Senkrechte Linien In der Mathematik handelt es sich um Geradenpaare, die sich immer im rechten Winkel schneiden, d. h. senkrechte Geraden sind immer sich schneidende Geraden, die sich im 90°-Winkel schneiden. Die senkrechten Linien sind für uns leicht zu erkennen, die Ecken der Wände, die Ecken des Schreibtisches und andere repräsentieren die parallele Linie. Bei senkrechten Geraden sagen wir, dass sie einander im rechten Winkel schneiden. Der kürzeste Abstand zwischen zwei Geraden ergibt sich aus dem senkrechten Abstand zwischen ihnen, d. h. die senkrechte Gerade zwischen zwei Punkten ergibt den kürzesten Abstand zwischen ihnen.

In diesem Artikel erfahren Sie mehr über senkrechte Linien, ihre Eigenschaften und andere Aspekte.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind senkrechte Linien?
• Eigenschaften senkrechter Linien
• Steigung senkrechter Linien
• Formel für senkrechte Linien
• Wie zeichnet man senkrechte Linien?
• Gleichung einer senkrechten Linie

Was ist senkrecht?

Senkrecht ist definiert als eine Linie, die a bildet rechter Winkel mit einer anderen Zeile. Mit anderen Worten bedeutet eine senkrechte Linie die Linien, die einen Winkel von 90 Grad bilden. Der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Linie ist die Senkrechte zwischen ihnen. Eine Senkrechte bildet mit der anderen Geraden einen Winkel von 90 Grad. Die Linien AB und PQ, wie im Bild unten gezeigt, stehen senkrecht zueinander, da sie sich im 90-Grad-Winkel schneiden.

Die im Bild unten hinzugefügten Linien AB und CD zeigen zwei senkrechte Linien.

Was sind senkrechte Linien?

Unter senkrechten Linien versteht man die Linien, die einander in einem Winkel von 90 Grad schneiden. Wenn sich also zwei Linien im rechten Winkel treffen, werden sie als senkrechte Linien bezeichnet. Nehmen Sie die hier hinzugefügte Abbildung: Die Linie l und die Linie m schneiden sich im Punkt O und der von ihnen gebildete Winkel beträgt 90 Grad.

Wir können also sagen, dass l eine Linie senkrecht zur Linie m ist oder dass Linie m senkrecht zur Linie l ist. Wir stellen diese Bedingung dar als l ⊥ m. Nun steht jede zur Geraden l parallele Gerade senkrecht zur Geraden m. Der kürzeste Abstand zwischen Punkt und Linie ist immer der senkrechte Abstand zwischen ihnen.

Notiz: Nicht alle sich schneidenden Geraden sind senkrechte Geraden, aber alle senkrechten Geraden sind sich schneidende Geraden.

Senkrechtes Zeichen

Senkrechte Linien werden mit dem Symbol „⊥“ dargestellt. Wenn die Geraden l und m senkrecht zueinander stehen, sich also im Winkel von 90 Grad schneiden, werden sie senkrechte Geraden genannt und wie folgt dargestellt: l ⊥ m. Der Schnittpunkt wird Fuß der Senkrechten genannt.

Senkrechte Formen

In unserem täglichen Leben sind um uns herum präpendikuläre Formen zu sehen. Bei senkrechten Formen handelt es sich um Formen, bei denen der mindestens eine Winkel 90° beträgt. Verschiedene Formen mit senkrechten Linien (senkrechte Formen) sind:

• Quadrat
• Rechteck
• Rechtwinkliges Dreieck

Eigenschaften senkrechter Linien

Zwei sich schneidende Linien, die sich in einem Winkel von 90 Grad schneiden, werden als senkrechte Linien bezeichnet. Senkrechte Linien haben andere Eigenschaften als die Schnittlinien und die allgemeinen Eigenschaften der Schnittlinien sind:

• Senkrechte Linien sind Linien, die sich immer im rechten Winkel schneiden.
• Stehen zwei Geraden senkrecht auf derselben Geraden, dann sind diese beiden Geraden immer parallel zueinander.

Steigung senkrechter Linien

Die Steigung einer Linie ist der tan des Winkels, den die Linie mit der positiven x-Achse bildet, und die Steigung im Fall der senkrechten Linien steht in einer bestimmten Beziehung zwischen ihnen.

Angenommen, wir haben zwei Linien PQ und RS, die senkrecht zueinander stehen. Nun beträgt die Steigung der Linie PQ beispielsweise m₁und die Steigung der Linie RS beträgt beispielsweise m₂, dann ist das Produkt der Steigungen gleich -1. Die Aussage dazu lautet:

Stellungnahme: Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn das Produkt ihrer Steigung -1 ist.

