Angenommen, es gibt zwei zusammengesetzte Aussagen, X und Y, die genau dann als logische Äquivalenz bezeichnet werden, wenn die Wahrheitstabelle beider Aussagen dieselben Wahrheitswerte in ihren Spalten enthält. Mit Hilfe des Symbols = oder ⇔ können wir die logische Äquivalenz darstellen. Also wird X = Y oder X ⇔ Y die logische Äquivalenz dieser Aussagen sein.
Mit Hilfe der Definition der logischen Äquivalenz haben wir geklärt, dass, wenn die zusammengesetzten Aussagen X und Y logische Äquivalenzen sind, in diesem Fall X ⇔ Y eine Tautologie sein muss.
Gesetze der logischen Äquivalenz
In diesem Gesetz verwenden wir die Symbole „AND“ und „OR“, um das Gesetz der logischen Äquivalenz zu erklären. Hier wird UND mit Hilfe des ∧-Symbols und ODER mit Hilfe des ∨-Symbols angezeigt. Es gibt verschiedene Gesetze der logischen Äquivalenz, die wie folgt beschrieben werden:
Idempotentes Gesetz:
Im idempotenten Gesetz verwenden wir nur eine einzige Aussage. Wenn wir nach diesem Gesetz zwei gleiche Aussagen mit dem Symbol ∧(und) und ∨(oder) kombinieren, dann ist die resultierende Aussage die Aussage selbst. Angenommen, es gibt eine zusammengesetzte Aussage P. Die folgende Notation wird verwendet, um das idempotente Gesetz anzuzeigen:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
Die Wahrheitstabelle für dieses Gesetz wird wie folgt beschrieben:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P, P ∨ P und P ∧ P.
Daher können wir sagen, dass P ∨ P = P und P ∧ P = P.
Kommutative Gesetze:
Die beiden Aussagen werden verwendet, um das Kommutativgesetz zu zeigen. Wenn wir nach diesem Gesetz zwei Aussagen mit dem Symbol ∧(und) oder ∨(oder) kombinieren, ist die resultierende Aussage dieselbe, auch wenn wir die Position der Aussagen ändern. Angenommen, es gibt zwei Aussagen, P und Q. Die Aussage dieser Aussagen ist falsch, wenn beide Aussagen P und Q falsch sind. In allen anderen Fällen wird es wahr sein. Zur Angabe des Kommutativgesetzes wird folgende Notation verwendet:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P ∨ Q und Q ∨ P.
Daher können wir sagen, dass P ∨ Q ? Q ∨ P.
Genauso wie wir P ∧ Q beweisen können? Q ∧ P.
Assoziatives Recht:
Die drei Aussagen werden verwendet, um das Assoziativgesetz zu zeigen. Wenn wir nach diesem Gesetz drei Aussagen mit Hilfe von Klammern durch das Symbol ∧(und) oder ∨(oder) kombinieren, dann ist die resultierende Aussage dieselbe, auch wenn wir die Reihenfolge der Klammern ändern. Das bedeutet, dass dieses Gesetz unabhängig von Gruppierungen oder Vereinigungen ist. Angenommen, es gibt drei Aussagen P, Q und R. Die Aussage dieser Aussagen ist falsch, wenn P, Q und R falsch sind. In allen anderen Fällen wird es wahr sein. Zur Angabe des Assoziativgesetzes wird folgende Notation verwendet:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P ∨ (Q ∨ R) und (P ∨ Q) ∨ R.
Daher können wir sagen, dass P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Dasselbe, wie wir P ∧ (Q ∧ R) beweisen können? (P ∧ Q) ∧ R
Verteilungsrecht:
Die drei Aussagen werden verwendet, um das Verteilungsgesetz zu zeigen. Wenn wir nach diesem Gesetz eine Aussage mit dem Symbol ∨(OR) mit den beiden anderen Aussagen kombinieren, die mit dem Symbol ∧(AND) verbunden sind, ist die resultierende Aussage dieselbe, auch wenn wir die Aussagen separat mit kombinieren das Symbol ∨(OR) und das Kombinieren der verknüpften Aussagen mit ∧(AND). Angenommen, es gibt drei Aussagen P, Q und R. Die folgende Notation wird verwendet, um das Verteilungsgesetz anzuzeigen:
ändern Spalte Oracle hinzufügen
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P ∨ (Q ∧ R) und (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Daher können wir sagen, dass P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Genauso wie wir P ∧ (Q ∨ R) beweisen können? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
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Identitätsrecht:
Eine einzige Aussage wird verwendet, um das Identitätsgesetz darzustellen. Wenn wir nach diesem Gesetz eine Aussage und einen wahren Wert mit dem Symbol ∨(oder) kombinieren, wird der wahre Wert erzeugt. Wenn wir eine Aussage und einen Falschwert mit dem Symbol ∧(und) kombinieren, dann wird die Aussage selbst generiert. Ebenso werden wir dies mit den entgegengesetzten Symbolen tun. Das heißt, wenn wir eine Aussage und einen wahren Wert mit dem Symbol ∧(und) kombinieren, dann wird die Aussage selbst generiert, und wenn wir eine Aussage und einen falschen Wert mit dem Symbol ∨(oder) kombinieren, dann wird die Aussage generiert Falscher Wert. Angenommen, es gibt eine zusammengesetzte Aussage P, einen wahren Wert T und einen falschen Wert F. Die folgende Notation wird verwendet, um das Identitätsgesetz anzuzeigen:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Diese Tabelle enthält dieselben Wahrheitswerte in den Spalten von P ∨ T und T. Daher können wir sagen, dass P ∨ T = T. In ähnlicher Weise enthält diese Tabelle auch dieselben Wahrheitswerte in den Spalten von P ∨ F und P. Daher wir können sagen, dass P ∨ F = P.
