Kenntnisse über Matrizen sind für verschiedene Teilgebiete der Mathematik erforderlich. Matrizen sind eines der mächtigsten Werkzeuge der Mathematik. Aus Matrizen entstehen Determinanten. Nun sehen wir in diesem Artikel eine der Eigenschaften der Determinante.
In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie das finden Adjunkt einer Matrix. Um etwas über die zu wissen Adjunkt einer Matrix wir müssen darüber Bescheid wissen Cofaktor einer Matrix.
Inhaltsverzeichnis
- Adjunkt einer Matrixdefinition
- Moll einer Matrix
- Cofaktor einer Matrix
- Transponieren der Matrix
- Wie finde ich den Adjungierten einer Matrix?
- Eigenschaften des Adjunkten einer Matrix
- Finden der Inversen mithilfe des Adjungierten einer Matrix
Adjunkt einer Matrixdefinition
Der Adjungierte einer Matrix ist die transponierte Matrix des Cofaktors der gegebenen Matrix. Damit jede quadratische Matrix A ihre Adj. berechnet. Matrix müssen wir zuerst die Cofaktormatrix der gegebenen Matrix berechnen und dann ihre Determinante finden. Um den Ajoint einer Matrix zu berechnen, führen Sie die folgenden Schritte aus:
Schritt 1 : Berechnen Sie den Nebenwert aller Elemente der gegebenen Matrix A.
Schritt 2: Finden Sie die Cofaktormatrix C mithilfe der Nebenelemente.
Schritt 3: Finden Sie die adjungierte Matrix von A, indem Sie die Transponierte der Cofaktormatrix C nehmen.
Für jede 2×2-Matrix A ist das Bild ihres Adjungierten unten dargestellt:
Lassen Sie uns nun etwas über Minor, Cofaktor und Transponierte der Matrix lernen.
Moll einer Matrix
Das Nebenelement der Matrix ist die Matrix oder das Element, das durch Ausblenden der Zeile und Spalte der Matrix des Elements berechnet wird, für das das Nebenelement berechnet wird. Für die 2×2-Matrix ist das Minor das Element, das angezeigt wird, indem die Zeile und Spalte des Elements ausgeblendet wird, für das das Minor berechnet wird.
Lerne mehr über, Minderjährige und Cofaktoren
Cofaktor einer Matrix
Der Cofaktor ist die Zahl, die wir erhalten, wenn wir die Spalte und Zeile eines bestimmten Elements in einer Matrix entfernen. Es bedeutet, ein Element aus einer Matrix zu nehmen und die gesamte Zeile und Spalte dieses Elements aus der Matrix zu löschen. Anschließend wird ermittelt, welche Elemente in dieser Matrix vorhanden sind Cofaktor.
So finden Sie den Cofaktor einer Matrix
Um den Cofaktor eines Elements einer Matrix zu ermitteln, können wir die folgenden Schritte ausführen:
Schritt 1: Löschen Sie die gesamte Zeile und Spalte, die das betreffende Element enthält.
Schritt 2: Nehmen Sie die restlichen Elemente so, wie sie in der Matrix nach Schritt 1 sind.
Schritt 3: Finden Sie die Determinante der in Schritt 2 gebildeten Matrix, die als bezeichnet wird unerheblich des Elements.
Schritt 4: Verwenden Sie nun die Formel für den Cofaktor von Element aijd.h. (-1)i+jMijwobei Mij das Moll des Elements im i istThReihe und jThSpalte, die bereits in Schritt 3 berechnet wurde.
Schritt 5: Das Ergebnis von Schritt 4 ist der Cofaktor des betrachteten Elements. Auf ähnliche Weise können wir den Cofaktor jedes Elements der Matrix berechnen, um die Cofaktormatrix der gegebenen Matrix zu ermitteln.
Beispiel: Finden Sie die Cofaktormatrix von
Lösung:
Gegebene Matrix ist
A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} Suchen wir den Cofaktor des Elements in der ersten Zeile und der dritten Spalte, d. h. 3.
Schritt 1: Löschen Sie die gesamte Zeile und Spalte, die das betreffende Element enthält.
d.h.,
egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix} Schritt 2: Nehmen Sie die restlichen Elemente so, wie sie in der Matrix nach Schritt 1 sind.
d.h.,
egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} Schritt 3: Finden Sie die Determinante der in Schritt 2 gebildeten Matrix, die als Minor des Elements bezeichnet wird.
