Transponierte einer Matrix ist eine sehr häufig verwendete Methode zur Matrixtransformation in der linearen Algebra. Die Transponierung einer Matrix wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der gegebenen Matrix oder umgekehrt erreicht. Die Transponierung einer Matrix kann verwendet werden, um die Adjungierten und Inversen der Matrizen zu erhalten.

Bevor wir uns mit den Details der Transponierung einer Matrix befassen, lernen wir zunächst, was eine Matrix ist. Eine Matrix ist nichts anderes als die Darstellung des Datensatzes im rechteckigen Array-Format. In einer Matrix sind Daten in bestimmten Zeilen und Spalten angeordnet. In der Mathematik gibt es verschiedene Arten von Matrizen, die in der Reihenfolge Zeilen × Spalten dargestellt werden. Nehmen wir ein Beispiel der Matrix der Ordnung 3 × 2 (sagen wir A).

A =egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}

In diesem Artikel erfahren wir mehr darüber die Transponierte einer Matrix, ihre Typen, Eigenschaften, Symbole und Reihenfolge, wie man die Transponierte einer Matrix findet und Beispiele dafür.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Matrix?
• Arten von Matrizen
• Was ist die Transponierung einer Matrix?
• Symbol der Transponierungsmatrix | Notation transponieren
• Reihenfolge der Transponierungsmatrix
• Wie finde ich die Transponierte einer Matrix?
• Transponieren der Zeilen- und Spaltenmatrix
• Transponieren horizontaler und vertikaler Matrizen
• Transponieren einer symmetrischen Matrix
• Transponieren einer Diagonalmatrix
• Transponieren einer transponierten Matrix
• Transponieren einer quadratischen Matrix
• Transponieren Sie eine 3 × 3-Matrix
• Determinante der Transponierten einer Matrix
• Transponieren einer Matrixeigenschaften

Was ist eine Matrix?

Eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Symbolen oder Zeichen, die einer bestimmten Zeile und Spalte zugeordnet sind, wird als Matrix bezeichnet. Die in der Matrix vorhandenen Zahlen, Symbole oder Zeichen werden als Elemente der Matrix bezeichnet. Die Anzahl der in einer Matrix vorhandenen Zeilen und Spalten bestimmt die Reihenfolge der Matrix. Wenn beispielsweise eine Matrix „A“ „i“ Zeilen und „j“ Spalten enthält, wird die Matrix durch [A]i⨯j dargestellt. Dabei bestimmt i⨯j die Ordnung der Matrix. Sehen wir uns ein Beispiel einer Matrix an.

egin{bmatrix}1 & 2 3 & 4 5 & 6end{bmatrix}_{3 imes2}

Im obigen Beispiel gibt es drei Zeilen und zwei Spalten, daher ist die Reihenfolge der Matrix 3⨯2.

Arten von Matrizen

Es gibt verschiedene Arten von Matrizen, basierend auf der Anzahl ihrer Zeilen und Spalten und auch aufgrund der spezifischen Eigenschaften, die sie aufweisen. Schauen wir uns einige davon an

• Zeilenmatrix: Eine Matrix, in der es nur eine Zeile und keine Spalte gibt, wird Zeilenmatrix genannt.
• Spaltenmatrix: Eine Matrix, in der es nur eine Spalte und jetzt eine Zeile gibt, wird Spaltenmatrix genannt.
• Horizontale Matrix: Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen kleiner als die Anzahl der Spalten ist, wird als horizontale Matrix bezeichnet.
• Vertikale Matrix: Eine Matrix, bei der die Anzahl der Spalten kleiner als die Anzahl der Zeilen ist, wird als vertikale Matrix bezeichnet.
• Rechteckige Matrix: Eine Matrix, in der die Anzahl der Zeilen und Spalten ungleich ist, wird als Rechteckmatrix bezeichnet.
• Quadratische Matrix: Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, wird Quadratmatrix genannt.
• Diagonale Matrix: Eine quadratische Matrix, in der die nichtdiagonalen Elemente Null sind, wird Diagonalmatrix genannt.
• Nullmatrix: Eine Matrix, deren alle Elemente Null sind, wird Nullmatrix genannt.
• Einheitenmatrix: Eine Diagonalmatrix, deren alle Diagonalelemente 1 sind, wird Einheitsmatrix genannt.
• Symmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn die Transponierte der Originalmatrix gleich ihrer Originalmatrix ist. d.h. (A^T) = A.
• Schrägsymmetrisch: Eine schiefsymmetrische (oder antisymmetrische oder antimetrische[1]) Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte ihrem Negativ entspricht, d. h. (A^T) = -A.

