Exponentengesetze: Exponenten sind eine Möglichkeit, sehr große oder sehr kleine Zahlen darzustellen. Exponentenregeln sind die Gesetze der Exponenten, die zur Lösung verschiedener Exponentenprobleme verwendet werden. Die Multiplikation, Division und andere Operationen an Exponenten können mithilfe dieser Exponentengesetze durchgeführt werden. Es gibt verschiedene Exponentenregeln, die in der Mathematik auch als Exponentengesetze bezeichnet werden. Alle diese Gesetze werden im folgenden Artikel hinzugefügt.

In diesem Artikel erfahren wir mehr darüber Exponentendefinition, Exponentengesetze, Beispiele für Exponentengesetze und andere im Detail.

Inhaltsverzeichnis

• Exponentendefinition
• Was sind Exponentenregeln?
• Was sind Exponentengesetze?
• Potenzproduktregel
• Potenzquotientenregel
• Macht einer Machtregel
• Macht einer Produktregel
• Potenz einer Quotientenregel
• Null-Power-Regel
• Negative Exponentenregel
• Regel für gebrochene Exponenten (Gesetze von Exponenten mit Brüchen)
• Andere Exponentenregeln
• Gesetze der Exponenten und Logarithmen
• Tabelle: Exponentengesetze
• Beispiele für Exponentenregeln

Exponentendefinition

Wenn eine Zahl auf eine bestimmte Potenz erhöht wird, wird die Potenz der Basiszahl als Exponent bezeichnet. Exponent bedeutet einfach, dass eine Basiszahl mit sich selbst multipliziert wird, die der darauf angegebenen Potenz entspricht.

Wenn wir zum Beispiel P sagen^Ndas bedeutet, dass P mehrmals mit sich selbst „n“ multipliziert wird. Es kann als P×P×P×P×P×P erweitert werden. . . n mal.

Sagen wir, 5³= 5 × 5 × 5 = 125; Die Gleichung wird als fünf hoch drei gelesen.

Wenn der Exponent 2 ist, wird er auch als quadriert bezeichnet, während er bei einem Exponenten von 3 als kubisch bezeichnet wird. Bei der Berechnung der Fläche wird der Begriff „Quadrat“ verwendet, da wir die Länge (m/cm) mit dem Zweifachen multiplizieren, und im Fall des Volumens wird der Begriff „gewürfelt“ verwendet, da wir die Länge (Einheit = m/cm) mit dem Dreifachen multiplizieren mal.

Exponent hilft uns, sowohl sehr große als auch sehr kleine Mengen zu schreiben. Wir können zum Beispiel große Größen wie die Masse der Erde schreiben, die 5,97219×10 beträgt²⁴kg sowie sehr kleine Größen wie die Masse des Elektrons, die 9,1×10 beträgt^-31kg.

Lesen Sie im Detail: Exponenten: Definition, Formeln, Gesetze und Beispiele

Was sind Exponentenregeln?

Exponentenregeln sind die Regeln, die zur Lösung von Exponentenproblemen verwendet werden. Angenommen, wir erhalten zwei Exponenten a^Mund ein^Nund wir müssen das Produkt der beiden Exponenten finden, dann verwenden wir das Konzept der Exponentenregel oder der Produkt-von-Exponenten-Regel, d. h.

A ^M × a ^N = a ^(m+n)

Zur Lösung von Exponentenproblemen werden verschiedene andere Regeln verwendet. Diese Regeln werden als Exponentenregel bezeichnet.

Diese Richtlinien helfen bei der Vereinfachung von Ausdrücken mit Dezimalexponenten, Brüchen, irrationalen Zahlen und negativen ganzen Zahlen.

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Was sind Exponentengesetze?

Exponentengesetze sind die Regeln, die uns helfen, arithmetische Probleme auf einfache Weise zu lösen. Da wir manchmal große Exponenten erhalten können, die die Multiplikation langwierig machen, können wir die Probleme mithilfe der Exponentengesetze einfach und zeitgebunden lösen.

