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Boolsche Algebra

Die Boolesche Algebra ist eine Art Algebra, die durch die Operation des Binärsystems erstellt wird. Im Jahr 1854 schlug George Boole, ein englischer Mathematiker, diese Algebra vor. Dies ist eine Variante der Aussagenlogik des Aristoteles, die die Symbole 0 und 1 oder wahr und falsch verwendet. Die Boolesche Algebra beschäftigt sich mit binären Variablen und logischen Operationen.

Die Boolesche Algebra ist von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung digitaler elektronischer Systeme, da sie alle das Konzept von verwenden Boolsche Algebra Befehle auszuführen. Neben der digitalen Elektronik findet diese Algebra auch Anwendung in der Mengenlehre, der Statistik und anderen Bereichen der Mathematik.



In diesem Artikel lernen wir im Detail grundlegende boolesche Operationen, boolesche Ausdrücke, Wahrheitstabellen, boolesche Gesetze und andere kennen.

Inhaltsverzeichnis

Operationen der Booleschen Algebra

Es gibt verschiedene Operationen, die in der Booleschen Algebra verwendet werden, aber die Grundoperationen, die die Grundlage der Booleschen Algebra bilden, sind.



  • Negation oder NICHT-Betrieb
  • Verbindung oder UND-Verknüpfung
  • Disjunktion oder ODER-Verknüpfung


Boolesche Algebra-Operationen

Boolescher Algebra-Ausdruck




Überprüfen: Grundlagen der Booleschen Algebra in der digitalen Elektronik

Diese Operationen haben ihre eigenen Symbole und Prioritäten. Die unten hinzugefügte Tabelle zeigt das Symbol und die Priorität dieser Operatoren.

Operator

Symbol

Vorrang

Camelcase-Python

NICHT

‘ (oder) ⇁

Erste

UND

. (oder) ∧

Zweite

ODER

+ (oder) ∨

Dritte

Wir können diese Operationen einfach mithilfe von zwei booleschen Variablen definieren.

Nehmen wir zwei boolesche Variablen A und B, die einen der beiden Werte 0 oder 1 haben können, also entweder AUS oder EIN sein können. Dann werden diese Operationen wie folgt erklärt:

Negation oder NICHT-Operation

Verwendung der NICHT Die Operation kehrt den Wert der booleschen Variablen von 0 auf 1 um oder umgekehrt. Dies kann verstanden werden als:

  • Wenn A = 1, dann gilt mit der NOT-Operation (A)’ = 0
  • Wenn A = 0, dann gilt mit der NOT-Operation (A)’ = 1
  • Wir stellen die Negationsoperation auch als ~A dar, d. h. wenn A = 1, ist ~A = 0

Überprüfen: Eigenschaften der Booleschen Algebra

Konjunktion oder UND-Verknüpfung

Verwendung der UND Die Operation erfüllt die Bedingung, wenn beide Werte der einzelnen Variablen wahr sind und wenn einer der Werte falsch ist, liefert diese Operation ein negatives Ergebnis. Dies kann so verstanden werden,

  • Wenn A = Wahr, B = Wahr, dann A . B = Wahr
  • Wenn A = Wahr, B = Falsch oder A = Falsch, B = Wahr, dann A . B = Falsch
  • Wenn A = Falsch, B = Falsch, dann A . B = Falsch

Überprüfen: Boolesche algebraische Theoreme

Disjunktionsoperation (OR).

Verwendung der ODER Die Operation erfüllt die Bedingung, wenn ein Wert der einzelnen Variablen wahr ist. Sie liefert nur dann ein negatives Ergebnis, wenn beide Werte falsch sind. Dies kann so verstanden werden,

  • Wenn A = Wahr, B = Wahr, dann ist A + B = Wahr
  • Wenn A = Wahr, B = Falsch oder A = Falsch, B = Wahr, dann ist A + B = Wahr
  • Wenn A = Falsch, B = Falsch, dann ist A + B = Falsch

Tabelle der Booleschen Algebra

Unten ist der Ausdruck für die Boolesche Algebra angegeben

BetriebSymbolDefinition
UND-Operation ⋅ oder ∧Gibt nur dann „true“ zurück, wenn beide Eingaben „true“ sind.
ODER-Operation + oder ∨Gibt „true“ zurück, wenn mindestens eine Eingabe wahr ist.
KEIN Betrieb ¬ oder ∼Kehrt die Eingabe um.
XOR-Operation Gibt true zurück, wenn genau eine Eingabe wahr ist.
NAND-Betrieb Gibt nur dann false zurück, wenn beide Eingaben wahr sind.
NOR-Operation Gibt false zurück, wenn mindestens eine Eingabe wahr ist.
XNOR-Operation Gibt true zurück, wenn beide Eingaben gleich sind.