Lesen Sie auch , Arten von Matrizen

Was ist die Transponierung einer Matrix?

Eine Transponierte einer Matrix ist eine Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der gegebenen Matrix oder umgekehrt entsteht, d. h. für die gegebene Matrix werden die Elemente in den Zeilen mit den Elementen in den Spalten vertauscht. Für jede gegebene Matrix A wird ihre Transponierte als A bezeichnet^T, oder ein^T.

Transponieren einer Matrixdefinition

Die Transponierung einer Matrix ist eine mathematische Operation, bei der die Zeilen und Spalten der ursprünglichen Matrix umgedreht werden.

Darstellung der Transponierten einer Matrix

A = [a _(ij) ] _{m × n}
A ^T = [a _{(von dem)} ] _{n × m}

Hier stellen i, j die Position eines Matrixelements zeilen- bzw. spaltenweise dar, sodass 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n gilt.

Beispiel: Für jede gegebene Matrix A der Ordnung 2 × 3 seine Transponierte ist?

A = egin{bmatrix} 2 & 5 & 3 4 & 7 & 0 end{bmatrix}

Lösung:

Transponieren von A

A^T=egin{bmatrix} 2 & 4 5 & 7 3 & 0 end{bmatrix}

Orden von A^TIst 3×2

Symbol der Transponierungsmatrix | Notation transponieren

Transponieren einer Matrix ist die Operation, die die Matrix um ihre Hauptdiagonale dreht und ihre Zeilen mit Spalten vertauscht. Die Transponierte einer Matrix A wird mit der Notation A‘ oder A bezeichnet^Toder ein^T.

Reihenfolge der Transponierungsmatrix

Die Reihenfolge einer Matrix gibt Auskunft über die Gesamtzahl der Elemente, die eine Matrix enthält. Es stellt auch die Anzahl der Zeilen und Spalten in einer Matrix dar. Horizontale Werte stellen die Zeilen der Matrix dar und vertikale Werte stellen die Spalten der Matrix dar. Für jede Matrix A_m×n, die Reihenfolge ist m×n, d. h. sie hat m Zeilen und n Spalten. Daher ist die Transponierte der Matrix A A^Tund seine Ordnung ist n×m, d. h. es hat n Zeilen und m Spalten.

Wie finde ich die Transponierte einer Matrix?

Die Transponierung einer beliebigen Matrix kann leicht gefunden werden, indem die Werte in den Zeilen durch die Werte in den Spalten ersetzt werden. Nehmen wir ein Beispiel, um dies im Detail zu verstehen.

Für jede Matrix A₂₃, Die Reihenfolge ist 2×3, was bedeutet, dass es 2 Zeilen und 3 Spalten hat.

A = egin{bmatrix} a & b & c x & y & z end{bmatrix}

Die Transponierte der Matrix A ist A^Tder Ordnung 3×2 mit 3 Zeilen und 2 Spalten. In der transponierten Matrix werden Elemente der ersten Zeile der gegebenen Matrix mit der ersten Spalte der transponierten Matrix ausgetauscht. Ebenso werden die Elemente der zweiten Zeile der gegebenen Matrix A mit der zweiten Spalte der neuen Matrix A vertauscht^Tund so weiter, bis die gesamte Matrix ausgetauscht ist.

for-Schleife im Shell-Skript

A^T=egin{bmatrix} a & x b & y c & z end{bmatrix}

Transponieren der Zeilen- und Spaltenmatrix

Eine Matrix mit einer einzelnen Zeile wird als Zeilenmatrix bezeichnet, wohingegen eine Matrix mit einer einzelnen Spalte als Spaltenmatrix bezeichnet wird. Die Transponierte einer Zeilenmatrix ist eine Spaltenmatrix und umgekehrt. Wenn beispielsweise P eine Spaltenmatrix der Ordnung 4 × 1 ist, dann ist ihre Transponierte eine Zeilenmatrix der Ordnung 1 × 4. Wenn Q eine Zeilenmatrix der Ordnung 1 × 3 ist, dann ist ihre Transponierte eine Spaltenmatrix der Ordnung 3 × 1.

