DAA LINEARE ZEITSORTIERUNG

Einführung

Sortieren ist ein wesentlicher Vorgang in der Informatik, bei dem Elemente in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden, beispielsweise in numerischer oder alphabetischer Reihenfolge. Es wurden verschiedene Sortieralgorithmen entwickelt, jeweils mit Zeit- und Effizienzindikatoren. Die lineare Zeitsortierung ist eine Teilmenge der Sortieralgorithmen mit einem erheblichen Vorteil: Sie können eine bestimmte Menge von Elementen in linearer Zeit sortieren, die Laufzeit steigt linear mit der Eingabegröße.

Der bekannteste lineare Zeitsortieralgorithmus ist die absteigende Sortierung. Die rechnerische Sortierung ist besonders effizient, wenn der Bereich der Eingabeelemente bekannt und relativ klein ist. Dadurch entfällt die Notwendigkeit, Elemente zu vergleichen, was bei vielen anderen Sortieralgorithmen der zeitaufwändigste Vorgang ist. Unter Verwendung von Eingabedomänenwissen erreicht die rechnerische Sortierung eine lineare Zeitkomplexität. Bei einer numerischen Sortierung wird zunächst das Eingabearray durchsucht, um die Anzahl jedes Elements zu ermitteln. Anschließend werden diese Zahlen verwendet, um die korrekten Positionen der Elemente in der geordneten Ergebnistabelle zu berechnen. Der Algorithmus besteht aus den folgenden Schritten:

Um den Bereich zu bestimmen, identifizieren Sie die minimalen und maximalen Werte des Eingabearrays.
Erstellen Sie ein Arbeitsblatt, das mit der Bereichsgröße und Nullen initialisiert ist.
Durchlaufen Sie das Eingabearray und erhöhen Sie jedes gefundene Element.
Ändern Sie das Arbeitsblatt, indem Sie die kumulative Summe berechnen, um die richtigen Positionen für jedes Element zu erhalten.
Erstellen Sie ein Ausgabearray mit der gleichen Größe wie das Eingabearray.
Verschieben Sie das Eingabearray erneut und platzieren Sie jedes Element basierend auf dem Arbeitsblatt an der richtigen Position im Ausgabearray.
Die Ergebnistabelle enthält nun sortierte Elemente.

Der Hauptvorteil der absteigenden Sortierung besteht darin, dass sie eine lineare Zeitkomplexität von O(n) erreicht, was sie für große Eingabegrößen sehr effizient macht. Allerdings ist seine Anwendbarkeit auf Szenarien beschränkt, in denen die Auswahl an Eingabeelementen im Voraus bekannt und relativ gering ist.

Es ist wichtig zu beachten, dass andere Sortieralgorithmen wie Quicksort oder Merge typischerweise eine zeitliche Komplexität von O(n log n) haben, was für viele praktische Anwendungen als effizient gilt. Algorithmen zur linearen Zeitsortierung, wie beispielsweise die numerische Sortierung, bieten eine Alternative, wenn bestimmte Einschränkungen oder Eigenschaften der Eingabe die Verwendung linearer Zeitkomplexität zulassen.

Geschichte

Lineare Zeitsortierungsalgorithmen haben in der Informatik eine lange Geschichte. Die Entwicklung der linearen Zeitordnung lässt sich bis in die Mitte des 20. Jahrhunderts zurückverfolgen, und die Beiträge von Wissenschaftlern und Mathematikern waren bedeutend. Einer der frühesten linearen Zeitsortierungsalgorithmen ist die Bucket-Sortierung, die 1954 von Harold H. Seward vorgeschlagen wurde. Eine Bucket-Sortierung unterteilt die Eingabeelemente in eine endliche Anzahl von Buckets und sortiert dann jeden Bucket separat. Dieser Algorithmus hat eine lineare Zeitkomplexität, wenn die Verteilung der Eingabeelemente relativ gleichmäßig ist.