Boolescher Ausdruck und Variablen

Ein boolescher Ausdruck ist ein Ausdruck, der bei der Auswertung einen booleschen Wert erzeugt, d. h. er erzeugt entweder einen wahren Wert oder einen falschen Wert. Während boolesche Variablen Variablen sind, die boolesche Zahlen speichern.

P + Q = R ist eine boolesche Phrase, in der P, Q und R boolesche Variablen sind, die nur zwei Werte speichern können: 0 und 1. 0 und 1 sind die Synonyme für falsch und wahr und werden manchmal in der booleschen Algebra verwendet Wir verwenden auch „Ja“ anstelle von „Wahr“ und „Nein“ anstelle von „Falsch“.

jeweils Typoskript

Daher können wir sagen, dass Anweisungen, die boolesche Variablen verwenden und boolesche Operationen ausführen, boolesche Ausdrücke sind. Einige Beispiele für boolesche Ausdrücke sind:

  • A + B = Wahr
  • A.B = Wahr
  • (A)‘ = Falsch

Überprüfen: Axiome der Booleschen Algebra

Boolesche Algebra-Terminologien

Es gibt verschiedene Terminologien im Zusammenhang mit der Booleschen Algebra, die zur Erklärung verschiedener Parameter von verwendet werden Boolsche Algebra . Dazu gehört,

  • Boolsche Algebra
  • Boolesche Variablen
  • Boolesche Funktion
  • Wörtlich
  • Ergänzen
  • Wahrheitstabelle

Im folgenden Artikel werden wir nun die wichtigen Terminologien der Booleschen Algebra diskutieren:

Boolsche Algebra

Der Zweig der Algebra, der sich mit binären Operationen oder logischen Operationen befasst, wird Boolesche Algebra genannt. Es wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von George Boole eingeführt. Es wird zur Analyse und Manipulation logischer Funktionen in Binärvariablen verwendet. Es wird häufig in verschiedenen Bereichen eingesetzt, beispielsweise im digitalen Logikdesign, in der Informatik und in der Telekommunikation.

Boolesche Variablen

Variablen, die in der Booleschen Algebra verwendet werden und die logischen Werte 0 und 1 speichern, werden als boolesche Variablen bezeichnet. Sie werden verwendet, um entweder wahre oder falsche Werte zu speichern. Boolesche Variablen sind von grundlegender Bedeutung für die Darstellung logischer Zustände oder Aussagen in booleschen Ausdrücken und Funktionen.

Boolesche Funktion

Eine Funktion der Booleschen Algebra, die durch die Verwendung von Booleschen Variablen und Booleschen Operatoren gebildet wird, wird als Boolesche Funktion bezeichnet. Es wird durch die Kombination boolescher Variablen und logischer Ausdrücke wie AND, OR und NOT gebildet. Es wird verwendet, um logische Beziehungen, Bedingungen oder Operationen zu modellieren.

Wörtlich

Eine Variable oder das Komplement der Variablen wird in der Booleschen Algebra als Literal bezeichnet. Literale sind die Grundbausteine ​​der booleschen Ausdrücke und Funktionen. Sie repräsentieren die Operanden in logischen Operationen.

Ergänzen

Die Umkehrung der booleschen Variablen wird als Komplement der Variablen bezeichnet. Das Komplement von 0 ist 1 und das Komplement von 1 ist 0. Es wird durch „ oder (¬) über der Variablen dargestellt. Komplemente werden verwendet, um logische Negationen in booleschen Ausdrücken und Funktionen darzustellen.