Dies kann dargestellt werden als:

M ₁ .M ₂ = -1

Formel für senkrechte Linien

Die beiden Grundformeln für senkrechte Linien werden im Folgenden erläutert:

Aussage 1: Das Produkt der Steigung einer senkrechten Linie mit der Steigung der ursprünglichen Linie ist immer -1 .

Nachweisen:

Die ursprüngliche Linie bildet mit der X-Achse einen Winkel von θ.

Dann bildet die Linie senkrecht zur Linie einen Winkel von θ + 90° oder θ – 90° mit der X-Achse.

Nun ist die Steigung der ursprünglichen Linie gleich tan θ

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Die Steigung der Senkrechten ist gleich entweder tan (θ + 90^Ö) oder tan (θ – 90^Ö)

tan (θ + 90 ^Ö ) = tan (θ – 90 ^Ö ) = -cot i

Somit beträgt die Steigung der Senkrechten -cot θ

Jetzt,

Produkt der Steigungen = tan θ × (-cot θ) = -1

Somit bewiesen

Aussage 2: Wenn die Gleichung einer Geraden lautet ax + by + c = 0

Dann lautet die Gleichung einer Geraden senkrecht zur gegebenen Geraden:

– bx + ay + d = 0

Wo, C Und D sind beliebige konstante Werte

Nachweisen:

Die Geradengleichung lautet ax + by + c = 0

Die Steigung der Linie beträgt -a/b

Die Steigung der Senkrechten sei m

Wir wissen, dass das Steigungsprodukt zweier senkrechter Geraden -1 ist

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

Wenn nun die Senkrechte durch einen Punkt (x₁, Und₁), dann lautet die Gleichung der Senkrechten:

(und und₁) / (x – x₁) = b / a

und und₁= (b / a) × (x – x₁)

ist – ist₁= bx – bx₁

– bx + ist + (bx₁- Ist₁) = 0 {sei bx₁- Ist₁= d}

Somit lautet die erforderliche Gleichung der Geraden:

– bx + ay + d = 0

Wie zeichnet man senkrechte Linien?

Wir können das Paar der senkrechten Linien leicht konstruieren, indem wir den Winkelmesser und den Zirkel verwenden.

Zeichnen senkrechter Linien mit dem Winkelmesser

Um ein Paar senkrechter Linien zu zeichnen, befolgen Sie die unten beschriebenen Schritte:

Schritt 1: Zeichnen Sie zunächst mit einem Lineal eine horizontale Linie AB auf das Papier.

Schritt 2: Markieren Sie einen beliebigen Punkt P auf der Linie AB, von dem aus wir die Senkrechte zeichnen müssen.

Schritt 3: Platzieren Sie den Protektor auf der Linie und bringen Sie den Mittelpunkt des Protektors mit Punkt P auf der Linie in Einklang.

Schritt 4: Markieren Sie den 90-Grad-Winkel mit der Schutzfolie.

Schritt 5: Verbinden Sie die Linie mit einem beliebigen Lineal im 90-Grad-Winkel, um ein Paar senkrechter Linien zu erhalten.

Zeichnen einer senkrechten Linie mit dem Kompass

Im Folgenden finden Sie die Schritte zum Zeichnen senkrechter Linien mit einem Kompass

Schritt 1: Zeichnen Sie mit einem Lineal eine Linie auf das Papier

Schritt 2: Nehmen Sie einen Punkt auf der Linie und platzieren Sie die Kompassnadel darauf.

Schritt 3: Zeichnen Sie auf einer Seite der Linie einen Bogen (einen Halbkreis).

Schritt 4: Ohne den Radius des Zirkels zu verändern, platzieren Sie nun die Nadel an einem Ende des Halbkreisdurchmessers.

Schritt 5: Teilen Sie den Halbkreisbogen in drei Teile, indem Sie ihn zweimal schneiden. Der erste Schnitt markiert 60° und der zweite Schnitt markiert 120°

Schritt 6: Zwischen dem ersten und zweiten Schnitt besteht ein Unterschied von 60°. Halbieren Sie diese Lücke mit dem Zirkel, ohne den Radius zu ändern.

Schritt 7: Verbinden Sie nun den Halbierungspunkt von 60 und 120 mit dem ursprünglich angenommenen Punkt, um den Halbkreisbogen zu zeichnen.

Schritt 8: Die so gezeichnete Linie verläuft senkrecht zur Anfangslinie.

Beispiele für senkrechte Linien

Senkrechte Linien sind Linien, die sich immer im 90-Grad-Winkel treffen. Wir sehen im wirklichen Leben verschiedene Beispiele für parallele Linien, einige davon sind:

• Die Ecken der Räume stehen senkrecht zueinander.
• Die Zeiger der Uhr stellen senkrechte Linien bei 3′ Uhr dar.
• Die Ecken des Tisches und des Schreibtisches stellen die senkrechten Linien dar.