Es folgen die sieben Gesetze der Exponenten dass wir wissen müssen, um arithmetische Probleme mit Exponenten zu lösen:

• Potenzproduktregel
• Potenzquotientenregel
• Macht einer Machtregel
• Macht einer Machtregel
• Potenz einer Quotientenregel
• Null-Power-Regel
• Negative Exponentenregel

Potenzproduktregel

Im Produkt der Potenzen Regel Wenn zwei Zahlen mit derselben Basis und unterschiedlichen Exponenten multipliziert werden, werden Exponenten der Basis addiert, um das Produkt zu ermitteln. Es wird als x dargestellt^M×x^N= x^(m+n)

Beispiel: 5 ² ×5 ³ =?

Behalten Sie die gleichen Basiswerte bei, da beide fünf sind, und addieren Sie dann die Exponenten (2+3).

5²×5³= 5²³= 5⁵

Um die Antwort zu erhalten, multiplizieren Sie fünf mit sich selbst fünfmal.

5⁵= 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3125

Potenzquotientenregel

In Potenzquotient Regel Wenn zwei Zahlen mit gleichen Basen und unterschiedlichen Exponenten dividiert werden, werden die Exponenten der Basis subtrahiert, um den Quotienten zu ermitteln. Es wird als x dargestellt^A÷x^B= x^(ab)

Beispiel: 4 ⁵ ÷ 4 ³ =?

Lösung:

4⁵÷ 4³=?

Da beide Basen in dieser Gleichung vier sind, bleiben sie gleich. Subtrahieren Sie dann mithilfe der Exponenten den Divisor vom Dividenden.

4⁵÷ 4³= 4^5-3= 4²

Vereinfachen Sie abschließend die Gleichung, falls erforderlich.

4²= 4 × 4 = 16

Macht einer Machtregel

In Macht einer Macht Regel Wenn eine Zahl, die auf eine bestimmte Potenz erhöht wurde, erneut auf eine bestimmte Potenz erhöht wird, werden die beiden Potenzen multipliziert. Es wird dargestellt als (x^M)^N= x^m×n

Beispiel: (2 ³ ) ² =?

Lösung:

(2³)²=?

Multiplizieren Sie die Exponenten in Gleichungen wie der obigen, während Sie die Basis konstant halten.

2^3×2= 2⁶

Jedoch , müssen wir bedenken, dass ((2^3)^2 ~ eq~2^{3^2} als (2³)²= 2⁶aber 2^{3^2} = 2^9, da nur der Exponent 3 wieder zum Exponenten 2 erhöht wird und nicht die ganze Zahl inklusive Basis.

Macht einer Produktregel

In Leistung eines Produkts Regel , werden zwei verschiedene Basen mit der gleichen Potenz multipliziert, dann werden die Basen multipliziert und das Produkt der Basen erhält eine gemeinsame Potenz. Es wird dargestellt als (x^M× und^M) = (xy)^M. Wenn die gegebene Frage (xy) ist^MVerteilen Sie dann den Exponenten auf jeden Teil der Basis, wenn Sie eine beliebige Basis mit einem Exponenten multiplizieren, also (xy)^M= (x^M× und^M)

Beispiel: 2 ³ ×3 ³ =?

Lösung:

Da die Basen unterschiedlich sind und die Potenz gleich ist, multiplizieren Sie die Basen und erhöhen Sie sie auf die gemeinsame Potenz.

Daher 2³×3³=(23)³= 6³= 216

Beispiel: (2×3) ³ =?

Lösung:

In diesem Fall teilen Sie die gleiche Leistung auf einzelne Basen auf.