Wahrheitstabelle

Eine Tabelle, die alle möglichen Werte der logischen Variablen und die Kombination der Variablen zusammen mit der gegebenen Operation enthält, wird als Wahrheitstabelle bezeichnet. Die Anzahl der Zeilen in der Wahrheitstabelle hängt von der Gesamtzahl der in dieser Funktion verwendeten booleschen Variablen ab. Es wird durch die Formel gegeben:

Anzahl der Zeilen in der Wahrheitstabelle = 2 N

Dabei ist n die Anzahl der verwendeten booleschen Variablen.

Überprüfen:

  • Mengenlehre
  • Statistiken

Wahrheitstabellen in der Booleschen Algebra

Eine Wahrheitstabelle stellt alle Kombinationen von Eingabewerten und Ausgaben tabellarisch dar. Darin werden alle Möglichkeiten der Ein- und Ausgabe dargestellt und daher der Name Wahrheitstabelle. Bei logischen Problemen werden üblicherweise Wahrheitstabellen verwendet, um verschiedene Fälle darzustellen. T oder 1 bezeichnet „Wahr“ und F oder 0 bezeichnet „Falsch“ in der Wahrheitstabelle.

Beispiel: Zeichnen Sie die Wahrheitstabelle der Bedingungen A + B und A.B, wobei A und b boolesche Variablen sind.

Lösung:

Die erforderliche Wahrheitstabelle lautet:

AB

X = A + B

Y = A.B
TT

T

T
TF

T

F
FT

T

F
FF

F

F

Regeln der Booleschen Algebra

In der Booleschen Algebra gibt es verschiedene Grundregeln für den logischen Ausdruck.

  • Binäre Darstellung: In der Booleschen Algebra können die Variablen nur zwei Werte haben, entweder 0 oder 1, wobei 0 für „Niedrig“ und 1 für „Hoch“ steht. Diese Variablen repräsentieren logische Zustände des Systems.
  • Komplementdarstellung: Das Komplement der Variablen wird durch (¬) oder (‘) über der Variablen dargestellt. Dies zeigt eine logische Negation oder Invertierung des Variablenwerts an. Das Komplement der Variablen A kann also dargestellt werden durchoverline{A}Wenn der Wert von A=0 ist, ist sein Komplement 1.
  • ODER-Operation: Die ODER-Verknüpfung wird durch (+) zwischen den Variablen dargestellt. Die ODER-Operation gibt „true“ zurück, wenn mindestens einer der Operanden wahr ist. Nehmen wir als Beispiel drei Variablen A, B, C. Die ODER-Verknüpfung kann als A+B+C dargestellt werden.
  • UND-Verknüpfung: Die UND-Operation wird durch (.) zwischen den Variablen gekennzeichnet. Die UND-Operation gibt nur dann „true“ zurück, wenn alle Operanden wahr sind. Nehmen wir als Beispiel drei Variablen A, B, C. Die UND-Operation kann durch A.B.C oder ABC dargestellt werden.

Gesetze für die Boolesche Algebra

Die Grundgesetze der Booleschen Algebra sind in der unten hinzugefügten Tabelle aufgeführt:

GesetzODER-FormularUND bilden
Identitätsrecht P + 0 = PP.1 = P
Idempotentes Gesetz P + P = PP.P. = P
Kommutativgesetz P + Q = Q + PP.Q = Q.P
Assoziatives Recht P + (Q + R) = (P + Q) + RP.(Q.R) = (P.Q).R
Verteilungsrecht P + QR = (P + Q).(P + R)P.(Q + R) = P.Q + P.R
Inversionsgesetz (A’)’ = A(A’)’ = A
Aus Morgans Gesetz (P + Q)’ = (P)’.(Q)’(P.Q)’ = (P)’ + (Q)’

Lassen Sie uns diese Gesetze im Detail kennenlernen.

Identitätsrecht

In der Booleschen Algebra gibt es Identitätselemente sowohl für AND(.)- als auch OR(+)-Operationen. Das Identitätsgesetz besagt, dass wir in der Booleschen Algebra solche Variablen haben, dass wir bei der Operation mit UND- und ODER-Verknüpfung das gleiche Ergebnis erhalten, d. h.