Im Jahr 1959 führte Kenneth E. Iverson einen Basisalgorithmus ein, der eine lineare Zeitkomplexität erreicht. Radix sortiert Elemente nach ihrer Zahl oder ihrem Vorzeichen von der niedrigsten zur höchsten Signifikanz. Es verwendet robuste Sortieralgorithmen wie numerische Sortierung oder Bucket-Sortierung, um die Elemente an jeder Ziffernposition zu sortieren. Die Radix-Sortierung wurde im Zeitalter der Lochkarten und der frühen Computersysteme populär. Der bekannteste lineare Zeitsortierungsalgorithmus ist jedoch eine Aufzählung, die 1954 von Harold H. Seward und Peter Elias eingeführt und später 1961 von Harold H. „Bobby“ Johnson unabhängig wiederentdeckt wurde. Die numerische Sortierung hat große Aufmerksamkeit erhalten.

Dies ist besonders effektiv, wenn der Bereich der Eingabeelemente bekannt und relativ klein ist. Die Geschichte der linearen Zeitsortierung wurde mit der Entwicklung anderer spezialisierter Algorithmen fortgesetzt. Beispielsweise schlug Hanan Samet 1987 die binäre Verteilungsbaumsortierung vor, einen linearen Zeitsortieralgorithmus für mehrdimensionale Daten. Im Laufe der Jahre haben Forscher weiterhin lineare Planungsalgorithmen untersucht und verbessert und sich dabei auf bestimmte Szenarien und Einschränkungen konzentriert. Obwohl Algorithmen wie Quicksort und Merge aufgrund ihrer Effizienz in mehr Szenarien häufiger eingesetzt werden, bieten lineare Zeitsortieralgorithmen wertvolle Alternativen, wenn bestimmte Umstände die Ausnutzung der linearen Zeitkomplexität ermöglichen. Im Allgemeinen ist die Geschichte der linearen Zeitsortierung durch die Suche nach effizienten Algorithmen gekennzeichnet, die große Datensätze in linearer Zeit sortieren können und dabei die Einschränkungen vergleichsbasierter Sortieralgorithmen überwinden. Die Beiträge verschiedener Forscher ebneten den Weg für die Entwicklung und das Verständnis dieser speziellen Sortiertechniken.

Arten der linearen Zeitsortierung

Es gibt verschiedene lineare Zeitsortierungsalgorithmen. Die beiden Haupttypen sind zählbasierte Algorithmen und radixbasierte Algorithmen. Hier sind die gängigsten linearen Zeitsortierungsalgorithmen, klassifiziert nach den folgenden Typen:

Zählbasierte Algorithmen

Zählbasierte Sortierung:Counting-Based ist ein nicht vergleichender Sortieralgorithmus. Es zählt das Vorkommen jedes einzelnen Elements im Eingabearray und verwendet diese Informationen, um die korrekte Position jedes Elements im sortierten Ausgabearray zu bestimmen. Bei der zählbasierten Sortierung wird davon ausgegangen, dass die Eingabeelemente Ganzzahlen sind oder zu Ganzzahlen addiert werden können.

Radixbasierte Algorithmen

Radix sortieren:Radix Sort ist ein nicht vergleichsbasierter Sortieralgorithmus, der Elemente nach ihren Zahlen oder Zeichen sortiert. Es zählt jede Zahl oder jedes Vorzeichen in den Elementen von der niedrigstwertigen bis zur höchstwertigen Zahl. Bei der Radikalsortierung wird davon ausgegangen, dass die Eingabeelemente ganze Zahlen oder Zeichenfolgen sind.Eimersortierung:Bucket Sort ist eine Variante der Radix-Sortierung, die Elemente basierend auf ihrem Bereich oder ihrer Verteilung in feste Gruppen einteilt. Jedes Segment wird separat mit einem anderen Sortieralgorithmus oder rekursiver Bin-Sortierung sortiert.MSD (Most Significant Digit) Radix-Sortierung:MSD-Radix-Sortierung ist eine Variante der Radix-Sortierung, die mit dem Sortieren von Elementen nach ihrer höchsten Bedeutung beginnt. Sie unterteilt die Elemente rekursiv in Untergruppen basierend auf dem Wert der aktuellen Zahl und wendet MSD-Radix-Sortierung auf jede Untergruppe an, bis alle Zahlen gezählt wurden.LSD (Least Significant Digit) Radix-Sortierung:LSD Radix Sort ist eine weitere Variante, die mit dem Sortieren von Elementen nach ihrer niedrigsten Wertigkeit beginnt. Sie sortiert die Elemente rekursiv nach jeder Zahl von ganz rechts nach ganz links und erzeugt so ein sortiertes Ergebnis. Sowohl zählbasierte als auch wurzelbasierte Sortieralgorithmen erreichen eine lineare Zeitkomplexität, indem sie spezifische Eigenschaften der Eingabeelemente ausnutzen, wie z. B. ihren Bereich oder ihre Darstellungsstruktur (z. B. Zahlen oder Zeichen). Ihre Anwendbarkeit kann jedoch je nach den Eigenschaften der Eingabedaten variieren.

