Integrationsformeln sind die Grundformeln, die zur Lösung verschiedener Integralprobleme verwendet werden. Sie werden verwendet, um die Integration von algebraischen Ausdrücken, trigonometrischen Verhältnissen, inversen trigonometrischen Funktionen sowie logarithmischen und exponentiellen Funktionen zu finden. Diese Integrationsformeln sind sehr nützlich, um die Integration verschiedener Funktionen zu finden.

Integration ist der umgekehrte Prozess der Differenzierung, d. h. wenn d/dx (y) = z, dann ist ∫zdx = y. Die Integration einer beliebigen Kurve ergibt die Fläche unter der Kurve. Wir finden die Integration durch zwei Methoden: Unbestimmte Integration und Definite Integration. Bei der unbestimmten Integration gibt es keine Grenze für die Integration, während es bei der bestimmten Integration eine Grenze gibt, unter der die Funktion integriert wird.

Lassen Sie uns mehr darüber erfahren Integralformeln, und ihre Einstufung, ausführlich in diesem Artikel.

Inhaltsverzeichnis

• Integralrechnung
• Was sind Integrationsformeln?
• Integrationsformeln trigonometrischer Funktionen
• Integrationsformeln umgekehrter trigonometrischer Funktionen
• Erweiterte Integrationsformeln
• Verschiedene Integrationsformeln
• Anwendung von Integralen
• Definitive Integrationsformel
• Unbestimmte Integrationsformel

Integralrechnung

Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Theorie und Anwendung von Integralen beschäftigt. Der Vorgang, Integrale zu finden, wird Integration genannt. Die Integralrechnung hilft beim Finden der Stammfunktionen einer Funktion. Die Stammfunktionen werden auch Integrale einer Funktion genannt. Es wird mit bezeichnet ∫f(x)dx. Die Integralrechnung befasst sich mit Gesamtwerten wie Längen, Flächen und Volumina. Das Integral kann verwendet werden, um Näherungslösungen für bestimmte Gleichungen gegebener Daten zu finden. Die Integralrechnung umfasst zwei Arten der Integration:

• Unbestimmt Integrale
• Bestimmte Integrale

Was sind Integrationsformeln?

Die Integrationsformeln wurden grob als die folgenden Formelsätze dargestellt. Zu den Formeln gehören grundlegende Integrationsformeln, die Integration trigonometrischer Verhältnisse, inverse trigonometrische Funktionen, das Produkt von Funktionen und einige erweiterte Sätze von Integrationsformeln. Integration ist eine Möglichkeit, die Teile zu einem Ganzen zu vereinen. Es ist die umgekehrte Operation der Differenzierung. Somit lautet die grundlegende Integrationsformel

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrationsformeln

Daraus werden die folgenden Integrationsformeln abgeleitet.

Die verschiedenen Integralrechnungsformeln sind

1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
2. ∫ x^Ndx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
3. ∫(1/x) dx = log_{Es ist}|x| + C
4. ∫e^Xdx = e^X+ C
5. ∫a^Xdx = (a^X/ Protokoll_{Es ist}a) + C

Weitere Integralformeln werden weiter unten im Artikel besprochen.

Notiz:

• d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
• ∫k . f(x) dx = k ∫f(x) dx , wobei k konstant ist
• ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Grundlegende Integrationsformeln

Im Folgenden werden einige der grundlegenden Integrationsformeln besprochen, die zur Lösung von Integrationsproblemen verwendet werden. Sie werden durch den fundamentalen Satz der Integration abgeleitet. Die Liste der grundlegenden Integralformeln ist unten aufgeführt:

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ x^Ndx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| + C
• ∫ und^Xdx = e^X+ C
• ∫ ein^Xdx = a^X/log a+ C
• ∫ und^X[f(x) + f'(x)] dx = e^Xf(x) + C {wobei f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klassifikation von Integralformeln

Integralformeln werden basierend auf der folgenden Funktion in verschiedene Kategorien eingeteilt.