Daher ist (2×3)³= 2³×3³= 8×27 = 216

Potenz einer Quotientenregel

In Potenz einer Quotientenregel Wenn man zwei verschiedene Basen gleicher Potenz dividiert, erhält man als Ergebnis den Quotienten der gleich potenzierten Basen. Dies wird als x dargestellt^M/Und^M= (x/y)^M. In diesem Fall gilt auch das Umgekehrte, d. h. wenn sowohl Zähler als auch Nenner gleich potenziert werden, wird die Potenz individuell auf Zähler und Nenner verteilt. Es kann dargestellt werden als (x/y)^M= x^M/Und^M

Beispiel: Vereinfachen Sie 6 ⁴ /3 ⁴ .

Lösung:

Ermitteln Sie in diesem Fall den Quotienten der Basen und erhöhen Sie die gemeinsame Potenz darauf.

6⁴/3⁴= (6/3)⁴= 2⁴= 16

Beispiel: Vereinfachen (6/3) ⁴ .

Lösung:

Verteilen Sie in diesem Fall die Potenz 4 sowohl auf den Zähler als auch auf den Nenner.

(6/3)⁴= 6⁴/3⁴= (6×6×6×6)/(3×3×3×3) = 2×2×2×2 = 16

Null-Power-Regel

In Null-Power-Regel Wenn eine Basis auf die Potenz Null erhöht wird, ist das Ergebnis 1. Dies kann als x dargestellt werden⁰= 1. Die Nullleistungsregel kann aus der folgenden Beschreibung verstanden werden

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Angenommen, wir müssen x beweisen⁰= 1.

X⁰= x^n-n, wobei (0 = n-n)

Aus der Potenzquotientenregel wissen wir, dass wir bei gleicher Basis die Exponenten subtrahieren und gleichzeitig den Quotienten ermitteln. Das Gegenteil der Potenzquotientenregel gilt ebenfalls.

⇒ x^n-n= x^N/X^N= 1

Daher x⁰= 1.

Betrachten wir ein Beispiel zum besseren Verständnis des Gesetzes.

Beispiel: (1001) ⁰ =?

Gemäß der Nullpotenzregel ergibt jede Zahl, die auf die Potenz Null erhöht wird, den Wert 1.

(1001)⁰= 1

Negative Exponentenregel

In Negative Exponentenregel Wenn eine Zahl ins Negative erhöht wird, wandeln wir die Basis in ihren Kehrwert um und die Potenz wird ins Positive geändert. Das Umgekehrte gilt auch, d. h. wenn der Exponent positiv ist und die Basis in ihren Kehrwert umgewandelt wird, wird der Exponent in den negativen Wert geändert. Es kann dargestellt werden als (x/y)^-M= (y/x)^M

Beispiel: (2/3) ^-2 =?

Lösung:

Da der Exponent negativ ist, wird die Basis in ihren Kehrwert umgewandelt.

23)^-2= (3/2)²= 3²/2²= 9/4

Regel für gebrochene Exponenten (Gesetze von Exponenten mit Brüchen)

Die Bruchexponentenregel ist eine Regel, die zum Lösen von Bruchexponenten oder Exponenten in Bruchform verwendet wird. Ein Exponent in gebrochener Form wird als a geschrieben^1/nund wird als n-te Wurzel von a gelesen. Es wird auch dargestellt als:

A ^1/n = ^N √(a)

Hier ist a die Basis des Exponenten und 1/n der Exponent in gebrochener Form.

Vereinfachen Sie beispielsweise (8) ^1/3

= (8)^1/3= ∛(8)

= ∛(2×2×2)

= 2

Andere Exponentenregeln

Abgesehen von den oben genannten sieben Exponentenregeln sind im Folgenden einige weitere Exponentenregeln aufgeführt, die wir bei der Lösung der Exponentenfragen berücksichtigen müssen.

