Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit ist wichtig, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu ermitteln. Wenn bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, 1 ist, ist sie für ein unmögliches Ereignis wahrscheinlich 0. Eine grundlegende Regel in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die mit der Grenzwahrscheinlichkeit und der Grenzwahrscheinlichkeit verbunden ist bedingte Wahrscheinlichkeit wird das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit oder der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz genannt.

Nach mehreren Ereignissen ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten bekannt sein sollte. Der Satz der Gesamtwahrscheinlichkeit ist die Kerngrundlage des Satzes von Baye. In diesem Artikel haben wir wichtige Konzepte im Zusammenhang mit der Gesamtwahrscheinlichkeit besprochen, einschließlich der Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit , Aussagen, Beweise und einige Beispiele.

Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit

Gegeben n sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A1, A2, …Ak, so dass ihre Wahrscheinlichkeitssumme Eins ist und ihre Vereinigung der Ereignisraum E ist, dann ist Ai ∩ Aj= NULL, für alle I ungleich j, und

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeitssatz oder Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit, Ist: Dabei ist B ein beliebiges Ereignis und P(B/Ai) die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Annahme, dass A bereits eingetreten ist.

Beweis des Gesamtwahrscheinlichkeitssatzes

Seien A1, A2, …, Ak disjunkte Ereignisse, die eine Partition des Probenraums bilden, und nehmen wir an, dass P(Ai)> 0, für i = 1, 2, 3….k, so dass:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Dann gilt für jedes Ereignis B:

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Da Schnittmenge und Vereinigung distributiv sind. Daher,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Da alle diese Partitionen disjunkt sind. Also haben wir,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

Das ist der Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten für eine Vereinigung disjunkter Ereignisse. Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Oder nach der Multiplikationsregel,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Hier werden die Ereignisse A und B als unabhängige Ereignisse bezeichnet, wenn P(B|A) = P(B), wobei P(A) nicht gleich Null(0) ist.

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

Dabei ist P(B|A) die bedingte Wahrscheinlichkeit, die die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignis B angibt, wenn Ereignis A bereits eingetreten ist. Somit,

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P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Wenn wir diese obige Regel anwenden, erhalten wir:

Dies ist das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit . Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wird auch als bezeichnet der Gesamtwahrscheinlichkeitssatz oder Gesetz der Alternativen.

Notiz:

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wird verwendet, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht kennen, aber sein Auftreten unter mehreren disjunkten Szenarien und die Wahrscheinlichkeit jedes Szenarios kennen.

Anwendung des Satzes der Gesamtwahrscheinlichkeit

Es wird zur Berechnung des Nenners in verwendet Satz von Bayes . Der Satz von Bayes für n Mengen von Ereignissen ist definiert als:

Lass E₁, UND₂,…, UND_Neine Menge von Ereignissen sein, die dem Probenraum S zugeordnet sind, in dem alle Ereignisse E₁, UND₂,…, UND_Nhaben eine Eintrittswahrscheinlichkeit ungleich Null. Alle Veranstaltungen E₁, UND₂,…, E bilden eine Partition von S. Sei A ein Ereignis aus dem Raum S, für das wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen, dann gilt gemäß dem Satz von Bayes:

SPORT _ich |A) = P(E _ich )P(A|E _ich ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

für k = 1, 2, 3, …., n

Beispiel

1. Wir ziehen zwei Karten aus einem Stapel gemischter Karten mit Ersatzkarten. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte einen König bekommt.

Erläuterung:- Lassen Sie, A – das Ereignis darstellen, bei dem die erste Karte einen König bekommt. B – stellt den Fall dar, dass die erste Karte kein König ist. E – stellt das Ereignis dar, dass die zweite Karte ein König ist. Dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein König ist oder nicht, durch das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wie folgt dargestellt:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Dabei ist P(E) die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein König ist, P(A) die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein König ist, P(E|A) die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein König ist Die erste Karte ist ein König, P(B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte kein König ist, P(E|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte ein König ist, aber die erste gezogene Karte kein König ist. Entsprechend der Frage:

Scrollrad funktioniert nicht

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

Daher,

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

FAQs zum Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit

F.1: Wozu dient die Gesamtwahrscheinlichkeit?

Antwort:

Das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einer beliebigen Anzahl zusammengehöriger Ereignisse zu berechnen. Verwendung des Baye-Theorems zur Aktualisierung der Wahrscheinlichkeit einer Hypothese angesichts neuer Erkenntnisse.

F.2: Ist die Gesamtwahrscheinlichkeit immer 1?

Antwort:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse ist immer 1.

F.3: Kann die Gesamtwahrscheinlichkeit größer als 1 sein?

Antwort:

Nein, die Gesamtwahrscheinlichkeit kann nicht größer als 1 sein.