Senkrechte und parallele Linien

Senkrechte Linien sind die Linien, die einen Winkel von 90° miteinander bilden, während parallele Linien die Linien sind, die parallel zueinander sind, das heißt, sie haben den gleichen Abstand voneinander und schneiden sich nie.

Notiz: Parallele Linien treffen sich im Unendlichen .

Steigung paralleler und senkrechter Linien

Die Steigung paralleler Geraden ist gleich, während das Produkt der Steigung senkrechter Geraden -1 beträgt.

Gleichungen paralleler und senkrechter Linien

Wenn zwei Geraden parallel sind, dann lautet ihre Geradengleichung:

• ax + by + c = 0 und ax + by + d = 0

Während die Gleichung zweier Senkrechten lautet:

• ax + by + c = 0 und -bx + ax + d = 0

Was sind parallele Linien?

Parallele Linien werden in der Geometrie als Linien definiert, die sich in der 2D-Ebene nicht treffen, d. h. sie schneiden sich nie in der 2D-Ebene. Der Abstand zwischen den beiden parallelen Linien ist immer konstant. Das unten hinzugefügte Bild zeigt zwei Paare paralleler Linien.

Die Linien a, b sowie x und y sind parallel zueinander.

Unterschied zwischen parallelen und senkrechten Linien

Parallele Linien vs. senkrechte Linien werden in der folgenden Tabelle besprochen.

Gleichung einer senkrechten Linie

Der Standard Gleichung einer Geraden Ist ax + by + c = 0 und die Linie senkrecht zu der gegebenen Linie wird angegeben durch:

-bx + ay + d = 0

Wo, D ist der konstante Wert und sein Wert wird unter Verwendung der anderen angegebenen Bedingung ermittelt.

Senkrechte Liniensteigung

Angenommen, wir erhalten eine Gerade, deren Gleichung die Form y = mx + c hat und deren Steigung m ist, dann ist die Steigung der Geraden senkrecht zu der gegebenen Geraden:

Neigung der Senkrechten = -1/m

Wenn nun die Steigung zweier Geraden m beträgt₁und M₂dann ist die Beziehung zwischen diesen beiden Steigungen: M ₁ M ₂ = -1

Mehr lesen,

• Parallele Linien
• Querlinien
• Eigenschaften paralleler Linien

Beispiele für senkrechte Linien

Beispiel 1: Stehen die Geraden 3x + 2y + 5 = 0 und 2x – 3y + 8 = 0 senkrecht?

Lösung:

Die Steigung der Geraden ax + by + c = 0 beträgt -a/b

• Die Steigung der Geraden 3x + 2y + 5 = 0 beträgt m₁= – 3 / 2.
• Die Steigung der Geraden 2x – 3y + 8 = 0 beträgt m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Wir wissen, dass Geraden senkrecht sind, wenn ihre Steigungen die Bedingung erfüllen.

M₁× m₂= -1

Nun aus der obigen Bedingung,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Das Produkt der Steigungen ist -1 und daher stehen die Geraden senkrecht zueinander.

Beispiel 2: Finden Sie die Gerade senkrecht zur Geraden x + 2y + 5 = 0 und gehen Sie durch den Punkt (2, 5).

Lösung:

Wir wissen, dass die Gleichung einer Geraden senkrecht zur Geraden ax + by + c = 0 – bx + ay + d = 0 lautet.

Die gegebene Geradengleichung ist x + 2y + 5 = 0

Wenn wir die Gerade x + 2y + 5 = 0 mit ax + by + c = 0 vergleichen, erhalten wir:

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Somit lautet die Gleichung jeder Geraden senkrecht zu dieser Geraden – 2x + y + d = 0…(i)

Gegeben sei, dass diese Gerade durch (2, 5) verläuft,

Setzen Sie also (2, 5) in diese Gleichung der Senkrechten ein

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Wenn wir den Wert von d in Gleichung (i) einsetzen, erhalten wir

-2x + y + (-1) = 0

Somit lautet die Gleichung der Senkrechten -2x + y – 1 = 0

Beispiel 3: Ermitteln Sie die Steigung der Geraden senkrecht zur Geraden 3x + 9y + 7 = 0.

Lösung:

Gegeben,

Die Gleichung der Geraden lautet 3x + 9y + 7 = 0

Steigung dieser Linie = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Die Steigung von in senkrecht zur obigen Linie sei m

Verwenden Sie nun die Lotlinienformel

m × (- 1 / 3) = – 1

⇒ m = 3

Somit beträgt die Steigung der Geraden senkrecht zur gegebenen Geraden 3.