• Rationale Funktionen
• Irrationale Funktionen
• Hyperbolische Funktionen
• Inverse hyperbolische Funktionen
• Trigonometrische Funktionen
• Inverse trigonometrische Funktionen
• Exponentialfunktionen
• Logarithmische Funktionen

Integrationsformeln trigonometrischer Funktionen

Integrationsformeln trigonometrischer Funktionen werden zur Lösung der Integralgleichungen trigonometrischer Funktionen verwendet. Nachfolgend finden Sie eine Liste von Integralformeln mit trigonometrischen und inversen trigonometrischen Funktionen.

• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ Sek²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ Sek. x tan x dx = Sek. x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = log |sec x| +C
• ∫ cot x dx = log |sin x| + C
• ∫ sec x dx = log |sec x + tan x| + C
• ∫ cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C

Integrationsformeln umgekehrter trigonometrischer Funktionen

Im Folgenden sind verschiedene Integrationsformeln umgekehrter trigonometrischer Funktionen aufgeführt, die zur Lösung integraler Fragen verwendet werden.

• ∫1/√(1 – x²) dx = Sünde^-1x + C
• ∫ -1/√(1 – x²) dx = cos^-1x + C
• ∫1/(1 + x²) dx = tan^-1x + C
• ∫ -1/(1 + x²) dx = Kinderbett^-1x + C
• ∫ 1/x√(x²– 1) dx = Sek^-1x + C
• ∫ -1/x√(x²– 1) dx = cosec^-1x + C

Erweiterte Integrationsformeln

Einige andere fortgeschrittene Integrationsformeln, die für die Lösung von Integralen von großer Bedeutung sind, werden im Folgenden besprochen.

• ∫1/(x²- A²) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
• ∫ 1/(a²- X²) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
• ∫1/(x²+ a²) dx = 1/a tan^-1x/a + C
• ∫1/√(x²- A²)dx = log |x +√(x²- A²)| + C
• ∫ √(x²- A²) dx = x/2 √(x²- A²) -A²/2 log |x + √(x²- A²)| + C
• ∫1/√(a²- X²) dx = Sünde^-1x/a + C
• ∫√(a²- X²) dx = x/2 √(a²- X²) dx + a²/2 ohne^-1x/a + C
• ∫1/√(x²+ a²) dx = log |x + √(x²+ a²)| + C
• ∫ √(x²+ a²) dx = x/2 √(x²+ a²)+ a²/2 log |x + √(x²+ a²)| + C

Verschiedene Integrationsformeln

Zur Lösung verschiedener Arten von Integralfragen werden verschiedene Arten von Integrationsmethoden verwendet. Jede Methode ist ein Standardergebnis und kann als Formel betrachtet werden. Einige der wichtigen Methoden werden weiter unten in diesem Artikel besprochen. Schauen wir uns die drei wichtigen Integrationsmethoden an.

• Integration nach Teileformel
• Integration durch Substitutionsformel
• Integration durch Teilbruchformel

Integration nach Teileformel

Integration in Teilstücken Die Formel wird angewendet, wenn die gegebene Funktion leicht als Produkt zweier Funktionen beschrieben werden kann. Die in der Mathematik verwendete Formel für die Integration nach Teilen ist unten angegeben:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Beispiel: Berechnen Sie ∫ xe ^X dx

Lösung:

∫ Auto^Xdx hat die Form ∫ f(x) g(x) dx

Sei f(x) = x und g(x) = e^X

Wir wissen, dass ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ Auto^Xdx = x ∫e^Xdx – ∫( 1 ∫e^Xdx) dx+ c

= Auto^X- Es ist^X+ c

Integration durch Substitutionsformel

Integration durch Substitutionsformel wird angewendet, wenn eine Funktion eine Funktion einer anderen Funktion ist. d.h. sei I = ∫ f(x) dx, wobei x = g(t) mit dx/dt = g'(t), dann ist dx = g'(t)dt

Jetzt, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Beispiel: ∫ (4x +3) auswerten ³ dx

Lösung:

Sei u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)³dx

c++-Satz

= 1/4 ∫(u)³von

= 1/4. In⁴/5

= u⁴/zwanzig

= 4x ​​+3)⁴/zwanzig

Integration durch Teilbruchformel

Integration durch Teilbrüche Die Formel wird verwendet, wenn das Integral von P(x)/Q(x) erforderlich ist und P(x)/Q(x) ein unechter Bruch ist, sodass der Grad von P(x) kleiner als der (<) ist Grad von Q(x), dann wird der Bruch P(x)/Q(x) geschrieben als

P(x)/Q(x) = R(x) + P ₁ (x)/ Q(x)

Wo

• R(x) ist ein Polynom in x
• P ₁ (x)/ Q(x) ist eine echte rationale Funktion

Nun die Integration von R(x) + P₁(x)/ Q(x) lässt sich leicht mit den oben diskutierten Formeln berechnen.