Moll von 3 Zoll
A = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32 Schritt 4: Verwenden Sie nun die Formel für den Cofaktor von Element aijd.h. (-1)i+jMij
Cofaktor von Element 3 = (-1)1+3(32) = 32
Schritt 5: Setzen Sie das Verfahren für alle Elemente fort, um die Cofaktormatrix von A zu ermitteln.
d. h. Cofaktormatrix von A =
egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}
Transponieren der Matrix
Die Transponierung einer Matrix ist die Matrix, die durch gegenseitiges Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix entsteht. Die Transponierte der Matrix A wird als A bezeichnetToder ein'. Wenn die Ordnung der Matrix A m×n ist, dann ist die Ordnung der transponierten Matrix n×m.
Lerne mehr über, Transponieren einer Matrix
Wie finde ich den Adjungierten einer Matrix?
Um den Adjungierten einer Matrix zu finden, müssen wir zuerst den Cofaktor jedes Elements finden und dann zwei weitere Schritte finden. siehe unten die Schritte,
Schritt 1: Finden Sie den Cofaktor jedes in der Matrix vorhandenen Elements.
Schritt 2: Erstellen Sie eine weitere Matrix mit den Cofaktoren als Elementen.
Schritt 3: Finden Sie nun die Transponierte der Matrix, die nach Schritt 2 entsteht.
So finden Sie den Adjungierten einer 2×2-Matrix
Betrachten wir ein Beispiel zum Verständnis der Methode zum Ermitteln des Adjungierten der 2×2-Matrix.
Beispiel: Finden Sie den Adjungierten von
Lösung:
Gegebene Matrix ist
ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix} Schritt 1: Finden Sie den Cofaktor jedes Elements.
Cofaktor des Elements bei A[1,1]: 5
Cofaktor des Elements bei A[1,2]: -4
Cofaktor des Elements bei A[2,1]: -3
Cofaktor des Elements bei A[2,2]: 2
Schritt 2: Erstellen Sie eine Matrix aus Cofaktoren
d.h.,
old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}} Schritt 3: Transponierte der Cofaktor-Matrix,
old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}
So finden Sie den Adjungierten einer 3×3-Matrix
Nehmen wir ein Beispiel einer 3×3-Matrix, um zu verstehen, wie der Adjungierte dieser Matrix berechnet wird.
Beispiel: Finden Sie den Adjungierten von
Lösung:
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Schritt 1: Finden Sie den Cofaktor jedes Elements.
C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3 Schritt 2: Erstellen Sie eine Matrix aus Cofaktoren
String-Teilstring
C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix} Schritt 3: Transponieren Sie die Matrix C zur Adjungierten der gegebenen Matrix.
operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix} Welches ist adjungiert zur gegebenen Matrix A.
Eigenschaften des Adjunkten einer Matrix
Adjungierte einer Matrix haben verschiedene Eigenschaften. Einige dieser Eigenschaften sind wie folgt:
- A(Adj A) = (Adj A)A = |A| ICHN
- Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
- |Adj A| = |A|n-1
- Adj(kA) = kn-1(Anpassung A)
Finden der Inversen mithilfe des Adjungierten einer Matrix
Das Finden der Umkehrung ist eine der wichtigen Anwendungen des Adjungierten der Matrix. Um die Umkehrung einer Matrix mithilfe von Adjoint zu finden, können wir die folgenden Schritte ausführen:
Schritt 1: Finden Sie die Determinante der Matrix .
Schritt 2: Wenn die Determinante Null ist, ist die Matrix nicht invertierbar und es gibt keine Umkehrung.
Schritt 3: Wenn die Determinante ungleich Null ist, ermitteln Sie den Adjungierten der Matrix.
Schritt 4: Teilen Sie den Adjungierten der Matrix durch die Determinante einer Matrix.
Schritt 5: Das Ergebnis von Schritt 4 ist die Umkehrung der angegebenen Matrix.
Beispiel: Finden Sie die Umkehrung von
Lösung:
Gegebene Matrix
A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} |A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)
⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)
⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0
Daher existiert die Umkehrung von A nicht.
