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Prinzip der mathematischen Induktion

Mathematische Induktion ist ein Konzept in der Mathematik, das zum Beweis verschiedener mathematischer Aussagen und Theoreme verwendet wird. Das Prinzip der mathematischen Induktion wird manchmal als PMI bezeichnet. Es handelt sich um eine Technik, die zum Beweis der grundlegenden Theoreme der Mathematik verwendet wird, die die Lösung von bis zu n endlichen natürlichen Termen beinhalten.

Das Prinzip der mathematischen Induktion wird häufig zum Beweis verschiedener Aussagen verwendet, beispielsweise der Summe von zuerst N natürliche Zahlen ergibt sich aus der Formel n(n+1)/2. Dies lässt sich leicht mit dem Prinzip der mathematischen Induktion beweisen.

In diesem Artikel lernen wir das Prinzip der mathematischen Induktion, ihre Aussage, ihr Beispiel und andere im Detail kennen.



Inhaltsverzeichnis

Was ist mathematische Induktion?

Die mathematische Induktion ist eine der grundlegenden Methoden zum Schreiben von Beweisen und wird verwendet, um eine gegebene Aussage über eine gut organisierte Menge zu beweisen. Im Allgemeinen wird es zum Beweisen von Ergebnissen oder zum Aufstellen von Aussagen verwendet, die im Hinblick auf formuliert sind N , wobei n eine natürliche Zahl ist.

Angenommen, P(n) ist eine Aussage für n natürliche Zahlen, dann kann sie mit dem Prinzip der mathematischen Induktion bewiesen werden. Zuerst beweisen wir für P(1), lassen dann P(k) wahr sein und beweisen dann für P(k+1). . Wenn P(k+1) gilt, dann sagen wir, dass P(n) nach dem Prinzip der mathematischen Induktion wahr ist.

Wir können die mathematische Induktion mit fallenden Dominosteinen vergleichen. Wenn ein Dominostein fällt, wirft er den nächsten Dominostein nacheinander um. Der erste Dominostein wirft den zweiten um, der zweite den dritten und so weiter. Am Ende werden alle Dominosteine ​​umgeworfen. Es müssen jedoch einige Bedingungen erfüllt sein:

  • Der Grundschritt besteht darin, dass der Startdominostein fallen muss, um den Klopfvorgang in Gang zu setzen.
  • Der Abstand zwischen den Dominosteinen muss für zwei benachbarte Dominosteine ​​gleich sein. Andernfalls könnte ein bestimmter Dominostein herunterfallen, ohne dass er über den nächsten geworfen wird. Dann stoppt die Reaktionsfolge. Durch die Beibehaltung des gleichen Dominoabstands wird sichergestellt, dass P(k) ⇒ P(k + 1) für jede ganze Zahl k ≥ a gilt. Dies ist der induktive Schritt.

Prinzip der mathematischen Induktionserklärung

Jede Aussage P(n), die für eine natürliche Zahl n gilt, kann mithilfe des Prinzips der mathematischen Induktion bewiesen werden, indem die folgenden Schritte ausgeführt werden:

Schritt 1: Überprüfen Sie, ob die Aussage für triviale Fälle wahr ist ( n = 1) d.h. prüfen Sie, ob P(1) wahr ist.

Schritt 2: Nehmen Sie an, dass die Aussage für n = k für ein k ≥ 1 wahr ist, d. h. P(k) ist wahr.

Schritt 3: Wenn die Wahrheit von P(k) die Wahrheit von P(k + 1) impliziert, dann ist die Aussage P(n) für alle wahr n ≥ 1 .

Das unten hinzugefügte Bild enthält alle Schritte der mathematischen Induktion

Die erste Aussage ist die Tatsache, und wenn es nicht möglich ist, dass alle P(n) bei n = 1 wahr sind, dann gelten diese Aussagen für einige andere Werte von n, beispielsweise n = 2, n = 3 und andere.

Wenn die Aussage für P(k) wahr ist, dann sagen wir, wenn bewiesen ist, dass P(k+1) wahr ist, dass P(n) für alle n wahr ist, die zu den natürlichen Zahlen (N) gehören.

