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Aussagenlogik (PL) ist die einfachste Form der Logik, bei der alle Aussagen durch Sätze gemacht werden. Ein Satz ist eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Es handelt sich um eine Technik zur Wissensdarstellung in logischer und mathematischer Form.

Beispiel:

 a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number. 

Im Folgenden sind einige grundlegende Fakten zur Aussagenlogik aufgeführt:

• Aussagenlogik wird auch Boolesche Logik genannt, da sie mit 0 und 1 arbeitet.
• In der Aussagenlogik verwenden wir symbolische Variablen, um die Logik darzustellen, und wir können jedes beliebige Symbol für a verwenden, das einen Satz darstellt, z. B. A, B, C, P, Q, R usw.
• Aussagen können entweder wahr oder falsch sein, aber nicht beides.
• Aussagenlogik besteht aus einem Objekt, Beziehungen oder einer Funktion und logische Verknüpfungen .
• Diese Verknüpfungen werden auch logische Operatoren genannt.
• Die Sätze und Konnektive sind die Grundelemente der Aussagenlogik.
• Konnektive können als logischer Operator bezeichnet werden, der zwei Sätze verbindet.
• Eine Satzformel, die immer wahr ist, heißt Tautologie , und es wird auch ein gültiger Satz genannt.
• Eine Satzformel, die immer falsch ist, heißt Widerspruch .
• Eine Satzformel, die sowohl wahre als auch falsche Werte hat, heißt
• Aussagen, bei denen es sich um Fragen, Befehle oder Meinungen handelt, sind keine Aussagen wie „ Wo ist Rohini ', ' Wie geht es dir ', ' Wie heißt du ', sind keine Sätze.

Syntax der Aussagenlogik:

Die Syntax der Aussagenlogik definiert die zulässigen Sätze für die Wissensrepräsentation. Es gibt zwei Arten von Vorschlägen:

Atomarsätze Zusammengesetzte Sätze

Atomarer Vorschlag:Atomare Sätze sind die einfachen Sätze. Es besteht aus einem einzigen Satzsymbol. Das sind die Sätze, die entweder wahr oder falsch sein müssen.

Beispiel:

 a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact. 

Zusammengesetzter Satz:Zusammengesetzte Sätze werden durch die Kombination einfacherer oder atomarer Sätze unter Verwendung von Klammern und logischen Verknüpfungen konstruiert.

Beispiel:

 a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.' 

Logische Verknüpfungen:

Logische Verknüpfungen werden verwendet, um zwei einfachere Sätze zu verbinden oder einen Satz logisch darzustellen. Mit Hilfe logischer Verknüpfungen können wir zusammengesetzte Sätze bilden. Es gibt hauptsächlich fünf Konnektive, die wie folgt angegeben sind:

Negation:Ein Satz wie ¬ P heißt Negation von P. Ein Literal kann entweder ein positives Literal oder ein negatives Literal sein.Verbindung:Ein Satz, der hat ∧ Konnektivität wie z.B. P ∧ Q heißt Konjunktion.
Beispiel: Rohan ist intelligent und fleißig. Es kann geschrieben werden als:
P= Rohan ist intelligent ,
F= Rohan ist fleißig. → P∧ Q .Disjunktion:Ein Satz mit ∨ Konnektiv, wie zum Beispiel P ∨ Q . heißt Disjunktion, wobei P und Q die Sätze sind.
Beispiel: „Ritika ist Ärztin oder Ingenieurin“ ,
Hier ist P = Ritika Doktor. F= Ritika ist Doktor, also können wir es so schreiben P ∨ Q .Implikation:Ein Satz wie P → Q wird Implikation genannt. Implikationen werden auch als Wenn-Dann-Regeln bezeichnet. Es kann dargestellt werden als
Wenn Es regnet, dann ist die Straße nass.
Sei P= Es regnet und Q= Die Straße ist nass, also wird sie als P → Q dargestelltBikonditional:Ein Satz wie P⇔ Q ist ein bikonditionaler Satz, Beispiel: Wenn ich atme, dann lebe ich
P= Ich atme, Q= Ich lebe, es kann als P ⇔ Q dargestellt werden.

Es folgt die zusammengefasste Tabelle für Aussagenlogik-Konnektive:

Wahrheitstabelle:

In der Aussagenlogik müssen wir die Wahrheitswerte von Aussagen in allen möglichen Szenarien kennen. Wir können alle möglichen Kombinationen mit logischen Verknüpfungen kombinieren, und die Darstellung dieser Kombinationen in tabellarischer Form wird aufgerufen Wahrheitstabelle . Nachfolgend finden Sie die Wahrheitstabelle für alle logischen Verknüpfungen:

Wahrheitstabelle mit drei Aussagen:

Wir können einen Satz erstellen, der aus drei Sätzen P, Q und R besteht. Diese Wahrheitstabelle besteht aus 8n Tupeln, da wir drei Satzsymbole genommen haben.

Vorrang der Konnektive:

Genau wie bei arithmetischen Operatoren gibt es auch bei Aussagenkonnektoren oder logischen Operatoren eine Rangfolge. Diese Reihenfolge sollte bei der Bewertung eines propositionalen Problems befolgt werden. Im Folgenden finden Sie eine Liste mit der Rangfolge der Operatoren:

Hinweis: Zum besseren Verständnis verwenden Sie Klammern, um sicherzustellen, dass die Interpretation korrekt ist. Zum Beispiel ¬R∨ Q. Es kann als (¬R) ∨ Q interpretiert werden.

Logische Äquivalenz:

Logische Äquivalenz ist eines der Merkmale der Aussagenlogik. Zwei Aussagen gelten genau dann als logisch äquivalent, wenn die Spalten in der Wahrheitstabelle miteinander identisch sind.

Nehmen wir zwei Sätze A und B, sodass wir sie für die logische Äquivalenz als A⇔B schreiben können. In der folgenden Wahrheitstabelle können wir sehen, dass die Spalten für ¬A∨ B und A→B identisch sind, daher ist A äquivalent zu B

Eigenschaften von Operatoren:

Kommutativität:
• P∧ Q= Q ∧ P, oder
• P ∨ Q = Q ∨ P.
Assoziativität:
• (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
• (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
Identitätselement:
• P ∧ Wahr = P,
• P ∨ Wahr= Wahr.
Verteilend:
• P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
• P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
DE Morgans Gesetz:
• 2 > 4 8 2 > 4 8 2 > 4 5 =
• ¬ ( P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
Eliminierung der Doppelnegation:
• ¬ (¬P) = P.

Einschränkungen der Aussagenlogik:

• Wir können Beziehungen wie ALLE, einige oder keine mit Aussagenlogik nicht darstellen. Beispiel:
  Alle Mädchen sind intelligent.
Manche Äpfel sind süß.
• Die Aussagekraft der Aussagenlogik ist begrenzt.
• In der Aussagenlogik können wir Aussagen nicht anhand ihrer Eigenschaften oder logischen Beziehungen beschreiben.