Die Quadratwurzel eines beliebigen numerischen Werts ist ein Wert, der bei Selbstmultiplikation die ursprüngliche Zahl ergibt. „√“ ist das Wurzelsymbol, das zur Darstellung der Wurzel einer beliebigen Zahl verwendet wird. Mit Quadratwurzel meinen wir eine Potenz 1/2 dieser Zahl. Nehmen wir zum Beispiel an, dass x die Quadratwurzel einer beliebigen ganzen Zahl y ist. Dies impliziert, dass x=√y. Durch Multiplikation der Gleichung erhalten wir auch x²= y.

Die Quadratwurzel des Quadrats einer positiven Zahl ergibt die ursprüngliche Zahl.

Um das Konzept zu verstehen, wissen wir, dass das Quadrat von 4 16 ist und die Quadratwurzel von 16 √16 = 4. Nun, wie wir sehen können, ist 16 eine perfekte Quadratzahl. Dies erleichtert die Berechnung der Quadratwurzel solcher Zahlen. Um jedoch die Quadratwurzel eines unvollkommenen Quadrats wie 3, 5, 7 usw. zu berechnen, ist die Berechnung der Wurzel ein schwieriger Prozess.

Eine Quadratwurzelfunktion ist eine Eins-zu-eins-Funktion, die eine positive Zahl als Eingabe verwendet und die Quadratwurzel der gegebenen Eingabezahl zurückgibt.

f(x) = √x

Eigenschaften von Quadratwurzeln

Einige der wichtigen Eigenschaften der Quadratwurzel sind wie folgt:

• Für eine perfekte Quadratzahl gibt es eine perfekte Quadratwurzel.
• Für eine Zahl, die mit einer geraden Anzahl von Nullen endet, existiert eine Quadratwurzel.
• Die Quadratwurzel aller negativen Zahlen ist nicht definiert.
• Für eine Zahl, die mit den Ziffern 2, 3, 7 oder 8 endet, gibt es keine perfekte Quadratwurzel.
• Bei einer Zahl, die mit den Ziffern 1, 4, 5, 6 oder 9 endet, hat die Zahl eine Quadratwurzel.

Wie berechnet man eine Quadratwurzel?

Perfekte Quadratzahlen sind ganze Zahlen, die positiver Natur sind und sich leicht in Form der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst ausdrücken lassen. Perfekte Quadratzahlen werden als Wert der Potenz 2 einer beliebigen ganzen Zahl dargestellt. Die Berechnung der Quadratwurzel perfekter Quadratzahlen ist relativ einfacher. Es gibt hauptsächlich vier Methoden, um die Quadratwurzel von Zahlen zu ermitteln:

• Wiederholte Subtraktionsmethode der Quadratwurzel
• Quadratwurzel durch Primfaktorisierungsmethode
• Quadratwurzel durch Schätzmethode
• Quadratwurzel durch lange Divisionsmethode

Die oben genannten drei Methoden können zur Berechnung der Quadratwurzel perfekter Quadratzahlen verwendet werden. Die letzte Methode kann jedoch für beide Arten von Zahlen verwendet werden.

Wiederholte Subtraktionsmethode von Quadratwurzeln

Die Methode basiert auf der folgenden Abfolge von Schritten:

Schritt 1: Subtrahieren Sie aufeinanderfolgende ungerade Zahlen von der Zahl, für die wir die Quadratwurzel ermitteln.

Schritt 2: Wiederholen Sie Schritt 1, bis ein Wert von 0 erreicht ist.

Schritt 3: Die Häufigkeit, mit der Schritt 1 wiederholt wird, ist die erforderliche Quadratwurzel der angegebenen Zahl.

Notiz: Diese Methode kann nur für perfekte Quadrate verwendet werden.

Für die Zahl 16 funktioniert die Methode beispielsweise wie folgt:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7- 7 = 0

Der Vorgang wird 4 Mal wiederholt. Somit ist √16 = 4.

Quadratwurzel durch Primfaktorisierungsmethode

Die Primfaktorzerlegung einer beliebigen Zahl ist die Darstellung dieser Zahl in Form eines Produkts von Primzahlen. Die Methode basiert auf der folgenden Abfolge von Schritten:

Schritt 1: Teilen Sie die angegebene Zahl in ihre Primfaktoren.

Schritt 2: Ein Paar ähnlicher Faktoren wird so gebildet, dass beide Faktoren in jedem der gebildeten Paare gleich sind.

C++-Prototypfunktion

Schritt 3: Nehmen Sie aus jedem der Paare einen Faktor.

Schritt 4: Das Produkt der Faktoren erhält man, indem man von jedem Paar einen Faktor nimmt.

Schritt 5: Dieses erhaltene Produkt ist die Quadratwurzel der angegebenen Zahl.

Notiz: Diese Methode kann nur für perfekte Quadrate verwendet werden.

