Um die Negation zu verstehen, verstehen wir zunächst die Aussage, die wie folgt beschrieben wird:
Die Aussage kann als Satz beschrieben werden, der kein Ausruf, Befehl oder Frage ist. Eine Aussage ist nur dann akzeptabel, wenn sie entweder immer falsch oder immer wahr ist. Manchmal möchten wir das Gegenteil einer gegebenen mathematischen Aussage herausfinden. In diesem Fall wird die Negation verwendet. Die Negation einer Aussage kann also als das Gegenteil einer gegebenen Aussage beschrieben werden.
Negation
In der diskreten Mathematik kann Negation als ein Prozess zur Bestimmung des Gegenteils einer gegebenen mathematischen Aussage beschrieben werden. Zum Beispiel: Angenommen, die gegebene Aussage lautet „Christen mag keine Hunde“. Dann wird die Negation dieser Aussage die Aussage sein: „Christen mag Hunde“. Wenn es eine Aussage X gibt, dann ist die Negation dieser Aussage ~X. Zur Darstellung der Negation wird das Symbol „~“ oder „¬“ verwendet. Wenn wir also eine Aussage haben, die wahr ist, dann wird die Negation dieser Aussage falsch sein. Wenn wir dagegen eine Aussage haben, die falsch ist, dann ist die Negation dieser Aussage wahr.
Mit anderen Worten: Negation kann als Ablehnung oder Verleugnung von etwas beschrieben werden. Wenn Ihre Schwester Sie für einen Lügner hält und Sie sagen, dass Sie das nicht tun, ist diese Aussage eine Verneinung. Es kann auch andere Verneinungsaussagen geben wie „Ich töte meine Frau nicht“ und „Ich kenne den Namen dieses Mädchens nicht“. Wenn wir versuchen, die gegenteilige Bedeutung einer bestimmten Aussage zu finden, können wir dies leicht durch das Einfügen einer Negation erreichen. Die Wörter der Verneinung können „nicht“, „nein“ und „nie“ sein. Zum Beispiel , können wir das Gegenteil der Aussage „Ich spiele“ tun, indem wir einfach sagen: „Ich spiele nicht“.
Wenn wir die negierte Aussage negieren, ist die allgemeine Aussage die ursprüngliche Aussage. Wir werden dieses Konzept anhand eines Beispiels verstehen, das wie folgt beschrieben wird:
- Hier gehen wir von der Aussage „Die Bevölkerung Indiens ist sehr groß“ aus, die durch X dargestellt wird.
- Somit lautet die Negation einer gegebenen Aussage „Die Bevölkerung Indiens ist nicht sehr groß“, was durch ~X dargestellt wird.
- Die Negation des oben negierten Satzes lautet „Die Bevölkerung Indiens ist sehr groß“, was durch ~(~X) dargestellt wird.
Damit ist bewiesen, dass die Negation der negierten Aussage die gegebene Originalaussage sein wird.
Regeln, um die Negation der Aussage zu erhalten
Es gibt verschiedene Regeln, um die Negation einer Aussage zu erhalten, die wie folgt beschrieben werden:
Zuerst müssen wir die gegebene Aussage mit dem Wort „nicht“ schreiben. Zum Beispiel , die Multiplikation von 3 und 5 ist 15. Die Negation einer gegebenen Aussage ist „Die Multiplikation von 3 und 5 ist nicht 15“.
Wenn wir solche Arten von Anweisungen haben, die „Alle“ und „Einige“ enthalten, müssen wir entsprechende Modifikationen vornehmen. Zum Beispiel: „Manche Menschen sind nicht religiös.“ Die Negation dieser Aussage lautet: „Alle Menschen sind religiös“.
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Negation von X oder Y
Dazu gehen wir von der Aussage „Wir sind entweder Bania oder Gesund“ aus. Diese Aussage wird falsch sein, wenn wir nicht bania und nicht gesund sein können. Das Gegenteil dieser Aussage ist, nicht Bania und nicht gesund zu sein. Oder wenn wir diese Aussage in Form der Originalaussage umschreiben wollen, dann erhalten wir „Wir sind nicht Bania und nicht gesund“.
Wenn wir die Aussage „Wir sind Bania“ als X und eine andere Aussage „Wir sind gesund“ als Y annehmen, dann ist die Negation von X und Y die Aussage „Nicht X und nicht Y“.
Im Allgemeinen erhalten wir auch die gleiche Aussage, d. h. die Negation von X und Y ist die Aussage „Nicht X und nicht Y“.