Beispiel 4: Ermitteln Sie den Winkel einer Geraden senkrecht zur Geraden x + y + 3 = 0.

Lösung:

Gegebene Zeile,

x + y + 3 = 0

Steigung der gegebenen Linie = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Die Steigung der Geraden senkrecht zur obigen Geraden sei m

Aus der Formel für senkrechte Linien:

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Der Winkel der Linie senkrecht zur gegebenen Linie beträgt dann θ

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Daher beträgt der Winkel, den die senkrechte Linie mit der X-Achse bildet 45°.

Senkrechte Übungsprobleme

Q1. Finden Sie den Winkel einer Geraden senkrecht zur Geraden 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Wenn eine Linie durch die Punkte (11, –4) und (–1, 8) verläuft und eine andere Linie durch die Punkte (8, 3) und (–1, -3). Überprüfen Sie, ob diese Linien parallel oder senkrecht sind.

Q3. Finden Sie die Gleichung für die Gerade, die senkrecht zu 5x − 7y = 5 steht und durch den Punkt (-1, 8) verläuft.

Q4. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch (2, 3) verläuft und senkrecht zur x-Achse steht.

Senkrechte Linien – FAQs

Was sind die senkrechten Linien?

Wenn sich zwei sich schneidende Geraden im rechten Winkel, also im 90-Grad-Winkel, schneiden, nennt man diese beiden Geraden senkrechte Geraden.

Was sind parallele und senkrechte Linien?

Parallele Linien sind die Linien, die sich in der 2D-Ebene nicht treffen. Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden ist immer konstant. Wenn sich hingegen zwei Linien im 90-Grad-Winkel treffen, nennt man diese Linien senkrechte Linien.

Sind Schnittlinien immer senkrecht?

Nein, nicht alle Schnittlinien sind immer senkrecht, sie können senkrecht sein oder auch nicht. Die Schnittlinien können sich in verschiedenen Winkeln treffen.

Was ist die Bedingung für die Steigung senkrechter Linien?

Angenommen, die Steigung zweier Geraden beträgt m₁und M₂dann ist die Bedingung für die Steigungen zweier senkrechter Geraden: M ₁ .M ₂ = -1

Wie viele senkrechte Linien können zu einer Linie gezeichnet werden?

Wir können beliebig viele senkrechte Geraden zu einer Geraden zeichnen, d. h. wir können unendlich viele senkrechte Geraden zu jeder Geraden haben.

Wann sind zwei Linien senkrecht?

Zwei Geraden sind senkrecht, wenn sie sich im 90°-Winkel schneiden, d. h. senkrechte Geraden schneiden sich immer im rechten Winkel.

Was ist ein senkrechtes Dreieck?

Ein Dreieck mit einem Winkel von 90° wird senkrechtes Dreieck genannt. Es wird auch das rechtwinklige Dreieck genannt.

Was sind einige senkrechte Formen?

Einige Formen, die als Senkrechtformen bezeichnet werden, sind Formen, die mindestens eine Senkrechte in sich haben. Verschiedene Beispiele für senkrechte Formen sind Quadrat, Rechteck und rechtwinkliges Dreieck

Was sind senkrechte Winkel?

Die Winkel, die 90° entsprechen, werden senkrechte Winkel genannt. Der andere Name für senkrechte Winkel ist rechter Winkel.

Was ist das Senkrechtsymbol?

Das Symbol oder Zeichen, das die Senkrechte darstellt, ist: ⟂. Mit diesem Symbol zeigen wir an, ob zwei Geraden senkrecht zueinander stehen. Wenn beispielsweise A⟂B geschrieben ist, wobei A und B zwei Geraden sind, dann steht die Gerade A senkrecht zur Geraden B und umgekehrt.

Wie erkennt man, welche Linien senkrecht sind?

Wenn der Winkel zwischen zwei Linien 90° beträgt. Dann können wir sagen, dass diese beiden Linien senkrecht zueinander stehen. Wenn die Steigung der beiden Geraden als m angegeben ist₁, M₂Dann verwenden wir die Formel für senkrechte Linien, um herauszufinden, ob sie senkrecht sind oder nicht. Die Formel für die senkrechte Linie lautet m₁.M₂= -1

Wie finde ich die Steigung der Senkrechten?

Die Steigung der senkrechten Linien lässt sich leicht mit der Steigungsformel berechnen. Angenommen, wir erhalten eine Gerade, dann konvertieren wir sie zunächst in die Standardform und verwenden dann die Steigungsformel, um die Steigung zu ermitteln. Die Steigungsformel lautet m = -b/a, wobei a der Koeffizient von x und b der Koeffizient von y ist.