Anwendung von Integralen

Integralformeln sind äußerst nützliche Formeln in der Mathematik, die für eine Vielzahl von Aufgaben verwendet werden. Verschieden Anwendungen von Integralen beinhaltet:

• Ermitteln der Länge der Kurve
• Ermitteln der Fläche unter der Kurve
• Näherungswerte der Funktion finden
• Bestimmen des Pfads eines Objekts und anderer
• Um die Fläche unter der Kurve zu finden
• Um die Oberfläche und das Volumen unregelmäßiger Formen zu ermitteln
• Den Massen- oder Schwerpunkt ermitteln

Diese Formeln werden grundsätzlich in zwei Kategorien eingeteilt:

• Definitive Integrationsformeln
• Unbestimmte Integrationsformeln

Definitive Integrationsformel

Bestimmte Integralformeln werden verwendet, wenn der Grenzwert der Integration angegeben ist. Bei der definitiven Integration ist die Lösung der Frage ein konstanter Wert. Im Allgemeinen wird die bestimmte Integration wie folgt gelöst:

∫ _A ^B f(x) dx = F(b) – F(a)

Unbestimmte Integrationsformel

Formeln für die unbestimmte Integration werden verwendet, um die unbestimmte Integration zu lösen, wenn die Integrationsgrenze nicht gegeben ist. Bei der unbestimmten Integration verwenden wir die Konstante der Integration, die im Allgemeinen mit C bezeichnet wird

∫f(x) = F(x) + C

Artikel zu Integrationsformeln:

• Unbestimmte Integrale
• Integrale Eigenschaften definieren
• Integration trigonometrischer Funktionen

Beispiele zu Integralformeln

Beispiel 1: Bewerten

• ∫ x ⁶ dx
• ∫1/x ⁴ dx
• ∫ ³ √x dx
• ∫3 ^X dx
• ∫4e ^X dx
• ∫(sin x/cos ² x) dx
• ∫(1/sin ² x) dx
• ∫[1/√(4 – x ² )] dx
• ∫[1/3√(x ² – 9)] dx
• ∫(1 /cos x tan x) dx

Lösung:

(i)∫x ⁶ dx

= (x⁶⁺¹)/(6 + 1) + C [∫x ^N dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x⁷/7) + C

(ii) ∫1/x ⁴ dx

= ∫x^-4dx [∫x ^N dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x^-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x^-3/ 3) + C

= -(1/3x³) + C

(iii) ∫ ³ √x dx

= ∫x^1/3dx [∫x ^N dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= (x^(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x^4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x^4/3) + C

(iv) ∫3 ^X dx

= (3^X/ Protokoll_{Es ist}3) + C [ ∫a ^X dx = (a ^X / Protokoll _{Es ist} a) + C]

(v) ∫4e ^X dx

= 4∫e^Xdx [∫k . f(x) dx = k f(x) dx , wobei k konstant ist]

= 4 und^X+ C [∫e ^X dx = e ^X + C]

(vi) ∫(sin x/cos ² x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . Sek. x dx [ ∫tan x .sec x dx = sec x + C ]

= Sek. x + C

(vii) ∫(1/sin ² x) dx

= ∫cosec²xdx [∫cosec ² x dx = -cot x + C ]

= -cot x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x ² )] dx

= ∫[1/√(2²- X²)] dx [Wir wissen, dass dx = Sünde ist ^-1 (x/a) + C]

= ohne^-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x ² – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x²- 3²)}] dx [wir wissen, dass,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)Sek^-1(x/a) + C]

= (1/3)Sek^-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [Wir wissen, dass ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – cot x| +C