Vorteile der linearen Zeitsortierung

Lineare Zeitsortierungsalgorithmen, wie beispielsweise die numerische Sortierung, bieten in bestimmten Szenarien mehrere Vorteile.

Effizient für große Eingabemengen:Die Zeitkomplexität linearer Zeitsortierungsalgorithmen beträgt O(n), was bedeutet, dass die Laufzeit linear mit der Eingabegröße zunimmt. Dies macht sie für große Datenmengen sehr effizient im Vergleich zu vergleichsbasierten Sortieralgorithmen wie Quicksort- oder Merge-Algorithmen, die typischerweise eine zeitliche Komplexität von O(n log n) haben.Keine Vergleichsoperationen:Algorithmen zur linearen Zeitsortierung, beispielsweise die Aufzählungssortierung, basieren nicht auf elementaren Vergleichen. Stattdessen verwenden sie spezifische Attribute oder Informationen über die Eingabeelemente, beispielsweise deren Ausmaß oder Verteilung. Diese Funktion macht sie vorteilhaft, wenn die Vergleichskosten hoch sind, beispielsweise bei komplexen Objekten oder teuren Vergleichsvorgängen.Eignung für bestimmte Eingabeeigenschaften:Algorithmen zur linearen Zeitsortierung haben häufig spezifische Anforderungen oder Annahmen bezüglich der Eingabeelemente. Um beispielsweise eine Sortierreihenfolge zu berechnen, müssen Sie den Bereich der Eingabeelemente im Voraus kennen. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, können lineare Zeitsortieralgorithmen erhebliche Leistungsvorteile gegenüber allgemeinen Sortieralgorithmen bieten.Stabile Sorte:Viele lineare Sortieralgorithmen, einschließlich der numerischen Sortierung und der Basissortierung, sind von Natur aus stabil. Konsistenz bedeutet, dass Elemente mit doppelten Schlüsseln oder Werten die relative Reihenfolge in der sortierten Ausgabe beibehalten. Dies kann von entscheidender Bedeutung sein, wenn Objekte oder Datensätze mit mehreren Attributen sortiert werden oder wenn die Beibehaltung der ursprünglichen Reihenfolge gleichwertiger Elemente unerlässlich ist.Benutzerfreundlichkeit:Lineare Zeitsortierungsalgorithmen wie die Aufzählungssortierung sind im Vergleich zu komplexeren vergleichsbasierten Sortieralgorithmen häufig relativ einfach zu implementieren. Sie können leichter zu verstehen und zu debuggen sein und eignen sich daher für Situationen, in denen Einfachheit und Klarheit gewünscht sind.

Nachteile der linearen Zeitsortierung

Obwohl lineare Planungsalgorithmen ihre Vorteile haben, weisen sie auch bestimmte Einschränkungen und Nachteile auf:

