Eigenwerte und Eigenvektoren sind die damit verbundenen Skalar- und Vektorgrößen Matrix Wird zur linearen Transformation verwendet. Der Vektor, der sich auch nach der Anwendung von Transformationen nicht ändert, wird als Eigenvektor bezeichnet, und der an Eigenvektoren angehängte Skalarwert wird als Eigenvektor bezeichnet Eigenwerte . Eigenvektoren sind die Vektoren, die einem Satz linearer Gleichungen zugeordnet sind. Für eine Matrix werden Eigenvektoren auch charakteristische Vektoren genannt, und wir können den Eigenvektor nur für quadratische Matrizen finden. Eigenvektoren sind sehr nützlich bei der Lösung verschiedener Probleme von Matrizen und Differentialgleichungen.

In diesem Artikel lernen wir anhand von Beispielen etwas über Eigenwerte, Eigenvektoren für Matrizen und mehr.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind Eigenwerte?
• Was sind Eigenvektoren?
• Eigenvektorgleichung
• Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?
• Wie finde ich einen Eigenvektor?
• Arten von Eigenvektoren
• Rechter Eigenvektor
• Linker Eigenvektor
• Eigenvektoren einer Quadratmatrix
• Eigenvektor einer 2 × 2-Matrix
• Eigenvektor einer 3 × 3-Matrix
• Eigenraum
• Anwendungen von Eigenwerten
• Diagonalisieren Sie die Matrix mithilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren
• Gelöste Beispiele zu Eigenvektoren
• FAQs zu Eigenvektoren

Was sind Eigenwerte?

Eigenwerte sind die Skalarwerte, die den Eigenvektoren bei der linearen Transformation zugeordnet sind. Das Wort „Eigen“ ist deutschen Ursprungs und bedeutet „charakteristisch“. Es handelt sich also um den charakteristischen Wert, der angibt, um welchen Faktor Eigenvektoren in ihrer Richtung gestreckt werden. Dabei kommt es nicht zu einer Richtungsänderung des Vektors, außer wenn der Eigenwert negativ ist. Wenn der Eigenwert negativ ist, ist die Richtung gerade umgekehrt. Die Gleichung für den Eigenwert ist gegeben durch

Aus = λv

Wo,

• A ist die Matrix,
• v ist der zugehörige Eigenvektor und
• λ ist der skalare Eigenwert.

Was sind Eigenvektoren?

Eigenvektoren für quadratische Matrizen werden als Vektorwerte ungleich Null definiert, die bei Multiplikation mit den quadratischen Matrizen das skalierende Vielfache des Vektors ergeben, d. h. wir definieren einen Eigenvektor für Matrix A als v, wenn er die Bedingung angibt, Aus = λv

Das Skalierer-Vielfache λ wird im obigen Fall Eigenwert der quadratischen Matrix genannt. Wir müssen immer zuerst die Eigenwerte der quadratischen Matrix finden, bevor wir die Eigenvektoren der Matrix finden.

Für jede quadratische Matrix A der Ordnung n × n ist der Eigenvektor die Spaltenmatrix der Ordnung n × 1. Wenn wir den Eigenvektor der Matrix A durch Av = λv finden, wird v darin als rechter Eigenvektor der Matrix A bezeichnet und wird immer auf der rechten Seite multipliziert, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativer Natur ist. Wenn wir den Eigenvektor finden, ist es im Allgemeinen immer der richtige Eigenvektor.

Wir können den linken Eigenvektor der quadratischen Matrix A auch finden, indem wir die Beziehung verwenden: vA = vl

Dabei ist v der linke Eigenvektor und wird immer mit der linken Seite multipliziert. Wenn Matrix A die Ordnung n × n hat, dann ist v eine Spaltenmatrix der Ordnung 1 × n.

Eigenvektorgleichung

Die Eigenvektorgleichung ist die Gleichung, die verwendet wird, um den Eigenvektor einer beliebigen quadratischen Matrix zu ermitteln. Die Eigenvektorgleichung lautet:

Aus = λv

Wo,

• A ist die gegebene quadratische Matrix,
• In ist der Eigenvektor der Matrix A und
• l ist ein beliebiges Skalierer-Vielfaches.

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?