Mathematische Induktionsschritte

Verschiedene Schritte der mathematischen Induktion werden entsprechend benannt. Die Namen der verschiedenen Schritte, die im Prinzip der mathematischen Induktion verwendet werden, sind:

  • Basisschritt: Beweisen Sie, dass P(k) für k =1 wahr ist
  • Annahmeschritt: Sei P(k) wahr für alle k in N und k> 1
  • Induktionsschritt: Beweisen Sie mithilfe grundlegender mathematischer Eigenschaften, dass P(k+1) wahr ist.

Wenn die oben genannten drei Schritte bewiesen sind, können wir sagen: Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion gilt P(n) für alle n, die zu N gehören.

Beispiel für eine mathematische Induktion

Mithilfe der mathematischen Induktion werden verschiedene Aussagen bewiesen. Dies können wir anhand des folgenden Beispiels lernen.

Beweisen Sie für jede positive ganze Zahl n, dass n3+ 2n ist immer durch 3 teilbar

Lösung:

Sei P(n): n3+ 2n ist durch 3 teilbar, sei die gegebene Aussage.

Schritt 1: Grundschritt

Zunächst beweisen wir, dass P(1) wahr ist. Sei n = 1 in n3+ 2n
= 13+ 2(1)
= 3

Da 3 durch 3 teilbar ist, ist P(1) wahr.

Schritt 2: Annahmeschritt

Nehmen wir an, dass P(k) wahr ist

Dann, k3+ 2k ist durch 3 teilbar

Daher können wir es als k schreiben3+ 2k = 3n, (wobei n eine beliebige positive ganze Zahl ist)….(i)

Zwei-zu-Eins-Multiplexer

Schritt 3: Einführungsschritte

Jetzt müssen wir beweisen, dass der algebraische Ausdruck (k + 1)3+ 2(k + 1) ist durch 3 teilbar

= (k + 1)3+ 2(k + 1)

= k3+ 3k2+ 5k + 3

= (k3+ 2k) + (3k2+ 3k + 3)

aus Gleichung(i)

= 3n + 3(k2+ k + 1)

= 3(n + k2+ k + 1)

Da es ein Vielfaches von 3 ist, können wir sagen, dass es durch 3 teilbar ist.

Somit ist P(k+1) wahr, d. h. (k + 1)3+ 2(k + 1) ist durch 3 teilbar. Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion können wir nun sagen, dass P(n): n3+ 2n ist durch 3 teilbar ist wahr.

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Gelöste Beispiele zur mathematischen Induktion

Beispiel 1: Beweisen Sie für alle n ≥ 1, dass 1 2 + 2 2 + 3 2 +….+n 2 = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Lösung:

Die gegebene Aussage sei P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Nehmen wir nun eine positive ganze Zahl, k, und gehen davon aus, dass P(k) wahr ist, d. h.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Wir werden nun beweisen, dass P(k + 1) auch wahr ist, also haben wir jetzt:

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)2

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Somit ist P(k + 1) immer dann wahr, wenn P(k) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Durch den Prozess der mathematischen Induktion gilt das gegebene Ergebnis daher für alle natürlichen Zahlen.

Beispiel 2: Beweisen Sie für alle n ≥ 1, dass 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+…+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Lösung:

Die gegebene Aussage sei S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Nehmen wir nun eine positive ganze Zahl, k, und nehmen an, dass S(k) wahr ist, d. h.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Wir werden nun beweisen, dass S(k + 1) auch wahr ist, also haben wir jetzt:

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Somit ist S(k + 1) immer dann wahr, wenn S(k) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Und wir haben zunächst gezeigt, dass S(1) wahr ist, also ist S(n) für alle natürlichen Zahlen wahr.

Beispiel 3: Beweisen Sie für alle n ≥ 1, dass 1 + 3 + 5 +… + 2n – 1 = n 2

Lösung:

Die gegebene Aussage sei S(n),

und S(n) = 1 + 3 + 5+… +2n – 1 = n2

Für n = 1, 2 × 1 – 1 = 12Somit ist S(1) wahr.