P = left[egin{array}{cccc} a & b & c & dend{array} ight]⇒ P^{t} = left[egin{array}{c} a b c d end{array} ight]

Q = left[egin{array}{c} p q r end{array} ight]⇒ Q^{t} = left[egin{array}{ccc} p & q & rend{array} ight]

Transponieren horizontaler und vertikaler Matrizen

Wenn die Anzahl der Zeilen in einer Matrix kleiner ist als die Anzahl der Spalten, wird die Matrix als horizontale Matrix bezeichnet, und wenn die Anzahl der Spalten in einer Matrix kleiner als die Anzahl der Zeilen ist, wird die Matrix als a bezeichnet vertikale Matrix. Die Transponierte einer horizontalen Matrix ist eine vertikale Matrix und umgekehrt. Wenn M beispielsweise eine horizontale Matrix der Ordnung 2 × 3 ist, dann ist ihre Transponierte eine vertikale Matrix der Ordnung 3 × 2.

M = left[egin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 0 & 3 & 4 end{array} ight]_{2 imes3}⇒ M^{t} = left[egin{array}{cc} 2 & 0 0 & 3 -1 & 4 end{array} ight]_{3 imes2}

N = left[egin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 4 & 6 & 8 6 & 9 & 12 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{4 imes3}⇒ N^{t} = left[egin{array}{cccc} 2 & 4 & 6 & 8 3 & 6 & 9 & 12 4 & 8 & 12 & 16 end{array} ight]_{3 imes4}

Transponieren einer symmetrischen Matrix

Eine symmetrische Matrix ist wie ein besonderes Muster, bei dem die Zahlen so angeordnet sind, dass sie sich über die diagonale Linie von links oben nach rechts unten spiegeln. Das Transponieren einer Matrix bedeutet, die Matrix über diese Diagonale umzudrehen.

Zum Beispiel,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Die Zahlen auf beiden Seiten der diagonalen Linie sind gleich: 2 steht gegenüber von 2, 3 steht gegenüber von 3 und so weiter. Wenn wir nun die Transponierte dieser Matrix nehmen, drehen wir sie einfach über die Diagonale. So werden die Zahlen, die ursprünglich in Zeilen standen, zu Spalten und umgekehrt.

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & 5 3 & 5 & 6 end{bmatrix}

Hier sind die ursprüngliche Matrix und ihre Transponierte genau gleich. Denn wenn Sie eine symmetrische Matrix transponieren, erhalten Sie dieselbe Matrix zurück! Dies ist eine besondere Eigenschaft symmetrischer Matrizen.

Transponieren einer Diagonalmatrix

Eine Diagonalmatrix ist wie ein Muster, bei dem die Zahlen nur entlang der diagonalen Linie von links oben nach rechts unten erscheinen, während alle anderen Einträge Nullen sind. Das Transponieren einer Matrix bedeutet, die Matrix über diese Diagonale umzudrehen.

Zum Beispiel,

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Hier erscheinen die Zahlen 2, 3 und 5 entlang der Diagonale, während alle anderen Einträge Nullen sind. Da eine Diagonalmatrix über ihre Diagonale bereits symmetrisch ist, ist die Transponierte einer Diagonalmatrix einfach sie selbst:

egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}^T = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5 end{bmatrix}

Transponieren einer transponierten Matrix

Wenn Sie eine Matrix transponieren, drehen Sie sie im Wesentlichen über ihre Diagonale. Das Transponieren einer bereits transponierten Matrix bedeutet also, sie wieder in ihre ursprüngliche Ausrichtung umzukehren.

Zum Beispiel,

egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix}

Nehmen wir nun die Transponierte dieser transponierten Matrix:

left( egin{bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end{bmatrix} ight)^T = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{bmatrix}

Transponieren einer quadratischen Matrix

Quadratische Matrizen sind Matrizen, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben. für jede quadratische Matrix A_n×n, seine Transponierte hat die gleiche Reihenfolge, d. h. die Transponierte von A, A^That Ordnung n × n. Bei der Transponierung einer quadratischen Matrix sind die Zeilen und Spalten vertauscht.