  • A + 0 = A
  • A.1 = A

Kommutativgesetz

Binäre Variablen in der Booleschen Algebra folgen dem Kommutativgesetz. Dieses Gesetz besagt, dass der Betrieb der booleschen Variablen A und B dem Betrieb der booleschen Variablen B und A ähnelt. Das heißt,

String als Array
  • A. B = B. A
  • A + B = B + A

Assoziatives Recht

Das assoziative Gesetz besagt, dass die Reihenfolge der Ausführung boolescher Operatoren unlogisch ist, da ihr Ergebnis immer das gleiche ist. Dies kann so verstanden werden,

  • ( A . B ) . C = A . (B.C.)
  • ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Verteilungsrecht

Boolesche Variablen folgen ebenfalls dem Verteilungsgesetz und der Ausdruck für das Verteilungsgesetz lautet wie folgt:

  • A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversionsgesetz

Das Inversionsgesetz ist das einzigartige Gesetz der Booleschen Algebra. Dieses Gesetz besagt, dass das Komplement des Komplements einer beliebigen Zahl die Zahl selbst ist.

  • (A’)’ = A

Abgesehen von diesen anderen Gesetzen sind nachstehend aufgeführt:

UND Gesetz

Das UND-Gesetz der Booleschen Algebra verwendet den UND-Operator und das UND-Gesetz lautet:

  • A . 0 = 0
  • A . 1 = A
  • A . A = A

ODER Recht

Das OR-Gesetz der Booleschen Algebra verwendet den OR-Operator und das OR-Gesetz lautet:

  • A + 0 = A
  • A + 1 = 1
  • A + A = A

Man nennt sie auch die De-Morgan-Gesetze Aus Morgans Theorem . Sie sind die wichtigsten Gesetze in Boolsche Algebra und diese werden unten unter der Überschrift Satz der Booleschen Algebra hinzugefügt

Sätze der Booleschen Algebra

In der Booleschen Algebra gibt es zwei Grundsätze von großer Bedeutung: die ersten Gesetze von De Morgan und die zweiten Gesetze von De Morgan. Diese werden auch De-Morgan-Theoreme genannt. Lassen Sie uns nun beides im Detail kennenlernen.

De Morgans erste Gesetze

(P.Q)’ = (P)’ + (Q)’

Die Wahrheitstabelle dafür ist unten angegeben:

PQ(P)'(Q)'(P.Q)‘(P)’ + (Q)’
TTFFFF
TFFTTT
FTTFTT
FFTTTT

Wir können deutlich erkennen, dass die Wahrheitswerte für (P.Q)‘ gleich den Wahrheitswerten für (P)‘ + (Q)‘ sind, was derselben Eingabe entspricht. Somit ist De Morgans erstes Gesetz wahr.

Aus Morgans zweiten Gesetzen

Stellungnahme: Das Komplement der Summe (OR) zweier boolescher Variablen (oder Ausdrücke) ist gleich dem Produkt (AND) des Komplements jeder booleschen Variablen (oder jedes Ausdrucks).

(P + Q)’ = (P)’.(Q)’

Nachweisen:

Die Wahrheitstabelle dafür ist unten angegeben:

PQ(P)'(Q)'(P + Q)‘(P)’.(Q)’
TTFFFF
TFFTFF
FTTFFF
FFTTTT

Wir können deutlich erkennen, dass die Wahrheitswerte für (P + Q)‘ gleich den Wahrheitswerten für (P)‘.(Q)‘ sind, die derselben Eingabe entsprechen. Somit ist das zweite Gesetz von De Morgan wahr.

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Gelöste Beispiele zur Booleschen Algebra

Zeichnen Sie eine Wahrheitstabelle für P + P.Q = P

Lösung:

Die Wahrheitstabelle für P + P.Q = P

P Q P.Q P + P.Q
TTTT
TFFT
FTFF
FFFF

In der Wahrheitstabelle können wir sehen, dass die Wahrheitswerte für P + P.Q genau die gleichen sind wie P.