Beispiel 2: Bewerten Sie ∫{e ^9log _{Es ist} ^X + und ^8log _{Es ist} ^X }/{Es ist ^6log _{Es ist} ^X + und ^5log _{Es ist} ^X } dx

Lösung:

Seit, Es ist ^zittern _{Es ist} ^X = x ^A

∫{e ^9log _{Es ist} ^X + und ^8log _{Es ist} ^X }/{Es ist ^6log _{Es ist} ^X + und ^5log _{Es ist} ^X } dx

= ∫{x⁹+ x⁸}/{X⁶+ x⁵} dx

= ∫[x⁸(x + 1)]/[x⁵(x + 1)] dx

=∫ x⁸/X⁵dx

= ∫x³dx [das wissen wir, ∫x ^N dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + C n ≠ -1]

= (x⁴/4) + C

Beispiel 3: Bewerten Sie ∫ sin x + cos x dx

Lösung:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [Wir wissen, dass ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [Wir wissen, dass ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Beispiel 4: Bewerten Sie ∫4 ^x+2 dx

Lösung:

∫4 ^x+2 dx = ∫4^X. 4²dx

= ∫16. 4^Xdx [wir wussten, dass∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , wobei k konstant ist]

= 16∫ 4^Xdx [∫a ^X dx = (a ^X / Protokoll _{Es ist} a) + C]

= 16 (4^X/log 4) + C

Beispiel 5: Bewerten Sie ∫(x ² + 3x + 1) dx

Lösung:

∫(x ² + 3x + 1) dx

= ∫x²dx+ 3∫x dx + 1∫ x⁰dx [Das wissen wir, ∫x ^N dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ C n ≠ -1]

= [x²⁺¹/2+1] + 3[[x¹⁺¹/1+1]] + [x⁰⁺¹/0+1] + C

= [x³/3] + 3[x²/2] + x + C

Beispiel 6: Berechnen Sie ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Lösung:

1 + cos 2x = 2cos ² X

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos²x)] dx

= ∫(2/cos²x) dx

= ∫2 Sek²xdx

= 2∫Sek²xdx [Das wissen wir, ∫sec ² x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Beispiel 7: ∫(3cos x – 4sin x + 5 Sek. auswerten ² x) dx

Lösung:

∫(3cos x – 4sin x + 5 Sek ² x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sec²xdx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, wobei k konstant ist]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sec²xdx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Übungsaufgaben zu Integrationsformeln

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

FAQs zu Integrationsformeln

Was sind alle Integrationsformeln?

Integrationsformeln sind Formeln, die zur Lösung verschiedener Integrationsprobleme verwendet werden.

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ x^Ndx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| + C
• ∫ und^Xdx = e^X+ C
• ∫ ein^Xdx = a^X/log a+ C
• ∫ und^X[f(x) + f'(x)] dx = e^Xf(x) + C {wobei f'(x) = d/dx[f(x)]}

Was sind die Integrationsformeln von UV?

Die Integrationsformel von UV lautet:

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Was bedeutet Integration in der Mathematik?

Wenn die Ableitung der Funktion g(x) f(x) ist, dann ist die Integration von f(x) g(x), d. h. ∫f(x)dx = g(x). Integration wird durch das Symbol dargestellt ∫

Wie integrieren wir mithilfe von Integrationsformeln?

Die Integration kann mit den Formeln erreicht werden,

• Definieren Sie einen kleinen Teil eines Objekts in bestimmten Dimensionen, der durch unendliche Addition das vollständige Objekt ergibt.
• Durch die Verwendung von Integrationsformeln für diesen kleinen Teil entlang der verschiedenen Dimensionen erhalten wir das vollständige Objekt.

Was ist die Integralformel nach Teilen?

Die partielle Integralformel wird verwendet, um das Integral zu lösen, wenn ein unechter Bruch angegeben ist.

Wozu dienen Integrationsformeln?

Integrationsformeln werden zur Lösung verschiedener Integralprobleme verwendet. Verschiedene Probleme, denen wir in unserem täglichen Leben begegnen, können mit Hilfe der Integration leicht gelöst werden, z. B. das Ermitteln des Massenschwerpunkts eines beliebigen Objekts, das Ermitteln der Flugbahn von Raketen, Flugzeugen und anderen.