Wenn A ein ist quadratische Matrix der Ordnung n × n, dann können wir den Eigenvektor der quadratischen Matrix leicht finden, indem wir der unten beschriebenen Methode folgen:

Wir wissen, dass der Eigenvektor durch die Gleichung Av = λv gegeben ist. Für die Identitätsmatrix mit der gleichen Ordnung wie die Ordnung von A, d. h. n × n, verwenden wir die folgende Gleichung:

(A-λI)v = 0

Wenn wir die obige Gleichung lösen, erhalten wir verschiedene Werte von λ als λ₁, l₂, ..., l_NDiese Werte werden Eigenwerte genannt und wir erhalten individuelle Eigenvektoren, die sich auf jeden Eigenwert beziehen.

Wenn wir die obige Gleichung vereinfachen, erhalten wir v, eine Spaltenmatrix der Ordnung n × 1, und v wird geschrieben als:

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Wie finde ich einen Eigenvektor?

Der Eigenvektor der folgenden quadratischen Matrix kann mit den folgenden Schritten einfach berechnet werden:

Schritt 1: Finden Sie die Eigenwerte der Matrix A mithilfe der Gleichung det |(A – λI| =0, wobei I die Identitätsmatrix mit einer ähnlichen Ordnung wie Matrix A ist

Schritt 2: Der in Schritt 2 erhaltene Wert wird als λ bezeichnet₁, l₂, l₃….

Schritt 3: Finden Sie den Eigenvektor (X), der dem Eigenwert λ zugeordnet ist₁unter Verwendung der Gleichung (A – λ₁I) X = 0

Schritt 4: Wiederholen Sie Schritt 3, um den Eigenvektor zu finden, der den anderen verbleibenden Eigenwerten λ zugeordnet ist₂, l₃….

Wenn Sie diese Schritte befolgen, erhalten Sie den Eigenvektor, der sich auf die gegebene quadratische Matrix bezieht.

Arten von Eigenvektoren

Die für die quadratische Matrix berechneten Eigenvektoren sind von zwei Arten:

• Rechter Eigenvektor
• Linker Eigenvektor

Rechter Eigenvektor

Der Eigenvektor, der von der rechten Seite mit der gegebenen quadratischen Matrix multipliziert wird, wird rechter Eigenvektor genannt. Sie wird mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:

VON _R = λV _R

Wie viele Tasten haben Tastaturen?

Wo,

• A ist eine quadratische Matrix der Ordnung n×n gegeben,
• l ist einer der Eigenwerte und
• IN _R ist die Spaltenvektormatrix

Der Wert von V_RIst,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Linker Eigenvektor

Der Eigenvektor, der von der linken Seite mit der gegebenen quadratischen Matrix multipliziert wird, wird linker Eigenvektor genannt. Sie wird mithilfe der folgenden Gleichung berechnet:

IN _L A = V _L l

Wo,

• A ist eine quadratische Matrix der Ordnung n×n gegeben,
• l ist einer der Eigenwerte und
• IN _L ist die Zeilenvektormatrix.

Der Wert von V_LIst,

IN _L = [V ₁ , In ₂ , In ₃ ,…, In _N ]

Eigenvektoren einer Quadratmatrix

Wir können den Eigenvektor quadratischer Matrizen der Ordnung n × n leicht finden. Suchen wir nun die folgenden quadratischen Matrizen:

• Eigenvektoren einer 2 × 2-Matrix
• Eigenvektoren einer 3 × 3-Matrix.

Eigenvektor einer 2 × 2-Matrix

Der Eigenvektor der 2 × 2-Matrix kann mithilfe der oben genannten Schritte berechnet werden. Ein Beispiel dafür ist:

Beispiel: Finden Sie die Eigenwerte und den Eigenvektor für die Matrix A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Lösung:

Wenn Eigenwerte mit λ dargestellt werden und der Eigenvektor als v = dargestellt wirdegin{bmatrix} a end{bmatrix}

Dann wird der Eigenvektor mithilfe der Gleichung berechnet:

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 und λ = -1

Somit sind die Eigenwerte 6 und -1. Dann sind die jeweiligen Eigenvektoren:

Für λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Wenn wir die obige Gleichung vereinfachen, erhalten wir:

5a=2b

Der erforderliche Eigenvektor ist:

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

Für λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

Wenn wir die obige Gleichung vereinfachen, erhalten wir:

a = -b

Der erforderliche Eigenvektor ist:

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Dann sind die Eigenvektoren der gegebenen 2 × 2-Matrixegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Dies sind zwei mögliche Eigenvektoren, aber viele der entsprechenden Vielfachen dieser Eigenvektoren können auch als andere mögliche Eigenvektoren betrachtet werden.