Zeichnen Sie eine Wahrheitstabelle für P.Q + P + Q

Lösung:

Die Wahrheitstabelle für P.Q + P + Q

P Q P.Q P.Q + P + Q
TTTT
TFFT
FTFT
FFFF

Lösen extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Lösung:

Verwendung des Gesetzes von De Morgan

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Verwendung des Verteilungsrechts

für jedes Typoskript

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Also der vereinfachte Ausdruck für die gegebene Gleichungoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Abschluss

Die Boolesche Algebra dient als grundlegender Rahmen für die Darstellung und Bearbeitung logischer Ausdrücke mithilfe binärer Variablen und logischer Operatoren. Es spielt eine entscheidende Rolle in verschiedenen Bereichen wie digitalem Logikdesign, Computerprogrammierung und Schaltungsanalyse. Durch die Bereitstellung einer systematischen Möglichkeit zur Beschreibung und Analyse logischer Beziehungen ermöglicht die Boolesche Algebra die Entwicklung komplexer Systeme und Algorithmen. Seine Prinzipien und Operationen, darunter AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR und XNOR, bilden die Bausteine ​​zum Entwerfen von Logikschaltungen, zum Schreiben von effizientem Code und zum Lösen logischer Probleme.

Boolesche Algebra – FAQs

Was ist Boolesche Algebra?

Auch Boolesche Algebra genannt Logische Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit booleschen Variablen wie 0 und 1 befasst.

Was sind die wichtigsten Booleschen Operatoren?

Es gibt drei Hauptboolesche Operatoren:

  • UND (Konjunktion)
  • ODER (Disjunktion)
  • NICHT (Negation)

Wie minimiert man die Boolesche Funktion?

Es gibt verschiedene Methoden zum Minimieren boolescher Funktionen, darunter:

  • Algebraische Vereinfachung:
  • Karnaugh-Karten (K-Maps):
  • Quine-McCluskey-Algorithmus:
  • Tabellierungsmethode:
  • Don't-Care-Bedingungen:

Welche Anwendungen gibt es in der Booleschen Algebra?

Boolsche Algebra hat verschiedene Anwendungen. Es wird verwendet, um logische Schaltkreise zu vereinfachen, die das Rückgrat moderner Technologie bilden.

Was bedeutet 0 in der Booleschen Algebra?

Die 0 in Boolsche Algebra stellt eine Falsch-Bedingung oder die Ausschalt-Bedingung dar.

Was stellt 1 in der Booleschen Algebra dar?

Die 1 in Boolsche Algebra stellt eine Wahr-Bedingung oder die Einschaltbedingung dar.

Was sind die Gesetze der Booleschen Algebra?

Die Gesetze der Booleschen Algebra sind Regeln zur Manipulation logischer Ausdrücke mit binären Variablen. Gewährleistung der Konsistenz und Vereinfachung bei Operationen wie Addition, Multiplikation und Komplementierung, die in Bereichen wie digitaler Elektronik und Informatik von entscheidender Bedeutung sind.

Was sind die 5 Gesetze der Booleschen Algebra?

boolsche Algebra unterliegt fünf Grundgesetzen, die als Grundlage für die Manipulation logischer Ausdrücke dienen:

1. Identitätsgesetz für UND

2. Identitätsgesetz für OR

3. Komplementgesetz für AND

4. Komplementgesetz für OR

5. Idempotentes Gesetz

Was sind die 3 Gesetze in der Booleschen Logik?

Die drei Grundgesetze der Booleschen Logik sind:

  • Das Identitätsgesetz (Durch Addieren von Null oder Multiplizieren mit Eins bleibt die Variable unverändert.)
  • Das Herrschaftsgesetz (Das Hinzufügen einer Variablen zu ihrem Komplement ergibt 1 und die Multiplikation mit ihrem Komplement ergibt 0)
  • Das Kommutativgesetz (Die Reihenfolge der Variablen kann bei Addition oder Multiplikation geändert werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert.)

Was ist der Satz von De Morgan?

Der Satz von De Morgan besagt dies t das Komplement einer logischen UND-Verknüpfung äquivalent zur ODER-Verknüpfung der Komplemente der einzelnen Terme ist, und umgekehrt. Es handelt sich um ein grundlegendes Prinzip der Booleschen Algebra, das zur Vereinfachung logischer Ausdrücke und zur Optimierung logischer Schaltkreise verwendet wird.