Transponieren Sie eine 2 × 2-Matrix

Für alle 2 × 2-Matrizen A,

A =egin{bmatrix} a & x b & y end{bmatrix}

seine Transponierte ist A^T,

A^T= egin{bmatrix} a & b x & y end{bmatrix}

Beispiel: Finden Sie die Transponierte der Matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix}

Lösung:

Transponierte der Matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{bmatrix} Ist

A^T=egin{bmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{bmatrix}

Transponieren Sie eine 3 × 3-Matrix

Für alle 3 × 3-Matrizen A,

A =egin{bmatrix} a & x & p b & y & q c & z & r end{bmatrix}

seine Transponierte ist A^T,

A^T= egin{bmatrix} a & b & c x & y & z p & q & r end{bmatrix}

Beispiel: Finden Sie die Transponierte der Matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Lösung:

Transponierte der Matrix A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} Ist

A^T=egin{bmatrix} 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 end{bmatrix}

Determinante der Transponierten einer Matrix

Die Determinante der Transponierten einer Matrix A ist gleich der Determinante von A selbst, d. h. für jede quadratische Matrix A

|A| = |A ^T |

Transponieren einer Matrixeigenschaften

Lassen Sie uns etwas über die wichtigen Eigenschaften der Transponierten einer Matrix lernen:

Thread-Synchronisation

• Eine quadratische Matrix A der Ordnung n × n heißt orthogonale Matrix, wenn AA^T= A^TA = I, wobei I eine Identitätsmatrix der Ordnung n × n ist.
• Eine quadratische Matrix A der Ordnung n × n wird als symmetrische Matrix bezeichnet, wenn ihre Transponierte mit der ursprünglichen Matrix, d. h. A, übereinstimmt^T= A.
• Eine quadratische Matrix A der Ordnung n × n wird als schiefsymmetrische Matrix bezeichnet, wenn ihre Transponierte gleich dem Negativ der ursprünglichen Matrix ist, d. h. A^T= –A.
• Doppelte Transponierung einer Matrix: Die Transponierte der Transponierungsmatrix ist die Originalmatrix selbst.

(A ^T ) ^T = A

• Transponieren des Matrizenprodukts: Diese Eigenschaft sagt das

(AB) ^T = B ^T A ^T

Nachweisen:

Wenn die Matrizen A und B die Ordnungen m × n bzw. n × p haben.

Und

A^Tund B^Tsind die Transponierten der Matrizen A und B der Ordnungen n × m bzw. p × n (aus der Produktregel der Matrizen).

Dies impliziert, wenn A = [a(ij)] und A^T= [c(von)]

Dann ist [c(ji)] = [a(ij)]

Und,

Wenn B = [b(jk)] und B^T= [d(kj)]

Dann ist [d(kj)] = [b(jk)]

Aus der Produktregel von Matrizen können wir nun schreiben:

AB ist die m × p-Matrix und (AB)^Tist eine p × m-Matrix.

Auch B^Tist eine p × n-Matrix und A^Tist eine n × m-Matrix.

Dies impliziert, dass

(B^T)(A^T) ist eine p × m-Matrix.

Daher,

(AB)^Tund B^T)(A^T) sind beide p × m-Matrizen.

Jetzt können wir schreiben:

(k, i)^ThElement von (AB)^T= (i, k)^ThElement von AB

sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} sum_{j=1}^{n} c_{ji} d_{kj}

sum_{j=1}^{n} d_{kj} c_{ji}

(k, i)th Element von (B ^T )(A ^T )

Daher,

die Elemente von (AB) ^T Und (B ^T )(A ^T ) sind gleich.

Daher,

(AB) ^T = (B ^T )(A ^T )

• Multiplikation mit Konstante: Wenn eine Matrix mit einem Skalarwert multipliziert und ihre Transponierte übernommen wird, ist die resultierende Matrix gleich der Transponierten der ursprünglichen Matrix multipliziert mit dem Skalarwert, d. h. (kA).^T= kA^T, wobei k ein Skalarwert ist.

Nachweisen:

Betrachten wir eine Matrix A = [a_ij]_{m × n}und ein Skalar k.

Die Ordnung der gegebenen Matrix A ist m × n.

Wenn Matrix A mit dem Skalarwert k multipliziert wird, dann werden alle Elemente der Matrix mit dieser Skalarkonstante k multipliziert, die Reihenfolge der Matrix kA bleibt jedoch gleich, d. h. m × n.

