Schritt 1: Schreiben Sie die Ungleichung in Form der Gleichung: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Schritt 2: Löse die Gleichung:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Aus dem obigen Schritt erhalten wir den Wert x = 5

Schritt 3: Aus den obigen Werten ergeben sich die Intervalle (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Da ist die Ungleichung

Da für x = 1 die Ungleichung undefiniert ist, nehmen wir für x = 1 eine offene Klammer.

Schritt 4: Zahlenstrahldarstellung der oben genannten Intervalle.

Schritt 5: Nehmen Sie Zufallszahlen zwischen den einzelnen Intervallen und prüfen Sie, ob sie den Wert erfüllen. Wenn dies zutrifft, schließen Sie das Intervall in die Lösung ein.

Für das Intervall (-∞, 1) sei der Zufallswert 0.

Setzen von x = 0 in die Ungleichung (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Wahr)

Für das Intervall (1, 5) sei der Zufallswert 2.

Einsetzen von x = 3 in die Ungleichung (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (Falsch)

Für das Intervall (5, ∞) sei der Zufallswert 2.

Setze y = 6 in die Ungleichung (x + 3) / (x – 1) ein <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (Wahr)

Schritt 6: Also die Lösung für die Absolutwertungleichung (x + 3) / (x – 1) <2 ist das Intervall (-∞, 1) ∪ (5, ∞), da es die Ungleichung erfüllt, die auf der Zahlengeraden wie folgt dargestellt werden kann:

So lösen Sie lineare Ungleichungen mit zwei Variablen

Nehmen wir ein Beispiel, um die lineare Ungleichung mit zwei Variablen zu lösen.

Beispiel: Lösen: 20x + 10y ≤ 60

Lösung:

Betrachten Sie x = 0 und setzen Sie es in die gegebene Ungleichung ein

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10 Jahre ≤ 60

⇒ und ≤ 6 ——(i)

Wenn nun x = 0 ist, kann y zwischen 0 und 6 liegen.

In ähnlicher Weise erfüllt das Einsetzen von Werten in die Ungleichung und die Überprüfung, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Für x = 1 kann y 0 bis 4 sein.

Für x = 2 kann y 0 bis 2 sein.

Für x = 3 kann y 0 sein.

Die mögliche Lösung für eine gegebene Ungleichung ist (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Ungleichheitssysteme

Die Ungleichungssysteme sind die Menge von zwei oder mehr Ungleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Ungleichungssysteme enthalten mehrere Ungleichungen mit einer oder mehreren Variablen.

Das Ungleichungssystem hat die Form:

A_elfX₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃…….. + a_1nX_{N 1}

A_{einundzwanzig}X₁+ a₂₂X₂+ a₂₃X₃…….. + a_2nX_{N 2}

A_n1X₁+ a_n2X₂+ a_n3X₃…….. + a_nnX_{N N}

Grafische Darstellung von Ungleichheitssystemen

Ein System von Ungleichungen ist eine Gruppe mehrerer Ungleichungen. Lösen Sie zunächst jede Ungleichung und zeichnen Sie den Graphen für jede Ungleichung. Der Schnittpunkt des Graphen aller Ungleichungen stellt den Graphen für Ungleichungssysteme dar.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Beispiel: Diagramm für Ungleichungssysteme zeichnen

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Lösung:

Diagramm für 2x + 3y ≤ 6

Der schattierte Bereich des Diagramms stellt 2x + 3y ≤ 6 dar

Diagramm für x ≤ 3

Der schattierte Bereich stellt x ≤ 3 dar

Diagramm für y ≤ 2

Der schattierte Bereich stellt y ≤ 2 dar

Diagramm für ein gegebenes Ungleichungssystem

Der schattierte Bereich stellt ein gegebenes Ungleichheitssystem dar.

Ungleichheiten – FAQs

Was ist das Konzept der Ungleichheiten?

Ungleichungen sind mathematische Ausdrücke, bei denen die linke und rechte Seite des Ausdrucks ungleich sind.

String-Methoden

Was sind die Symbole für Ungleichungen?

Symbole für Ungleichungen sind:>, <, ≥, ≤ und ≠.

Was ist die transitive Eigenschaft von Ungleichungen?

Die transitive Eigenschaft von Ungleichungen besagt, dass, wenn a, b, c drei Zahlen sind, dann

• Wenn a> b und b> c, dann ist a> c
• Wenn ein
• Wenn a ≥ b und b ≥ c, dann ist a ≥ c
• Wenn a ≤ b und b ≤ c, dann ist a ≤ c