Lerne mehr über, Umkehrung einer Matrix
Gelöste Beispiele für Adjungierte einer Matrix
Beispiel 1: Finden Sie den Adjungierten der gegebenen Matrix
Lösung:
Schritt 1: Den Cofaktor jedes Elements ermitteln
Um den Cofaktor jedes Elements zu ermitteln, müssen wir die Zeile und Spalte jedes Elements einzeln löschen und nach dem Löschen die vorhandenen Elemente übernehmen.
Cofaktor der Elemente bei A[0,0] = 1 :
+egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4Cofaktor der Elemente bei A[0,1] = 2:
-egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33Cofaktor der Elemente bei A[0,2] = 3 :
+egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32Cofaktor der Elemente bei A[2,0] = 7:
-egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6Cofaktor der Elemente bei A[2,1] = 4:
+egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9Cofaktor der Elemente bei A[2,2] = 5 :
-egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4Cofaktor der Elemente bei A[3,0] = 6 :
+egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2Cofaktor der Elemente bei A[3,1] = 8 :
-egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16Cofaktor der Elemente bei A[3,2] = 9 :
+egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10Die Matrix sieht mit den Cofaktoren wie folgt aus:
A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix} Die endgültige Cofaktormatrix:
A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix} Schritt 2: Finden Sie die Transponierte der in Schritt 1 erhaltenen Matrix
adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix} Dies ist das Adjunkt der Matrix.
Beispiel 2: Finden Sie den Adjungierten der gegebenen Matrix
Lösung:
Schritt 1: Den Cofaktor jedes Elements ermitteln
Um den Cofaktor jedes Elements zu ermitteln, müssen wir die Zeile und Spalte jedes Elements einzeln löschen und nach dem Löschen die vorhandenen Elemente übernehmen.
Cofaktor des Elements bei A[0,0] = -1 :
+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3Cofaktor der Elemente bei A[0,1] = -2 :
-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6Cofaktor der Elemente bei A[0,2] = -2 :
+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6Cofaktor der Elemente bei A[2,0] = 2 :
-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6Cofaktor der Elemente bei A[2,1] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3Cofaktor der Elemente bei A[2,2] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofaktor der Elemente bei A[3,0] = 2 :
+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6Cofaktor der Elemente bei A[3,1] = -2 :
-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6Cofaktor der Elemente bei A[3,2] = 1 :
+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3Die endgültige Cofaktormatrix:
A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix} Schritt 2: Finden Sie die Transponierte der in Schritt 1 erhaltenen Matrix
adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix} Dies ist das Adjunkt der Matrix.
FAQs zum Adjungierten einer Matrix
Was ist Adjunkt einer Matrix?
Der Adjungierte einer quadratischen Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix der ursprünglichen Matrix. Sie wird auch als Adjugatmatrix bezeichnet.
Wie wird der Adjungierte einer Matrix berechnet?
Um den Adjungierten einer Matrix zu berechnen, müssen Sie die Cofaktormatrix der gegebenen Matrix ermitteln und diese dann transponieren.
Was nützt der Adjungierte einer Matrix?
Die wichtigste Anwendung oder Verwendung des Adjungierten einer Matrix besteht darin, die Umkehrung invertierbarer Matrizen zu finden.
Welche Beziehung besteht zwischen der Inversen einer Matrix und ihrem Adjungierten?
Die Umkehrung einer Matrix erhält man, indem man ihren Adjungierten durch ihre Determinante dividiert. Das heißt, wenn A eine quadratische Matrix ist und det(A) ungleich Null ist, dann
A -1 = adj(A)/det(A)
Was ist eine Adjugate-Matrix?
Die adjungierte Matrix wird auch Adjugatmatrix genannt. Es ist die Transponierte des Cofaktors der gegebenen Matrix.
Was ist der Unterschied zwischen Adjungiert und Transponiert einer Matrix?
Der Adjunkt einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix, während die Transponierte einer Matrix durch Vertauschen ihrer Zeilen und Spalten erhalten wird.
Ist eine quadratische Matrix immer invertierbar?
Nein, quadratische Matrizen sind nicht immer invertierbar. Eine quadratische Matrix ist nur dann invertierbar, wenn sie eine Determinante ungleich Null hat.
Kann der Adjungierte einer nichtquadratischen Matrix berechnet werden?
Nein, der Adjungierte einer Matrix kann aufgrund seiner Definition nur für eine quadratische Matrix berechnet werden.