Spitz, stumpf, gleichschenklig, gleichseitig … Wenn es um Dreiecke geht, gibt es viele verschiedene Varianten, aber nur einige wenige, die „besonders“ sind. Diese speziellen Dreiecke haben konsistente und vorhersehbare Seiten und Winkel und können verwendet werden, um den Weg durch Ihre Geometrie- oder Trigonometrieprobleme abzukürzen. Und ein 30-60-90-Dreieck – ausgesprochen „dreißig sechzig neunzig“ – ist tatsächlich eine ganz besondere Art von Dreieck.

In diesem Leitfaden erklären wir Ihnen, was ein 30-60-90-Dreieck ist, warum es funktioniert und wann (und wie) Sie Ihr Wissen darüber einsetzen können. Also nichts wie los!

Was ist ein 30-60-90-Dreieck?

Ein 30-60-90-Dreieck ist ein spezielles rechtwinkliges Dreieck (ein rechtwinkliges Dreieck ist jedes Dreieck, das einen 90-Grad-Winkel enthält), das immer Winkel von 30 Grad, 60 Grad und 90 Grad aufweist. Da es sich um ein spezielles Dreieck handelt, weist es auch Seitenlängenwerte auf, die stets in einem konsistenten Verhältnis zueinander stehen.

Das grundlegende Dreiecksverhältnis 30-60-90 ist:

Seite gegenüber dem 30°-Winkel: $x$

Seite gegenüber dem 60°-Winkel: $x * √3$

Seite gegenüber dem 90°-Winkel: x$

Ein Dreieck mit einem Winkel von 30-60-90 Grad könnte beispielsweise folgende Seitenlängen haben:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

Unterschied zwischen Binärbaum und binärem Suchbaum

(Warum ist der längere Schenkel 3? In diesem Dreieck ist der kürzeste Schenkel ($x$) $√3$, also gilt für den längeren Schenkel $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Und die Hypotenuse ist das Zweifache des kürzesten Schenkels oder √3$)

Und so weiter.

Die dem 30°-Winkel gegenüberliegende Seite ist immer die kleinste , weil 30 Grad der kleinste Winkel ist. Die dem 60°-Winkel gegenüberliegende Seite ist die mittlere Länge , denn 60 Grad ist der mittlere Gradwinkel in diesem Dreieck. Und schließlich ist die dem 90°-Winkel gegenüberliegende Seite immer die größte Seite (die Hypotenuse). denn 90 Grad ist der größte Winkel.

Auch wenn es anderen Arten von rechtwinkligen Dreiecken ähnelt, ist der Grund, warum ein 30-60-90-Dreieck so besonders ist, darin, dass Sie nur drei Informationen benötigen, um alle anderen Maße zu finden. Solange Sie den Wert von zwei Winkelmaßen und einer Seitenlänge kennen (egal welche Seite), wissen Sie alles, was Sie über Ihr Dreieck wissen müssen.

Beispielsweise können wir die Dreiecksformel 30-60-90 verwenden, um alle verbleibenden Informationslücken der folgenden Dreiecke auszufüllen.

Beispiel 1

Wir können sehen, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, bei dem die Hypotenuse doppelt so lang ist wie eines der Beine. Dies bedeutet, dass es sich um ein 30-60-90-Dreieck handeln muss und die kleinere angegebene Seite gegenüber den 30° liegt.

Der längere Schenkel muss daher gegenüber dem 60°-Winkel liegen und * √3$ oder √3$ messen.

Beispiel 2

Teilstring von String Java

Wir können sehen, dass es sich um ein 30-60-90-Dreieck handeln muss, weil wir sehen können, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit einem gegebenen Maß, 30°, handelt. Der unmarkierte Winkel muss dann 60° betragen.

Da 18 das Maß gegenüber dem 60°-Winkel ist, muss es gleich $x√3$ sein. Das kürzeste Bein muss dann 18 $/√3 $ betragen.

(Beachten Sie, dass die Beinlänge tatsächlich /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ beträgt, da ein Nenner keine Wurzel/Quadratwurzel enthalten kann.)