Nehmen wir nun eine positive ganze Zahl, k, und nehmen an, dass S(k) wahr ist, d. h.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k2

Wir werden nun beweisen, dass S(k + 1) auch wahr ist, also haben wir jetzt:

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2

Füße gegen Fuß

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S. = k2+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)2

⇒ L.H.S. = R.H.S

Somit ist S(k + 1) immer dann wahr, wenn S(k) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Und wir haben zunächst gezeigt, dass S(1) wahr ist, also ist S(n) für alle natürlichen Zahlen wahr.

Beispiel 4: Beweisen Sie für alle n ≥ 1, dass 1,2 + 2,3 + 3,4 +…+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

Lösung:

Die gegebene Aussage sei S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Nehmen wir nun eine positive ganze Zahl, k, und nehmen an, dass S(k) wahr ist, d. h.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Wir werden nun beweisen, dass S(k + 1) auch wahr ist, also haben wir jetzt:

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Somit ist S(k + 1) immer dann wahr, wenn S(k) für alle natürlichen Zahlen wahr ist. Und wir haben zunächst gezeigt, dass S(1) wahr ist, also ist S(n) für alle natürlichen Zahlen wahr.

Beispiel 5: Beweisen Sie a N = a 1 + (n – 1) d, ist der allgemeine Term jeder arithmetischen Folge.

Lösung:

Für n = 1 gilt aN= a1+ (1 – 1) d = a1, also gilt die Formel für n = 1,

Nehmen wir an, dass die Formel ak= a1+ (k – 1) gilt für alle natürlichen Zahlen.

Wir werden nun beweisen, dass die Formel auch für k+1 gilt, also haben wir jetzt:

Ak + 1= a1+ [(k + 1) – 1] d = a1+ k · d.

Wir gingen davon aus, dass ak= a1+ (k – 1) d, und nach der Definition einer arithmetischen Folge ak+ 1- Ak= d,

Dann eink + 1- Ak

= (a1+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a1- A1+ kd – kd + d
= d

Somit gilt die Formel für k + 1, wann immer sie für k gilt. Und wir haben zunächst gezeigt, dass die Formel für n = 1 gilt. Somit gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen.

FAQs zur mathematischen Induktion

Was ist das Prinzip der mathematischen Induktion?

Das Prinzip der mathematischen Induktion ist ein Prinzip, das besagt, dass für jede Aussage P(n) gilt, wenn sie für einen beliebigen Wert „a“ wahr ist, wenn P(a) wahr ist und wenn wir annehmen, dass P(k) wahr ist, dann beweisen wir P( Wenn k+1) wahr ist, können wir beweisen, dass P(n) für alle n ≥ a wahr ist und n zu natürlichen Zahlen gehört.

Wozu dient die mathematische Induktion?

Mathematische Induktion ist das Grundprinzip der Mathematik, um grundlegende Aussagen in der Mathematik zu beweisen, die mit anderen Mitteln nicht einfach bewiesen werden können.

Was ist das Prinzip der mathematischen Induktion in Matrizen?

Das Prinzip der mathematischen Induktion in Matrizen ist ein Grundprinzip, das zum Beweis grundlegender Aussagen in Matrizen verwendet wird, die mit anderen Mitteln nicht leicht bewiesen werden können.

Wie wendet man das Prinzip der mathematischen Induktion an?

Das Prinzip der mathematischen Induktion wird verwendet, um mathematische Aussagen zu beweisen. Angenommen, wir müssen eine Aussage P(n) beweisen, dann sind die angewandten Schritte:

Schritt 1: Beweisen Sie, dass P(k) für k =1 wahr ist

Schritt 2: Sei P(k) wahr für alle k in N und k> 1

Schritt 3: Beweisen Sie mithilfe grundlegender mathematischer Eigenschaften, dass P(k+1) wahr ist.

Wenn also P(k+1) wahr ist, dann sagen wir, dass P(n) wahr ist.

Was sind die Schritte zur Lösung eines Problems mithilfe der mathematischen Induktion?

Drei grundlegende Schritte, die bei der mathematischen Induktion verwendet werden, sind:

  • Basisschritt
  • Annahmeschritt
  • Induktionsschritt