Eigenvektor einer 3 × 3-Matrix

Der Eigenvektor der 3 × 3-Matrix kann mithilfe der oben genannten Schritte berechnet werden. Ein Beispiel dafür ist:

Beispiel: Finden Sie die Eigenwerte und den Eigenvektor für die Matrix A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Lösung:

Wenn Eigenwerte mit λ dargestellt werden und der Eigenvektor als v = dargestellt wirdegin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Dann wird der Eigenvektor mithilfe der Gleichung berechnet:

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Wenn wir die obige Determinante vereinfachen, erhalten wir

⇒ (2-l)(l²) + 2 Min²+ 2 Min²= 0

⇒ (-l³) + 6 Min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

Für λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Wenn wir die obige Gleichung vereinfachen, erhalten wir

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Sei b = k₁und c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Somit ist der Eigenvektor

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

k nehmen₁= 1 und k₂= 0

der Eigenvektor ist,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

k nehmen₁= 0 und k₂= 1

der Eigenvektor ist,

NPM-Cache sauber

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

Für λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Wenn wir die obige Gleichung vereinfachen, erhalten wir:

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Sei b = k₁und c = k₂, und k nehmen₁= k₂= 1,

wir bekommen,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Somit ist der Eigenvektor

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Eigenraum

Wir definieren den Eigenraum einer Matrix als die Menge aller Eigenvektoren der Matrix. Alle Vektoren im Eigenraum sind linear unabhängig voneinander.

Um den Eigenraum der Matrix zu finden, müssen wir die folgenden Schritte ausführen

Schritt 1: Finden Sie alle Eigenwerte der gegebenen quadratischen Matrix.

Schritt 2: Finden Sie für jeden Eigenwert den entsprechenden Eigenvektor.

Schritt 3: Nehmen Sie die Menge aller Eigenvektoren (sagen wir A). Die so gebildete resultierende Menge wird Eigenraum des folgenden Vektors genannt.

Aus dem obigen Beispiel der gegebenen 3 × 3-Matrix A ergibt sich der so gebildete Eigenraum zu {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Anwendungen von Eigenwerten

Einige der häufigsten Anwendungen von Eigenwerten sind:

Lineare Algebra

Diagonalisierung: Eigenwerte werden zur Diagonalisierung von Matrizen verwendet, um Berechnungen zu vereinfachen und lineare Systeme effizienter zu lösen.

Matrixpotenzierung: Eigenwerte spielen eine entscheidende Rolle bei der Berechnung der Potenzierung einer Matrix.

Quantenmechanik

Schrödinger-Gleichung: Eigenwerte des Hamilton-Operators entsprechen den Energieniveaus von Quantensystemen und liefern Informationen über mögliche Zustände.

Schwingungen und Strukturanalyse:

Mechanische Schwingungen: Eigenwerte repräsentieren die Eigenfrequenzen von Schwingungssystemen. In der Strukturanalyse helfen sie, die Stabilität und das Verhalten von Strukturen zu verstehen.

Statistiken

Kovarianzmatrix: In der multivariaten Statistik werden Eigenwerte bei der Analyse von Kovarianzmatrizen verwendet und liefern Informationen über die Verteilung und Ausrichtung von Daten.

Computergrafik

Hauptkomponentenanalyse (PCA): Eigenwerte werden bei der PCA verwendet, um die Hauptkomponenten eines Datensatzes zu finden und so die Dimensionalität zu reduzieren, während wesentliche Informationen erhalten bleiben.

Kontroll systeme

Systemstabilität: Eigenwerte der Systemmatrix sind entscheidend für die Bestimmung der Stabilität eines Steuerungssystems. Die Stabilitätsanalyse trägt dazu bei, sicherzustellen, dass die Systemreaktion begrenzt ist.