Negation von X und Y
Hier nehmen wir auch ein Beispiel, um dies zu verstehen. Dazu gehen wir von der Aussage „Wir sind sowohl Bania als auch Gesund“ aus. Diese Aussage wäre falsch, wenn wir entweder nicht Bania oder nicht gesund wären. Wenn wir eine Aussage „Wir sind Bania“ als X und eine andere Aussage „Wir sind gesund“ als Y annehmen, dann ist die Negation von X und Y die Aussage „Wir sind nicht Bania oder wir sind nicht gesund“ oder „Nicht“. X oder nicht Y'.
Negation von „Wenn X, dann Y“
Wir können eine andere Aussage verwenden, „X und nicht Y“, anstelle der Aussage „Wenn Um dies zu verstehen, nehmen wir ein einfaches Beispiel, das uns helfen wird zu verstehen, warum dies das Richtige ist.
Dazu gehen wir von der Aussage aus: „Wenn wir Bania sind, dann sind wir gesund.“ Diese Aussage wäre falsch, wenn wir bania und nicht gesund sein müssten. Wenn wir eine Aussage „Wir sind Bania“ als X und eine andere Aussage „Wir sind gesund“ als Y annehmen, dann ist die Negation von X und Y (X ⇒ Y) die Aussage „Wir sind Bania“ = X und „Wir sind nicht gesund“ = nicht Y. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Negation von „Wenn X, dann Y“ zu „X und nicht Y“ wird.
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Zum Beispiel: In diesem Beispiel betrachten wir eine Aussage der Mathematik. Wir gehen also von der Aussage aus: „Wenn n gerade ist, dann ist n/2 eine ganze Zahl.“ Wenn wir zeigen wollen, dass diese Aussage falsch ist, dann wollen wir eine gerade ganze Zahl n bestimmen, für die n/2 keine ganze Zahl war. Wir können also sagen, dass die Aussage „n ist gerade und n/2 ist keine ganze Zahl“ das Gegenteil der gegebenen Aussage ist.
Negation von „Für jedes …“, „Es existiert….“
In der diskreten Mathematik verwenden wir manchmal Ausdrücke wie „für jeden“, „für alle“, „für jeden“ und „es existiert“.
Dazu gehen wir von einer Aussage aus: „Für alle ganzen Zahlen n ist entweder n gerade oder ungerade.“ Dieser Satz unterscheidet sich ein wenig von dem anderen, den wir oben gelernt haben. Diese Aussage kann in der Form „Wenn X, dann Y“ beschrieben werden. Die obige Aussage kann wie folgt umformuliert werden: „Wenn n eine ganze Zahl ist, dann ist n entweder gerade oder ungerade.“
Wenn wir das Gegenteil/Falsch dieser Aussage bestimmen oder diese Aussage negieren wollen, müssen wir eine ganze Zahl bestimmen, die weder gerade noch ungerade ist. Es gibt noch andere Möglichkeiten, wie wir diese Aussage beschreiben können, etwa so: „Es existiert eine ganze Zahl n, sodass n nicht gerade und n nicht ungerade ist.“
Wenn wir eine Aussage negieren, die mit den Phrasen „für alle“, „für jeden“ verbunden ist, wird diese Phrase in diesem Fall durch „es existiert“ ersetzt. Wenn wir eine Aussage verneinen, die mit der Phrase „es existiert“ verbunden ist, wird diese Phrase in diesem Fall durch „für alle“, „für alle“ ersetzt.
Beispiel:
In diesem Beispiel betrachten wir die Aussage: „Wenn alle Bania-Leute gesund sind, dann sind alle Punjabi-Leute dünn.“ Um dies zu verstehen, nehmen wir die Aussage „Wenn alle Bania-Leute gesund sind“ als X und eine weitere Aussage „Alle Punjabi-Leute sind dünn“ als Y an. Wir nehmen diese Aussage in der Form „Wenn X, dann Y“ an. . Die Negation dieser Aussage hat also die Form „X und nicht Y“. Wir können also sagen, dass wir Y negieren müssen. Die Negation von Y wird also die Aussage sein: „Es gibt eine Punjabi-Person, die nicht dünn ist.“
Wenn wir diese Aussagen zusammenfassen, erhalten wir „Alle Bania-Leute sind gesund, aber es gibt einen Punjabi-Menschen, der nicht dünn ist“ als Negation von „Wenn alle Bania-Leute gesund sind, dann sind alle Punjabi-Leute dünn.“