Und die Hypotenuse beträgt (18/√3)$

(Beachten Sie, dass Sie wiederum keine Wurzel im Nenner haben können, sodass die endgültige Antwort tatsächlich das Zweifache der Beinlänge von √3$ => √3$ sein wird.)

Beispiel 3

Auch hier erhalten wir zwei Winkelmaße (90° und 60°), sodass das dritte Maß 30° beträgt. Da es sich um ein 30-60-90-Dreieck handelt und die Hypotenuse 30 beträgt, beträgt der kürzeste Schenkel 15 und der längere Schenkel 15√3.

Es ist nicht nötig, die magische Acht-Kugel zu konsultieren – diese Regeln funktionieren immer.

Warum es funktioniert: Beweis des 30-60-90-Dreieckssatzes

Aber warum funktioniert dieses besondere Dreieck so? Woher wissen wir, dass diese Regeln legitim sind? Lassen Sie uns genau durchgehen, wie der 30-60-90-Dreieckssatz funktioniert, und beweisen, warum diese Seitenlängen immer konsistent sind.

Vergessen wir zunächst für eine Sekunde die rechtwinkligen Dreiecke und schauen uns ein an gleichseitiges Dreieck.

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen Seiten und Winkel alle gleich sind. Da sich die Innenwinkel eines Dreiecks immer zu 180° addieren und 0/3 = 60$, Ein gleichseitiges Dreieck hat immer drei 60°-Winkel.

Lassen Sie uns nun eine Höhe vom obersten Winkel bis zur Basis des Dreiecks absenken.

Wir haben es jetzt Erstellte zwei rechte Winkel und zwei kongruente (gleiche) Dreiecke.

Woher wissen wir, dass es gleich große Dreiecke sind? Weil wir aus einer Höhe gefallen sind gleichseitig Dreieck, wir haben die Basis genau in zwei Hälften geteilt. Die neuen Dreiecke haben außerdem eine gemeinsame Seitenlänge (die Höhe) und jeweils die gleiche Hypotenusenlänge. Dies bedeutet, dass sie drei gemeinsame Seitenlängen (SSS) haben die Dreiecke sind deckungsgleich.

Hinweis: Die beiden Dreiecke sind nicht nur auf der Grundlage der Prinzipien der Seitenlängen (SSS) kongruent, sondern auch auf der Grundlage von Seiten-Winkel-Seiten-Maßen (SAS), Winkel-Winkel-Seite (AAS) und Winkel-Seiten-Maßen. Seitenwinkel (ASA). Grundsätzlich? Sie sind auf jeden Fall deckungsgleich.

Nachdem wir nun die Kongruenz der beiden neuen Dreiecke nachgewiesen haben, können wir sehen, dass die Spitzenwinkel jeweils 30 Grad betragen müssen (da jedes Dreieck bereits Winkel von 90° und 60° hat und sich zu 180° addieren muss). Das heisst Wir haben zwei 30-60-90-Dreiecke gemacht.

Was ist in SQL der Fall?

Und weil wir wissen, dass wir die Basis des gleichseitigen Dreiecks halbieren, können wir sehen, dass die Seite gegenüber dem 30°-Winkel (die kürzeste Seite) jedes unserer 30-60-90 Dreiecke genau halb so lang ist wie die Hypotenuse .

Nennen wir also unsere ursprüngliche Seitenlänge $x$ und unsere halbierte Länge $x/2$.

Jetzt müssen wir nur noch die mittlere Seitenlänge ermitteln, die die beiden Dreiecke gemeinsam haben. Dazu können wir einfach den Satz des Pythagoras verwenden.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Also bleibt uns: $x/2, {x√3}/2, x$

Lassen Sie uns nun jeden Takt mit 2 multiplizieren, um das Leben einfacher zu machen und alle Brüche zu vermeiden. Auf diese Weise bleibt uns Folgendes übrig:

$x$, $x√3$, x$

Wir können daher sehen, dass ein 30-60-90-Dreieck dies tun wird stets haben konsistente Seitenlängen von $x$, $x√3$ und x$ (oder $x/2$, ${√3x}/2$ und $x$).