Einschränkende Eingabeanforderungen:Lineare Zeitsortierungsalgorithmen stellen oft spezifische Anforderungen oder Annahmen bezüglich der Eingabeelemente. Um beispielsweise eine Sortierreihenfolge zu berechnen, müssen Sie den Bereich der Eingabeelemente im Voraus kennen. Diese Einschränkung beschränkt ihre Anwendbarkeit auf Situationen, in denen diese Bedingungen erfüllt sind. Der Speicherbedarf kann unpraktisch werden oder die verfügbaren Ressourcen überschreiten, wenn der Bereich umfangreich oder unbekannt ist.Zusätzlicher Platzbedarf:Einige lineare Zeitsortierungsalgorithmen, wie z. B. die numerische Sortierung, erfordern zusätzlichen Speicherplatz zum Speichern anderer Arrays oder Datenstrukturen. Der benötigte Platz ist oft proportional zur Anzahl der Eingabeelemente. Dies kann ein Nachteil sein, wenn die Speichernutzung ein Problem darstellt, insbesondere wenn es um große Datensätze oder begrenzte Speicherressourcen geht.Mangelnde Vielseitigkeit:Lineare Zeitsortierungsalgorithmen sind spezielle Algorithmen, die für bestimmte Szenarien oder Einschränkungen entwickelt wurden. Sie müssen möglicherweise für allgemeine Sortieraufgaben oder unterschiedliche Eingabeverteilungen geeigneter und effizienter sein. Vergleichsbasierte Sortieralgorithmen wie Quicksort oder Merge sind vielseitiger und können einen breiteren Eingabebereich verarbeiten.Ineffizient für kleine Bereiche oder spärliche Daten:Algorithmen zur linearen Zeitsortierung wie die Aufzählung sind am effizientesten, wenn der Bereich der Eingabeelemente klein und dicht verteilt ist. Wenn der Bereich umfangreich ist oder die Daten spärlich sind (d. h. nur wenige unterschiedliche Werte), kann der Algorithmus Zeit und Aufwand sparen, indem er leere oder dünn besiedelte Teile des Eingabebereichs verarbeitet.Auf bestimmte Datentypen beschränkt:Algorithmen zur linearen Zeitsortierung, wie z. B. die Aufzählungssortierung, sind in erster Linie darauf ausgelegt, nicht negative Ganzzahlen oder Schlüsselwertobjekte zu sortieren. Sie eignen sich möglicherweise nicht zum Sortieren anderer Datentypen, z. B. Gleitkommazahlen, Zeichenfolgen oder komplexer Datenstrukturen. Die Anpassung linearer Zeitsortierungsalgorithmen an die Verarbeitung verschiedener Datentypen oder benutzerdefinierter Vergleichsfunktionen erfordert möglicherweise zusätzliche Vorverarbeitung oder Änderungen.

Bei der Auswahl eines Sortieralgorithmus ist es wichtig, die Besonderheiten der Eingabedaten und die Anforderungen des Sortierproblems sorgfältig zu berücksichtigen. Obwohl lineare Planungsalgorithmen in bestimmten Szenarien Vorteile bieten, sind sie nur manchmal die geeignetste oder effizienteste Wahl.

Anwendungen linearer Zeitsortierungsalgorithmen

Lineare Zeitsortierungsalgorithmen sind effizient und haben viele Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Hier sind einige typische Anwendungen der linearen Zeitordnung:

Sortieren von Ganzzahlen mit kleinem Bereich:Lineare Zeitsortierungsalgorithmen wie Count Sort und Radix Sort eignen sich ideal zum Sortieren von Arrays aus ganzen Zahlen, wenn der Wertebereich beträgt. Diese Algorithmen erreichen eine lineare Zeitkomplexität, indem sie Annahmen über die Eingabedaten treffen, wodurch sie die vergleichsbasierte Sortierung umgehen können.String-Sortierung:Zur effizienten Sortierung von Zeichenfolgen können auch lineare Zeitsortierungsalgorithmen angewendet werden. Indem Algorithmen wie Radix Sort einzigartige Eigenschaften von Zeichenfolgen wie deren Länge oder Zeichen verwenden, können sie beim Sortieren von Zeichenfolgen eine lineare Zeitkomplexität erreichen.Datenbankfunktionen:Das Sortieren ist eine wesentliche Funktion von Algorithmen zur linearen Zeitsortierung, mit denen große Datensätze basierend auf bestimmten Spalten oder Feldern effizient sortiert werden können. Dies ermöglicht eine schnellere Abfrageverarbeitung und eine bessere Leistung bei Datenbankoperationen.Histogramme erstellen:Histogramme sind für verschiedene statistische und Datenanalyseaufgaben unerlässlich. Algorithmen zur linearen Zeitsortierung, wie etwa die numerische Sortierung, können Histogramme generieren, indem sie das Vorkommen von Elementen in einem Datensatz effizient zählen.Externe Sortierung:Die externe Sortiertechnik wird in Szenarien verwendet, in denen die Daten nicht vollständig in den Speicher passen. Lineare Zeitsortieralgorithmen wie External Radix Sort oder External Counting Sort können große Datensätze, die auf der Festplatte oder anderen externen Speichergeräten gespeichert sind, effizient sortieren.Veranstaltungsplanung:Algorithmen zur linearen Zeitsortierung können Ereignisse basierend auf ihrer Start- oder Endzeit planen. Das Sortieren von Ereignissen in aufsteigender Reihenfolge erleichtert das Erkennen von Konflikten, sich überschneidenden Zeiträumen oder das Auffinden des nächsten verfügbaren Zeitraums.Protokolldateien analysieren:Das Analysieren von Protokolldateien ist eine häufige Aufgabe bei der Systemadministration und beim Debuggen. Lineare Zeitsortierungsalgorithmen können verwendet werden, um Protokolle basierend auf Zeitstempeln zu sortieren, was die Identifizierung von Mustern und Anomalien oder die Suche nach bestimmten Ereignissen erleichtert.Datenkompression:Die Sortierung spielt bei verschiedenen Datenkomprimierungstechniken eine wesentliche Rolle. Algorithmen wie die Burrows-Wheeler-Transformation (BWT) oder die Move-To-Front-Transformation (MTF) basieren auf einer linearen Zeitreihenfolge, um Daten neu anzuordnen und so die Komprimierungseffizienz zu verbessern. Dies sind nur einige Beispiele für Anwendungen linearer Zeitsortierungsalgorithmen.

