Algebra ist eines der Grundfächer der Mathematik. Polynome sind ein wesentlicher Bestandteil der Algebra. Die Formel von Vieta wird in Polynomen verwendet. In diesem Artikel geht es um die Formel von Vieta, die die Summe und das Produkt der Wurzeln mit dem Koeffizienten des Polynoms in Beziehung setzt. Diese Formel wird speziell in der Algebra verwendet.
Vietas Formel
Vietas Formeln sind jene Formeln, die die Beziehung zwischen der Summe und dem Produkt der Wurzeln des Polynoms mit den Koeffizienten der Polynome liefern. Vietas Formel beschreibt die Koeffizienten des Polynoms in Form der Summe und des Produkts seiner Wurzel.
Vietas Formel
Vietas Formel befasst sich mit der Summe und dem Produkt der Wurzeln und dem Koeffizienten des Polynoms. Es wird verwendet, wenn wir das Polynom finden müssen, wenn Wurzeln angegeben sind, oder wenn wir die Summe oder das Produkt der Wurzeln finden müssen.
Vietas Formel für quadratische Gleichungen
- Wenn f(x) = ax 2 + bx + c ist eine quadratische Gleichung mit Wurzeln A Und B Dann,
- Summe der Wurzeln = α + β = -b/a
- Produkt der Wurzeln = αβ = c/a
- Wenn die Summe und das Produkt der Wurzeln angegeben sind, ergibt sich die quadratische Gleichung durch:
- X 2 – (Summe der Wurzeln)x + (Produkt der Wurzeln) = 0
Vietas Formel für die kubische Gleichung
- Wenn f(x) = ax 3 + bx 2 + cx +d ist eine quadratische Gleichung mit Wurzeln a, b Und C Dann,
- Summe der Wurzeln = α + β + γ = -b/a
- Summe des Produkts zweier Wurzeln = αβ + αγ + βγ = c/a
- Produkt der Wurzeln = αβγ = -d/a
- Wenn die Summe und das Produkt der Wurzeln angegeben sind, ergibt sich die kubische Gleichung durch:
- X 3 – (Summe der Wurzeln)x 2 + (Summe des Produkts zweier Wurzeln)x – (Produkt der Wurzeln) = 0
Vietas Formel für verallgemeinerte Gleichungen
Wenn f(x) = a N X N + a n-1 X n-1 + a n-2 X n-2 + ……… + a 2 X 2 + a 1 x +a 0 ist eine quadratische Gleichung mit Wurzeln R 1 , R 2 , R 3 , …… R n-1 , R N Dann,
R 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r N = -a n-1 /A N
(R 1 R 2 + r 1 R 3 +…. +r 1 R N ) + (r 2 R 3 + r 2 R 4 +……. +r 2 R N ) + ……… + r n-1 R N = a n-2 /A N
:
:
R 1 R 2 …R N = (-1) N (A 0 /A N )
Beispielprobleme
Problem 1: Wenn α , β die Wurzeln der Gleichung sind: x 2 – 10x + 5 = 0 , dann finden Sie den Wert von (α 2 + b 2 )/(A 2 b + ab 2 ).
Lösung:
Gegeben Gleichung:
- X2– 10x + 5 = 0
Nach Vitas Formel
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Als ein2+b2) = (a + b )2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(A2+b2) = 90
Jetzt Wert von (α2+ b2)/(A2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problem 2: Wenn α , β die Wurzeln der Gleichung : x sind 2 + 7x + 2 = 0, dann ermitteln Sie den Wert von 14÷(1/α + 1/ β).
Lösung:
Gegebene Gleichung:
- X2+ 7x + 2 = 0
Nach Vitas Formel
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Nun ist (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Jetzt Wert von 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
sie sind Sänger
Problem 3: Wenn α , β die Wurzeln der Gleichung : x sind 2 + 10x + 2 = 0 , dann ermitteln Sie den Wert von (α/β + β/α).
Lösung:
Gegebene Gleichung:
- X2+ 10x + 2 = 0
Nach Vitas Formel
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Als ein2+b2) = (a + b )2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Jetzt Wert von (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Aufgabe 4: Wenn α und β die Wurzeln der Gleichung sind und α + β = -100 und αβ = -20 gilt, dann finden Sie die quadratische Gleichung.
Lösung:
Gegeben,
- Summe der Wurzeln = α + β = -100
- Produkt der Wurzeln = αβ = -20
Die quadratische Gleichung ist gegeben durch:
X2– (Summe der Wurzeln)x + (Produkt der Wurzeln) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Aufgabe 5: Wenn α , β und γ die Wurzeln der Gleichung sind und α + β + γ = 10, αβ + αγ + βγ = -1 und αβ γ = -6, dann finden Sie die kubische Gleichung.
Lösung:
Gegeben,
- Summe der Wurzeln = α + β + γ = 10,
- Summe des Produkts zweier Wurzeln = αβ + αγ + βγ = -1
- Produkt der Wurzeln = Durchschnitt = -6
Die kubische Gleichung ist gegeben durch:
X3– (Summe der Wurzeln)x2+ (Summe des Produkts zweier Wurzeln)x – (Produkt der Wurzeln) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
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Aufgabe 6: Wenn α , β und γ die Wurzeln der Gleichung x sind 3 + 1569x 2 – 3 = 0, dann ermitteln Sie den Wert von [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Lösung:
Gegeben,
- Summe der Wurzeln = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Summe des Produkts zweier Wurzeln = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Produkt der Wurzeln = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Da (S3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Sei p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Aus Gleichung (1):
(P3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
P3+ q3+ r3= 3 pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/Durchschnitt = -3/3
= -1
Aufgabe 7: Wenn α und β die Wurzeln der Gleichung x sind 2 – 3x +2 =0, dann ermitteln Sie den Wert von α 2 - B 2 .
Lösung:
Gegeben,
- Summe der Wurzeln = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Produkt der Wurzeln = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Als (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Seit,
A2- B2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
A 2 - B 2 = 3