Zum Glück können wir beweisen, dass die 30-60-90-Dreiecksregeln auch ohne all das wahr sind.

Wann sollten die 30-60-90-Dreiecksregeln verwendet werden?

Wenn Sie die 30-60-90-Dreiecksregeln kennen, können Sie bei einer Vielzahl verschiedener mathematischer Probleme, insbesondere bei einer Vielzahl von Geometrie- und Trigonometrieproblemen, Zeit und Energie sparen.

Geometrie

Wenn Sie die 30-60-90-Dreiecke richtig verstehen, können Sie Geometriefragen lösen, die ohne Kenntnis dieser Verhältnisregeln entweder unmöglich zu lösen wären oder deren Lösung auf dem „langen Weg“ zumindest viel Zeit und Mühe erfordern würde.

Mit den speziellen Dreiecksverhältnissen können Sie fehlende Dreieckshöhen oder Beinlängen ermitteln (ohne den Satz des Pythagoras verwenden zu müssen), die Fläche eines Dreiecks mithilfe fehlender Höhen- oder Basislängeninformationen ermitteln und Umfange schnell berechnen.

Immer wenn Sie schnell eine Frage beantworten müssen, ist es hilfreich, sich Abkürzungen wie Ihre 30-60-90-Regeln zu merken.

Trigonometrie

Wenn Sie sich das Dreiecksverhältnis 30-60-90 merken und verstehen, können Sie auch viele trigonometrische Probleme lösen, ohne dass Sie einen Taschenrechner benötigen oder Ihre Antworten in Dezimalform annähern müssen.

Ein 30-60-90-Dreieck hat ziemlich einfache Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für jeden Winkel (und diese Messungen sind immer konsistent).

Der Sinus von 30° beträgt immer /2$.

Der Kosinus von 60° beträgt immer /2$.

Obwohl die anderen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte recht einfach sind, sind es die beiden, die man sich am einfachsten merken kann und die bei Tests wahrscheinlich auftauchen. Wenn Sie diese Regeln kennen, können Sie diese trigonometrischen Messungen so schnell wie möglich finden.

Tipps zum Merken der 30-60-90-Regeln

Sie wissen, dass diese Verhältnisregeln von 30-60-90 nützlich sind, aber wie behalten Sie die Informationen im Kopf? Wenn man sich an die 30-60-90-Dreiecksregeln erinnert, muss man sich das Verhältnis 1: √3 : 2 merken und wissen, dass die kürzeste Seitenlänge immer dem kürzesten Winkel (30°) und die längste Seitenlänge immer entgegengesetzt ist größter Winkel (90°).

Manche Menschen merken sich das Verhältnis, indem sie denken: „ $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, weil die Reihenfolge „1, 2, 3“ normalerweise leicht zu merken ist. Die einzige Vorsichtsmaßnahme bei der Verwendung dieser Technik besteht darin, sich daran zu erinnern, dass die längste Seite tatsächlich x$ ist. nicht das $x$ mal $√3$.

Eine andere Möglichkeit, sich Ihre Verhältnisse zu merken, besteht darin, Folgendes zu tun: Verwenden Sie ein mnemonisches Wortspiel mit dem Verhältnis 1:Wurzel 3:2 in der richtigen Reihenfolge. Zum Beispiel: „Jackie Mitchell schlug Lou Gehrig aus und gewann auch Ruthy“: eins, Wurzel drei, zwei. (Und es ist obendrein eine echte Tatsache der Baseballgeschichte!)

Spielen Sie mit Ihren eigenen Gedächtnisstützen herum, wenn Ihnen diese nicht zusagen – singen Sie das Verhältnis zu einem Lied, finden Sie Ihre eigenen „Eins, Wurzel drei, zwei“-Phrasen oder denken Sie sich ein Verhältnisgedicht aus. Sie können sich auch einfach merken, dass ein 30-60-90-Dreieck ein halbes Gleichseitiges ist, und die Maße von dort aus berechnen, wenn Sie sie nicht gerne auswendig lernen.

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Allerdings macht es für Sie Sinn, sich diese 30-60-90-Regeln zu merken und diese Verhältnisse für Ihre zukünftigen Fragen zur Geometrie und Trigonometrie im Kopf zu behalten.