Nun ist die Reihenfolge der Transponierten der Matrix kA, also (kA)^Twird n × m sein.

Da die Ordnung der Matrix A m × n ist, ist die Ordnung ihrer transponierten Matrix, d. h. A^Twird n × m sein.

Wenn Matrix A^Twird mit dem Skalarwert k multipliziert, dann ist die Ordnung der Matrix kA^Twird auch n × m sein.

Also die Reihenfolge der Matrizen (kA)^Tund kA^Tgleich ist, also n × m.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die entsprechenden Elemente von (kA)^Tund kA^Tsind gleich.

Das (i, j)-te Element von (kA)^Twird gleich dem (j, i)-ten Element von kA sein.

(i, j)^ThElement von (kA)^T= (j, i)^ThElement von kA

⇒ (i, j)^ThElement von (kA)^T= (i, j)^ThElement von kA^T

Wir sagen also, dass die entsprechenden Elemente von (kA)^Tund kA^Tsind gleich.

Als Ordnung und entsprechende Elemente von (kA)^Tund kA^Tsind gleich,

Daraus können wir schließen (kA) ^T = kA ^T .

Onclick-Javascript

• Transponierte der Addition von Matrizen: Diese Eigenschaft sagt das.

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

Nachweisen:

Hier sind A und B zwei Ordnungsmatrizen m × n

Lassen, A = [a(ij)] Und B = [b(ij)] der Ordnung m × n .

Also, (A + B) ist auch in Ordnung m × n Matrix

Auch, A ^T Und B ^T sind in Ordnung n × m Matrizen.

Also, die Transponierte der Matrix (A + B) oder (A + B) ^T ist ein n × m Matrix.

Jetzt können wir sagen: A ^T + B ^T ist auch ein n × m Matrix.

Nun, aus der Transponierungsregel,
(j, i)th Element von (A + B) ^T = (i, j)th Element von (A + B)

= (i, j)th Element von A + (i, j)th Element von B
= (j, i)th Element von A ^T + (j, i)th Element von B ^T
= (j, i)th Element von (A ^T + B ^T )

Daher,

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

• Wenn A eine quadratische Matrix beliebiger Ordnung ist und invertierbar ist, dann ist die Umkehrung ihrer Transponierten gleich der Transponierten der Umkehrung der ursprünglichen Matrix, d. h. (A^T)^-1= (A^-1)^T.

Nachweisen:

Um zu beweisen, dass (A^T)^-1= (A^-1)^TBetrachten wir eine nicht singuläre quadratische Matrix A.

RHS = (A^-1)^T

Multiplizieren Sie nun (A^-1)^Tdurch eine^T

Java elseif

= (A^-1)^T× A^T

Wir wissen, dass (AB)^T= B^TA^T

Also, (A^-1)^TA^T= (AA^-1)^T

Wir wissen, dass die AA^-1= I, wobei I eine Identitätsmatrix ist.

Also, (A^-1)^TA^T= Ich^T

⇒ (A^-1)^TA^T= Ich (Da ich^T= ich)

⇒ (A^-1)^T= (A^T)^-1= Links

Somit bewiesen.

Daher, (A ^T ) ^-1 = (A ^-1 ) ^T

Die Leute lesen auch:

• Adjunkt einer Matrix
• Determinante einer Matrix
• Umkehrung einer Matrix

Gelöste Beispiele zur Transponierung einer Matrix

Beispiel 1: Finden Sie die Transponierte der Matrix A = egin{bmatrix} a & b & c p & q & r end{bmatrix}

Lösung:

Die Transponierte der Matrix A ist A^T

A^T=egin{bmatrix} a & p b & q c & r end{bmatrix}

Beispiel 2: Für Matrizen A = egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} Und B = egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

Beweisen Sie, dass für diese Matrizen die Eigenschaft (AB) gilt ^T = (B ^T )(A ^T )

Lösung:

Hier sind A und B 23 Und 3×2 Matrizen bzw. Mit der Produktregel einer Matrix können wir also ihr Produkt ermitteln und die endgültigen Matrizen wären von 2×2 Matrix.