Für die Zahl 64 funktioniert die Methode beispielsweise wie folgt:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Quadratwurzel durch Schätzmethode

Die Schätzmethode wird zur Näherung der Quadratwurzel einer gegebenen Zahl verwendet. Es nähert die Quadratwurzel einer Zahl an eine vernünftige Schätzung des tatsächlichen Werts an. Berechnungen sind mit dieser Methode einfacher. Allerdings ist es ein wirklich langer und zeitaufwändiger Prozess.

Schritt 1: Finden Sie das nächstgelegene perfekte Quadrat, das sowohl vor als auch nach der angegebenen Zahl auftritt.

Schritt 2: Finden Sie die nächstnächsten ganzen Zahlen und runden Sie sie jedes Mal ab, um zur nächstgelegenen Antwort zu gelangen.

Für die Zahl 15 funktioniert die Methode beispielsweise wie folgt:

9 und 16 sind die perfekten Quadratzahlen vor und nach der Zahl 15. Jetzt wissen wir:

√16 = 4 und √9 = 3. Dies impliziert, dass die Quadratwurzel der Zahl 15 zwischen 3 und 4 liegt. Der Prozess umfasst nun die Bewertung, ob die Quadratwurzel der Zahl 15 näher bei 3 oder 4 liegt.

Der erste Fall nimmt 3,5 und 4. Quadrat von 3,5 = 12,25 und Quadratwurzel von 4 = 16. Daher liegt die Quadratwurzel der ganzen Zahl 15 zwischen 3,5 und 4 und liegt näher bei 4.

Außerdem finden wir die Quadrate von 3,8 und 3,9, die 3,8 entsprechen²= 14,44 und 3,9²= 15,21 bzw. Dies impliziert, dass √15 zwischen 3,8 und 3,9 liegt. Bei weiterer Auswertung erhalten wir √15 = 3,872.

Quadratwurzel durch lange Divisionsmethode

Die Methode der langen Division zur Berechnung der Quadratwurzel von Zahlen beinhaltet die Division großer Zahlen in Schritte oder Teile, wodurch das Problem in eine Folge einfacherer Schritte zerlegt wird.

Für die Zahl 180 funktioniert die Methode beispielsweise wie folgt:

Schritt 1: Über jedes Ziffernpaar der Zahl wird, beginnend mit der Einheitsstelle, ein Balken gelegt.

Schritt 2: Die Zahl ganz links wird dann durch die größte Zahl dividiert, sodass das Quadrat kleiner oder gleich der Zahl im Paar ganz links ist.

Schritt 3: Jetzt wird die Zahl unter dem nächsten Balken rechts vom Rest verringert. Die letzte Ziffer des erhaltenen Quotienten wird zum Divisor addiert. Der nächste Schritt besteht nun darin, rechts von der erhaltenen Summe eine Zahl zu finden, die zusammen mit dem Ergebnis der Summe einen neuen Teiler für die neue Dividende bildet.

25 c bis k

Schritt 4: Die erhaltene Zahl im Quotienten entspricht der im Divisor gewählten Zahl.

Schritt 5: Der gleiche Vorgang wird wiederholt, indem ein Dezimalpunkt verwendet und zum Rest paarweise Nullen hinzugefügt werden.

Schritt 6: Der Quotient bildet die Quadratwurzel der Zahl.

Probefragen

Frage 1. Berechnen Sie die Quadratwurzel von 144 mit der Primfaktorisierungsmethode?

Lösung:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

Centos vs. Rhel

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Frage 2. Wie vereinfacht man die Quadratwurzel?

Lösung:

Die Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahl kann berechnet werden. Falls der Faktor nicht gruppiert werden kann, wird zur Gruppierung ein Quadratwurzelsymbol verwendet. Zur Vereinfachung wird folgende Regel verwendet:

√xy = √(x × y), wobei x und y positive ganze Zahlen sind.

Zum Beispiel √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

Bei Brüchen gilt folgende Regel:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

Zum Beispiel:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Frage 3. Lösen Sie: √(x + 2) = 4

Lösung:

Wir wissen,

√(x + 2) = 4

Wenn wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir:

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Deshalb haben wir,

x = 2 oder x = -6

Frage 4. Kann die Quadratwurzel einer negativen Zahl eine ganze Zahl sein? Erklären.

Lösung:

Wir wissen, dass die negativen Zahlen keine Quadratwurzel haben können. Der Grund dafür ist, dass das Ergebnis immer eine positive Zahl ist, wenn zwei negative Zahlen miteinander multipliziert werden. Daher hat die Quadratwurzel einer negativen Zahl die Form einer komplexen Zahl.

Frage 5. Berechnen Sie die Quadratwurzel von 25 mit der Methode der wiederholten Subtraktion?

Lösung:

Wenn wir die oben genannten Schritte befolgen, haben wir Folgendes erreicht:

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Da der Vorgang fünfmal wiederholt wird, gilt √25 = 5.

Frage 6. Berechnen Sie die Quadratwurzel von 484 durch Lange Teilungsmethode?

Lösung:

Mit der Methode der langen Division haben wir:

Sanjay Dutt und

Jetzt,

Der Rest ist 0, daher ist 484 eine perfekte Quadratzahl, so dass:

√484 = 22