Das Auswendiglernen ist dein Freund, aber du kannst es schaffen.

Beispiel 30-60-90 Fragen

Nachdem wir uns nun das Wie und Warum von 30-60-90-Dreiecken angesehen haben, wollen wir einige Übungsaufgaben durcharbeiten.

Geometrie

Ein Bauarbeiter lehnt eine 40-Fuß-Leiter in einem Winkel von 30 Grad über dem Boden an die Seite eines Gebäudes. Der Boden ist eben und die Gebäudeseite steht senkrecht zum Boden. Wie weit reicht die Leiter im Gebäude hinauf, auf den nächsten Fuß genau?

Ohne unsere speziellen 30-60-90-Dreiecksregeln zu kennen, müssten wir Trigonometrie und einen Taschenrechner verwenden, um die Lösung für dieses Problem zu finden, da wir nur eine Seitenmessung eines Dreiecks haben. Aber weil wir wissen, dass dies ein besonders Dreieck können wir die Antwort in nur wenigen Sekunden finden.

Wenn Gebäude und Gelände senkrecht zueinander stehen, bedeutet das, dass Gebäude und Gelände einen rechten Winkel (90°) bilden. Selbstverständlich ist auch, dass die Leiter im 30°-Winkel auf den Boden trifft. Wir können daher sehen, dass der verbleibende Winkel 60° betragen muss, was ein 30-60-90-Dreieck ergibt.

Jetzt wissen wir, dass die Hypotenuse (längste Seite) dieser 30-60-90 40 Fuß beträgt, was bedeutet, dass die kürzeste Seite halb so lang sein wird. (Denken Sie daran, dass die längste Seite immer doppelt so lang ist wie die kürzeste Seite.) Da die kürzeste Seite dem 30°-Winkel gegenüberliegt und dieser Winkel das Gradmaß der Leiter vom Boden aus darstellt, bedeutet das Folgendes Die Spitze der Leiter trifft 20 Fuß über dem Boden auf das Gebäude.

Unsere endgültige Antwort ist 20 Fuß.

Trigonometrie

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck sin Θ = /2$ und die kürzeste Beinlänge 8 beträgt. Wie lang ist die fehlende Seite, die NICHT die Hypotenuse ist?

Da Sie Ihre 30-60-90-Regeln kennen, können Sie dieses Problem lösen, ohne dass Sie den Satz des Pythagoras oder einen Taschenrechner benötigen.

Uns wurde gesagt, dass dies ein rechtwinkliges Dreieck ist, und wir wissen aus unseren speziellen Regeln für rechtwinklige Dreiecke, dass Sinus 30° = /2$. Der fehlende Winkel muss daher 60 Grad betragen, was ein 30-60-90-Dreieck ergibt.

Und da es sich um ein 30-60-90-Dreieck handelt und uns gesagt wurde, dass die kürzeste Seite 8 ist, muss die Hypotenuse 16 sein und die fehlende Seite muss * √3$ oder √3$ sein.

Unsere endgültige Antwort ist 8√3.

Versuchen Sie es mit der Datenstruktur

Die Take-Aways

Erinnerung an die Regeln für 30-60-90-Dreiecke helfen Ihnen, den Weg durch eine Vielzahl mathematischer Probleme zu verkürzen . Denken Sie jedoch daran, dass die Kenntnis dieser Regeln zwar ein praktisches Werkzeug ist, das Sie immer griffbereit haben, Sie die meisten Probleme jedoch auch ohne sie lösen können.

Behalten Sie die Regeln von $x$, $x√3$, x$ und 30-60-90 auf die für Sie sinnvolle Weise im Auge und versuchen Sie, sie so gut wie möglich beizubehalten, aber geraten Sie nicht in Panik, wenn Sie denken wird ausgeblendet, wenn es Crunch-Time ist. Wie auch immer, Sie haben das hier.

Und wenn Sie mehr Übung brauchen, schauen Sie sich das hier an 30-60-90 Dreieck-Quiz . Viel Spaß beim Testen!