• Wenn eine negative Zahl gerade potenziert wird, ist das Ergebnis positiv, und wenn eine negative Zahl ungeradzahlig potenziert wird, ist das Ergebnis immer negativ. Zum Beispiel (-2)⁴= 16 und (-2)⁵= -32.
• Wenn 1 auf eine beliebige Potenz erhöht wird, ist das Ergebnis immer 1. Beispiel: 1³= 1, 1¹⁰⁰¹= 1.
• Wenn eine beliebige Zahl außer 1 ins Unendliche potenziert wird, ist das Ergebnis unendlich. 2^∞= ∞

Gesetze der Exponenten und Logarithmen

Die Exponentengesetze und die Logarithmusregeln sind zwei Regeln, die zur Lösung verschiedener mathematischer Probleme verwendet werden. Diese Regeln sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Tabelle: Exponentengesetze

Die oben genannten 7 Exponentengesetze sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

Die Leute lesen auch:

• Negative Exponenten
• Wie man Exponenten multipliziert und dividiert
• Addieren und Subtrahieren von Exponenten
• Exponentengesetze für reelle Zahlen

Beispiele für Exponentenregeln

Beispiel 1: Was ist die Vereinfachung von 7 ³ ×7 ¹ ?

Lösung:

7³×7¹= 7³⁺¹= 7⁴

Beispiel 2: Vereinfachen Sie und ermitteln Sie den Wert 10 ² /5 ² .

Lösung:

Wir können den gegebenen Ausdruck schreiben als;

10²/5²= (10/5)²= 2²= 4

Beispiel 3: Finden Sie den Wert von (256) ^3/4

Lösung:

(256)^3/4= (4⁴)^3/4= 4^4×(3/4)= 4³= 64

Beispiel 4: Ermitteln Sie den Wert 7 ^-3

Lösung:

7^-3= (1/7)³= 1³/7³= 1/343

Beispiel 5: Ermitteln Sie den Wert von x, wenn 125 = 25/5 ^X

Lösung:

Wir haben 125 = 25/5^X

Was ist Verzeichnisübermittlung?

⇒ 5³= 5²/5^X

⇒ 5³= 5^2-x

Jetzt ist die Größe auf beiden Seiten gleich und die Basen sind ebenfalls gleich, daher sind auch die Exponenten gleich.

⇒ 3 = 2-x

⇒ x = 2-3 = -1

Überprüfen Sie auch:

• Exponentielle Gleichungen
• Irrationale Zahlen

Exponentenregeln – FAQs

Was sind Exponenten in der Mathematik?

Der Exponent bezieht sich auf die Potenz einer Zahl, was im Grunde bedeutet, dass die Zahl mit sich selbst so oft multipliziert wird, wie sie der Potenz entspricht.

Was ist die Potenzproduktregel?

Die Produkt-of-Potenz-Regel besagt, dass das Produkt der Zahl die Potenz hat, die der Summe der Potenzen beider Zahlen entspricht, wenn zwei Zahlen mit derselben Basis auf unterschiedlich erhöht werden. Es wird als x angegeben^M× x^N= x^(m+n)

Was ist die Macht-der-Macht-Regel?

Die Potenzregel besagt, dass die beiden Potenzen multipliziert werden, wenn eine Zahl auf eine bestimmte Potenz erhöht wird und die ganze Zahl einschließlich der ersten Potenz erneut auf eine bestimmte Potenz erhöht wird.

Was ist die Nullexponentenregel?

Die Nullexponentenregel besagt, dass, wenn eine beliebige Zahl mit 0 potenziert wird, das Ergebnis 1 ist. Sie wird als X angegeben⁰= 1.

Was ist der Wert von 0?⁰?

Der Wert 0⁰ist in der Mathematik nicht definiert.

Was sind die 8 Exponentengesetze?

Die 8 Exponentengesetze sind:

• Produktrecht: a^M× a^N= a^m+n
• Quotientengesetz: a^M/A^N= a^m-n
• Nullexponentengesetz: a⁰= 1
• Identitätsexponentengesetz: a¹= a
• Macht einer Macht: (a^M)^N= a^mn
• Leistung eines Produkts: (ab)^M= a^MB^M
• Potenz eines Quotienten: (a/b)^M= a^M/B^M
• Gesetz über negative Exponenten: a^-M= 1/a^M