L.H.S

Jetzt,

AB= egin{bmatrix} -2 & 1 & 3 0 & 4 & -1 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 1 -3 & 0 4 & -5 end{bmatrix}

AB =egin{bmatrix} (-2)×2+1×(-3)+3×4 & (-2)×1+1×0+3×(-5) 0×2+4×(-3)+(-1)×4 & 0×1+4×0+(-1)×(-5) end{bmatrix}

AB= egin{bmatrix} 5 & -17 -16 & 5 end{bmatrix}

Die Transponierte der Matrix AB ist also:

(AB)^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix} egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix}

Und

B^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix}

Also,

B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2 & -3 & 4 1 & 0 & -5 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} -2 & 0 1 & 4 3 & -1 end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 2×(-2)+(-3)×1+4×3 & 2×0+(-3)×4+4×(-1) 1×(-2)+0×1+(-5)×3 & 1×0+0×4+(-5)×(-1) end{bmatrix} B^{t}A^{t} = egin{bmatrix} 5 & -16 -17 & 5 end{bmatrix}

Daher,

(AB) ^T = B ^T A ^T

Beispiel 3: Überprüfen Sie, ob (Q ^T ) ^T = Q oder nicht.

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Lösung:

Q = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]

Q^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight]^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 5 & 6 & 8 end{array} ight]^{T}

(Q^{T})^{T} = left[egin{array}{cc} 1 & 5 2 & 6 3 & 8 end{array} ight] = Q

Daher verifiziert.

Beispiel 4: Überprüfen Sie, ob die unten angegebene Matrix symmetrisch ist oder nicht.

P = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]

Lösung:

Wir wissen, dass eine quadratische Matrix P der Ordnung n × n eine symmetrische Matrix ist, wenn ihre Transponierte mit der ursprünglichen Matrix, also P, übereinstimmt^T= P.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight]^{T}

Nun, P^Twird durch Vertauschen seiner Zeilen in Spalten erhalten.

P^{T} = left[egin{array}{cc} 6 & -5 -5 & 6 end{array} ight] = P

Als P^T= P, die gegebene quadratische Matrix ist symmetrisch.

Beispiel 5: Für Matrizen A= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} Und B= egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix}

Beweisen Sie, dass diese Matrizen diese Eigenschaft (A + B) besitzen. ^T = A ^T + B ^T

Lösung:

Leeren Sie den NPM-Cache

L.H.S

(A+B)= egin{bmatrix} -1 & 5 3 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & -2 5 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 5+(-2) 3+5 & 2+4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 6 end{bmatrix}

Also,

(A+B)^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

R.H.S

A^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix}

Und,

B^{t} = egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix}

Jetzt,

A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} -1 & 3 5 & 2 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 3 & 5 -2 & 4 end{bmatrix} = egin{bmatrix} (-1)+3 & 3+5 5+(-2) & 2+4 end{bmatrix} A^{t} + B^{t} = egin{bmatrix} 2 & 8 3 & 6 end{bmatrix}

Daher,

(A + B) ^T = A ^T + B ^T

FAQs zur Transponierung einer Matrix

Was ist die Transponierte einer Matrix?

Die Transponierte einer Matrix ist eine Matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten der Matrix entsteht. Die Transponierte der Matrix A wird als A bezeichnet^T. Für eine gegebene Matrix der Ordnung m×n hat die Transponierte der Matrix die Ordnung n×m.

Wie ist die Reihenfolge der Transponierung einer Quadratmatrix?

Bei einer quadratischen Matrix ändert sich die Ordnung der Matrix bei der Transponierung nicht, daher ist für eine Matrix der Ordnung n×n die Ordnung ihrer Transponierung ebenfalls n×n.

Was ist die Additionseigenschaft der Transponierungsmatrix?

Die Additionseigenschaft der Transponierten einer Matrix besagt, dass die Summe zweier Transponierter Matrizen immer gleich der Summe der Transponierten einzelner Matrizen ist, d. h.

(A+B)′ = A′+B′

Was ist die Multiplikationseigenschaft der Transponierungsmatrix?

Die Multiplikationseigenschaft der Transponierten einer Matrix besagt, dass das Produkt der Transponierten zweier Matrizen immer gleich dem Produkt der Transponierten einzelner Matrizen in umgekehrter Reihenfolge ist, d. h.

(A×B)′ = B′ × A′

Wie berechnet man die Transponierte einer Matrix?

Die Transponierung einer beliebigen Matrix kann leicht gefunden werden, indem die Werte in den Zeilen durch die Werte in den Spalten ersetzt werden.