MITTELPUNKTFORMEL

Die Mittelpunktformel lautet ((X ₁ + x ₂ )/2 und ₁ + und ₂ )/2). Die Koordinaten der beiden Punkte sind (x₁, Und₁) und (x₂, Und₂) und der Mittelpunkt ist ein Punkt, der in der Mitte zwischen diesen beiden Punkten liegt.

Mittelpunkt ist ein grundlegendes Konzept in der Koordinatengeometrie. Es spielt eine entscheidende Rolle bei der Ermittlung des Mittelpunkts eines Liniensegments. Es gibt Fälle in der Koordinatengeometrie, in denen wir den Mittelpunkt zweier gegebener Punkte oder den Mittelpunkt eines Liniensegments kennen müssen. In diesem Fall verwenden wir die Mittelpunktformel, da sie eine einfache und effektive Möglichkeit ist, den Mittelpunkt eines bestimmten Liniensegments zu berechnen, unabhängig von seiner Länge oder Position auf der Koordinatenebene.

Wir haben uns ausführlich mit der Mittelpunktformel und ihrer Ableitung anhand der Ähnlichkeit von Dreiecken befasst. Darüber hinaus haben wir die gelösten Beispiele zur Mid Point Formula kuratiert.

Mittelpunktdefinition

Der Punkt, der die Linie genau in zwei gleiche Hälften teilt, ist der Mittelpunkt der Linie. Mit anderen Worten: Das Verhältnis der beiden Hälften der Geraden, in die der Mittelpunkt sie teilt, beträgt 1:1.

Mittelpunkt der Linie

Formel für den Mittelpunkt einer Linie

Für ein Liniensegment AB in kartesischen Koordinaten, wobei die x-Achsenkoordinate von Punkt A x ist₁und die y-Achsenkoordinate von Punkt A ist y₁und ähnlich ist die x-Achsen-Koordinate von Punkt B x₂und die y-Achsenkoordinate von Punkt B ist y_2,Der Mittelpunkt der Linie wird durch (x) gegeben_M, Und_M).

Die Formel für den Mittelpunkt (x_M, Und_M) Ist:

C++-String-Split

Mittelpunktformel

Ableitung der Mittelpunktformel

Sei P(x₁,Und₁) und Q(x₂,Und₂) seien die beiden Enden einer gegebenen Geraden in einer Koordinatenebene, und R(x,y) sei der Punkt auf dieser Geraden, der PQ im Verhältnis m teilt₁:M₂so dass

PR/RQ = m₁/M₂. . .(1)

Ableitung der Mittelpunktformel

Zeichnen Sie die Linien PM, QN und RL senkrecht zur x-Achse und zeichnen Sie durch R eine gerade Linie parallel zur x-Achse, um MP bei S und NQ bei T zu treffen.

Aus der Abbildung können wir daher sagen:

SR = ML = OL – OM = x – x₁. . . (2)

RT = LN = ON – Ol = x₂- X . . . (3)

PS = MS – MP = LR – MP = y – y₁. . . (4)

TQ = NQ – NT = NQ – LR = y₂- Und . . . (5)

Jetzt Dreieck ∆ SPR ähnelt einem Dreieck ∆TQR .

Daher,

SR/RT = PR/RQ

Durch die Verwendung der Gleichungen 2, 3 und 1 wissen wir:

x – x₁/ X₂– x = m₁/ M₂

⇒ m₂x – m₂X₁= m₁X₂- M₁X

⇒ m₁x + m₂x = m₁X₂+ m₂X₁

⇒ (m₁+ m₂)x = m₁X₂+ m₂X₁

⇒ x = (m₁X₂+ m₂X₁) / (M₁+ m₂)

Jetzt Dreieck ∆ SPR ähnelt dem Dreieck ∆ TQR,

Daher,

PS/TQ = PR/RQ

Durch die Verwendung der Gleichungen 4, 5 und 1 wissen wir:

und und₁/ Und₂– y = m₁/ M₂

⇒ m₂j – m₂Und₁= m₁Und₂- M₁Und

⇒ m₁j + m₂y = m₁Und₂+ m₂Und₁

⇒ (m₁+ m₂)y = m₁Und₂+ m₂Und₁

⇒ y = (m₁Und₂+ m₂Und₁) / (M₁+ m₂)

Daher sind die Koordinaten von R(x,y):

R(x, y) = (m ₁ X ₂ + m ₂ X ₁ ) / (M ₁ + m ₂ ), (M ₁ Und ₂ + m ₂ Und ₁ ) / (M ₁ + m ₂ )

Da wir den Mittelpunkt berechnen mussten, behalten wir die Werte beider m bei₁und M₂als dasselbe, d.h.

Für den Mittelpunkt kennen wir durch die Definition des Mittelpunkts m₁= m₂= 1.

(x, y) = ((1.x₂+ 1.x₁) / (1 + 1), (1.J₂+ 1.J₁) / (1 + 1))

x, y = (x ₂ + x ₁ ) / 2 und ₂ + und ₁ ) / 2

Wie finde ich den Mittelpunkt?