Genauso wie wir P ∧ T beweisen können? P und P ∧ F ? F
Komplementgesetz:
Im Komplementgesetz wird eine Single-Anweisung verwendet. Gemäß diesem Gesetz wird, wenn wir eine Aussage mit ihrer Komplementäraussage mit dem Symbol ∨(oder) kombinieren, der Wert Wahr erzeugt, und wenn wir diese Aussagen mit dem Symbol ∧(und) kombinieren, dann wird der Wert Falsch erzeugt Wert. Wenn wir einen wahren Wert negieren, wird ein falscher Wert generiert. Wenn wir einen falschen Wert negieren, wird ein wahrer Wert generiert.
Zur Angabe des Komplementgesetzes wird folgende Notation verwendet:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Diese Tabelle enthält dieselben Wahrheitswerte in den Spalten von P ∨ ¬P und T. Daher können wir sagen, dass P ∨ ¬P = T. In ähnlicher Weise enthält diese Tabelle auch dieselben Wahrheitswerte in den Spalten von P ∧ ¬P und F. Daher können wir sagen, dass P ∧ ¬P = F.
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten von ¬T und F. Daher können wir sagen, dass ¬T = F. Ebenso enthält diese Tabelle die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten von ¬F und T. Daher können wir das sagen ¬F = T.
Doppelnegationsgesetz oder Involutionsgesetz
Eine einzelne Aussage wird verwendet, um das Gesetz der doppelten Negation zu zeigen. Nach diesem Gesetz ist die resultierende Aussage die Aussage selbst, wenn wir eine negierte Aussage negieren. Angenommen, es gibt eine Aussage P und eine Negationsaussage ¬P. Die folgende Notation wird verwendet, um das Doppelnegationsgesetz anzuzeigen:
¬(¬P) ? P
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten ¬(¬P) und P. Daher können wir sagen, dass ¬(¬P) = P.
Aus Morgans Gesetz:
Die beiden Aussagen werden verwendet, um das Gesetz von De Morgan zu zeigen. Wenn wir nach diesem Gesetz zwei Aussagen mit dem Symbol ∧(AND) kombinieren und dann die Negation dieser kombinierten Aussagen durchführen, ist die resultierende Aussage dieselbe, auch wenn wir die Negation beider Aussagen separat mit dem Symbol ∨( kombinieren ODER). Angenommen, es gibt zwei zusammengesetzte Aussagen, P und Q. Die folgende Notation wird verwendet, um das Gesetz von De Morgan anzuzeigen:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | Q | ¬P | ¬F | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten ¬(P ∧ Q) und ¬ P ∨ ¬Q. Daher können wir sagen, dass ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Dasselbe, wie wir ¬(P ∨ Q) beweisen können? ¬P ∧ ¬Q
Absorptionsgesetz:
Die beiden Aussagen werden verwendet, um das Absorptionsgesetz zu zeigen. Wenn wir nach diesem Gesetz eine Aussage P durch das Symbol ∨(OR) mit derselben Aussage P und einer anderen Aussage Q kombinieren, die mit dem Symbol ∧(AND) verbunden sind, dann ist die resultierende Aussage die erste Aussage P. Das gleiche Ergebnis wird erzielt, wenn wir die Symbole vertauschen. Angenommen, es gibt zwei zusammengesetzte Aussagen, P und Q. Die folgende Notation wird verwendet, um das Absorptionsgesetz anzuzeigen:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
Die Wahrheitstabelle für diese Notationen wird wie folgt beschrieben:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P ∨ (P ∧ Q) und P. Daher können wir sagen, dass P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Ebenso enthält diese Tabelle auch die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P ∧ (P ∨ Q) und P. Daher können wir sagen, dass P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Beispiele für logische Äquivalenz
Es gibt verschiedene Beispiele für logische Äquivalenz. Einige davon werden wie folgt beschrieben:
Beispiel 1: In diesem Beispiel ermitteln wir die Äquivalenzeigenschaft für eine Aussage, die wie folgt beschrieben wird:
p → q ? ¬p ∨ q
Lösung:
Wir werden dies mit Hilfe einer Wahrheitstabelle beweisen, die wie folgt beschrieben wird:
| P | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten p → q und ¬p ∨ q. Daher können wir sagen, dass p → q ? ¬p ∨ q.
Beispiel 2: In diesem Beispiel ermitteln wir die Äquivalenzeigenschaft für eine Aussage, die wie folgt beschrieben wird:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Lösung:
| P | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Diese Tabelle enthält die gleichen Wahrheitswerte in den Spalten P ↔ Q und (P → Q) ∧ (Q → P). Daher können wir sagen, dass P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Beispiel 3: In diesem Beispiel verwenden wir die entsprechende Eigenschaft, um die folgende Aussage zu beweisen:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Lösung:
Um dies zu beweisen, werden wir einige der oben beschriebenen Gesetze verwenden und aus diesem Gesetz erhalten wir:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Jetzt verwenden wir das Kommutativgesetz in der obigen Gleichung und erhalten Folgendes:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Jetzt verwenden wir das Distributivgesetz in dieser Gleichung und erhalten Folgendes:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Jetzt verwenden wir das Distributivgesetz in dieser Gleichung und erhalten Folgendes:
javatierbar
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Nun verwenden wir das Komplementgesetz in dieser Gleichung und erhalten Folgendes:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Jetzt verwenden wir das Identitätsgesetz und erhalten Folgendes:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Nun verwenden wir das Kommutativgesetz in dieser Gleichung und erhalten Folgendes:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Schließlich wird Gleichung (1) zu Folgendem:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Abschließend können wir sagen, dass die Gleichung (1) zu p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)