Implementierung der linearen Zeitsortierung in C++

Hier ist ein Beispiel für ein Programm, das Counting Sort implementiert, einen linearen Zeitsortierungsalgorithmus:

 #include #include using namespace std; void countingSort(vector&amp; arr) { // Find the maximum element in the array int max_val = *max_element(arr.begin(), arr.end()); // Create a count array to store the count of each element vector count(max_val + 1, 0); // Count the occurrences of each element for (int num : arr) { count[num]++; } // Compute the prefix sum for (int i = 1; i <count.size(); i++) { count[i] +="count[i" - 1]; } create a sorted output array vector output(arr.size()); place the elements in order for (int i="arr.size()" 1;>= 0; i--) { output[count[arr[i]] - 1] = arr[i]; count[arr[i]]--; } // Copy the sorted elements back to the original array for (int i = 0; i <arr.size(); i++) { arr[i]="output[i];" } int main() vector arr="{4," 2, 8, 3, 1}; sort the array using counting countingsort(arr); print sorted cout << 'sorted array: '; for (int num : arr) ' endl; return 0; < pre> <p> <strong>Sample Output</strong> </p> <pre> Sorted array: 1 2 2 3 3 4 8 </pre> <p>This indicates that the input array has been sorted in ascending order using the Counting Sort algorithm, resulting in the sorted array [1, 2, 2, 3, 3, 4, 8].</p> <p>In this C++ program, the counting sort function takes a reference to the vector arr and runs the counting sort routine. It finds the table&apos;s maximum value to determine the worksheet&apos;s size. It then counts each element&apos;s occurrence and calculates the worksheet&apos;s prefix sum. Then, it creates a result vector and puts the elements in order according to the worksheet. Finally, it copies the sorted elements back into the original array. In the primary function, the example array {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} is sorted by the enumeration sort algorithm and printed as a sorted matrix. Note that the program uses libraries to work with vectors and find the maximum element of an array using the max_element function.</p> <hr></arr.size();></count.size();>

Dies zeigt an, dass das Eingabearray mit dem Counting Sort-Algorithmus in aufsteigender Reihenfolge sortiert wurde, was zum sortierten Array [1, 2, 2, 3, 3, 4, 8] führt.

In diesem C++-Programm nimmt die Counting-Sort-Funktion einen Verweis auf den Vektor arr und führt die Counting-Sort-Routine aus. Es ermittelt den Maximalwert der Tabelle, um die Größe des Arbeitsblatts zu bestimmen. Anschließend wird das Vorkommen jedes Elements gezählt und die Präfixsumme des Arbeitsblatts berechnet. Anschließend wird ein Ergebnisvektor erstellt und die Elemente entsprechend dem Arbeitsblatt geordnet. Schließlich kopiert es die sortierten Elemente zurück in das ursprüngliche Array. In der Primärfunktion wird das Beispielarray {4, 2, 2, 8, 3, 3, 1} durch den Aufzählungssortieralgorithmus sortiert und als sortierte Matrix ausgegeben. Beachten Sie, dass das Programm Bibliotheken verwendet, um mit Vektoren zu arbeiten und mithilfe der Funktion max_element das maximale Element eines Arrays zu finden.