Diagonalisieren Sie die Matrix mithilfe von Eigenwerten und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren werden verwendet, um Diagonalmatrizen zu finden. A diagonale Matrix ist eine Matrix, die geschrieben werden kann als:

A = XDX ^-1

Wo,

• D ist die Matrix, die durch Ersetzen der Einsen in der Identitätsmatrix durch Eigenwerte gebildet wird, und
• X ist die durch Eigenvektoren gebildete Matrix.

Wir können das Konzept einer Diagonalmatrix anhand des folgenden Beispiels verstehen.

Instanz von in Java

Beispiel: Diagonalisieren Sie die Matrix A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Lösung:

Wir haben bereits nach den Eigenwerten und Eigenvektoren von A gesucht = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Die Eigenwerte von A sind λ = 0, λ = 0 und λ = -8

Die Eigenvektoren von A sindegin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Daher,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Wir können die Umkehrung von X leicht finden als:

X^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Mehr lesen,

• Elementare Operation an Matrizen
• Identitätsmatrix
• Umkehrung einer Matrix

Gelöste Beispiele zu Eigenvektoren

Beispiel 1: Finden Sie die Eigenvektoren der Matrix A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Lösung:

Die Eigenwerte der Matrix werden ermittelt mit:

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Somit sind die Eigenwerte:

λ = 1, 1, 1

Da alle Eigenwerte gleich sind, haben wir drei identische Eigenvektoren. Wir werden die Eigenvektoren für λ = 1 finden, indem wir (A – λI)v = O verwenden

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Wenn wir die obige Gleichung lösen, erhalten wir:

• a = K
• y = 0
• z = 0

Dann ist der Eigenvektor

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Beispiel 2: Finden Sie die Eigenvektoren der Matrix A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Lösung:

Die Eigenwerte der Matrix werden ermittelt mit:

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Somit sind die Eigenwerte:

λ = 5,5

Da alle Eigenwerte gleich sind, haben wir drei identische Eigenvektoren. Wir werden die Eigenvektoren für λ = 1 finden, indem wir verwenden

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Wenn wir das oben Genannte vereinfachen, erhalten wir:

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Dann ist der Eigenvektor

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

FAQs zu Eigenvektoren

Was sind Eigenvektoren?

Wir definieren den Eigenvektor einer beliebigen Matrix als den Vektor, der bei Multiplikation mit der Matrix das skalierende Vielfache der Matrix ergibt.

Wie finde ich Eigenvektoren?

Der Eigenvektor einer beliebigen Matrix A wird mit bezeichnet In . Der Eigenvektor der Matrix wird berechnet, indem zunächst der Eigenwert der Matrix ermittelt wird.

• Der Eigenwert der Matrix wird mithilfe der Formel |A-λI| ermittelt = 0 wobei λ die Eigenwerte angibt.
• Nachdem wir den Eigenwert ermittelt hatten, ermittelten wir den Eigenvektor anhand der Formel Av = λv, wobei v den Eigenvektor angibt.

Was ist der Unterschied zwischen Eigenwert und Eigenvektor?

Für jede quadratische Matrix A werden die Eigenwerte durch λ dargestellt und nach der Formel |A – λI| berechnet = 0. Nachdem wir den Eigenwert ermittelt haben, ermitteln wir den Eigenvektor durch Av = λv.

Was ist die diagonalisierbare Matrix?

Jede Matrix, die als Produkt der drei Matrizen als XDX ausgedrückt werden kann^-1ist eine diagonalisierbare Matrix, hier heißt D Diagonalmatrix.

Sind Eigenwerte und Eigenvektoren gleich?

Nein, Eigenwerte und Eigenvektoren sind nicht gleich. Eigenwerte sind der Skalierer, der zum Finden von Eigenvektoren verwendet wird, während Eigenvektoren die Vektoren sind, die zum Finden von Matrixvektortransformationen verwendet werden.

Kann der Eigenvektor ein Nullvektor sein?

Eigenwerte können Null sein, aber der Eigenvektor kann niemals ein Nullvektor sein.

Was ist die Eigenvektorformel?

Der Eigenvektor einer beliebigen Matrix wird mit der Formel berechnet:

Aus = λv

Wo,
l ist der Eigenwert
In ist der Eigenvektor