Um die Koordinaten des Mittelpunkts eines bestimmten Liniensegments zu ermitteln, können wir die Mittelpunktformel verwenden, wenn die Endpunkte des Liniensegments angegeben sind. Betrachten Sie dazu das folgende Beispiel.

Beispiel: Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts eines Liniensegments, dessen Endpunkte (5, 6) und (-3, 4) sind.

Lösung:

Wie wir wissen, wird der Mittelpunkt eines Liniensegments durch die Formel angegeben:

Mittelpunkt = ((x₁+x₂)/2 und₁+y₂)/2)

wo (x₁, Und₁) und (x₂, Und₂) sind die Koordinaten der Endpunkte des Liniensegments.

Mittelpunkt = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)

⇒ Mittelpunkt = (2/2, 10/2)

⇒ Mittelpunkt = (1, 5)

Daher sind die Koordinaten des Mittelpunkts des Liniensegments (1, 5).

Es gibt ähnliche Formeln wie die Mittelpunktformel, die wie folgt lauten:

Abschnittsformel
Schwerpunktformel

Abschnittsformel

Abschnittsformel wird verwendet, um die Koordinate des Punktes zu finden, der das gegebene Liniensegment im gewünschten Verhältnis teilt. Nehmen wir an, die Endpunkte eines Liniensegments seien A und B mit Koordinaten (X ₁ , Und ₁ ) Und (X ₂ , Und ₂ ) , und P sei der Punkt, der das Liniensegment teilt, das die Linie AB in m:n verbindet. Dann ist die Koordinate von P gegeben durch:

P(x, y) = [(mx ₂ + nx ₁ )/(m+n) , (my ₂ + die ₁ )/(m+n)]

Schwerpunktformel

Die Schwerpunktformel wird verwendet, um den Mittelpunkt von Polygonen zu ermitteln, und lautet mathematisch für Dreiecke und Vierecke wie folgt:

Schwerpunkt einer Dreiecksformel

Die Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks mit Eckpunkten (x₁, Und₁), (X₂, Und₂) und (x₃, Und₃) Sind:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ )/3, (und ₁ + und ₂ + und ₃ )/3)

Schwerpunkt des Dreiecks

Schwerpunkt einer viereckigen Formel

Die Koordinaten des Schwerpunkts eines Vierecks mit Eckpunkten (x₁, Und₁), (X₂, Und₂), (X₃, Und₃) und (x₄, Und₄) Sind:

C(x, y) = ((x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ )/4, (und ₁ + und ₂ + und ₃ + und ₄ )/4)

Schwerpunkt des Vierecks

Gelöste Fragen zur Mittelwertformel

Frage 1: Was ist der Mittelpunkt des Liniensegments AB, bei dem Punkt A bei (6,8) und Punkt B bei (3,1) liegt?

Lösung:

Der Mittelpunkt sei M(x_M, Und_M),

X_M= (x₁+ x₂) / 2

X₁= 6, x₂= 3

Also x_M= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Und_M= (und₁+ und₂) / 2

Und₁= 8, und₂= 1

Also, y_M= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5

Daher ist der Mittelpunkt der Linie AB (4.5, 4.5).

Frage 2: Was ist der Mittelpunkt des Liniensegments AB, bei dem Punkt A bei (-6,4) und Punkt B bei (4,2) liegt?

Lösung:

Der Mittelpunkt sei M(x_M, Und_M),

X₁= -6, x₂= 4, und₁= 4, und₂= 2

(X_M, Und_M) = ((x₁+ x₂) / 2 und₁+ und₂) / 2)

(X_M, Und_M) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

(X_M, Und_M) = ((-2)/2, (6)/2)

(X_M, Und_M) = (-1, 3)

Daher ist der Mittelpunkt der Linie AB (-1, 3).

Frage 3: Finden Sie den Wert von p, sodass (–2, 2,5) der Mittelpunkt zwischen (p, 2) und (–1, 3) ist.

Lösung:

Der Mittelpunkt sei M(x_M, Und_M) = (-2, 2,5) wobei,

X₁= -1, x_M= -2

Die Y-Koordinate des Endpunkts ist bereits als 2 bekannt, daher müssen wir nur die X-Koordinate ermitteln

X_M= (x₁+ x₂) / 2

-2 = (-1 + p) / 2

-4 = -1 + p

p = -3

Daher ist der andere Endpunkt der Linie (-3, 2).

Frage 4: Wenn die Koordinaten der Endpunkte eines Liniensegments (3, 4) und (7, 8) sind, ermitteln Sie den Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Liniensegments und dem Punkt (3, 4).

Lösung:

Seien A(3, 4) und B(7, 8) die Endpunkte des gegebenen Liniensegments und C der Mittelpunkt des Liniensegments AB.

Dann verwenden Sie die Mittelpunktformel:

Koordinate von C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)

Distanzformel verwenden

Abstand = √{(x₂- X₁)²+ (und₂- Und₁)²}

⇒ Abstand = √{(3 – 5)²+ (4 – 6)²}

⇒ Abstand =√{(-2)²+ (-2)²}

⇒ Abstand =√8 = 2√2

Daher beträgt der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Liniensegments und Punkt (3, 4) 2√2.

Muss lesen
Distanzformel	Koordinatengeometrie
Satz des Pythagoras	Kartesisches Flugzeug