N-TE FIBONACCI-ZAHL - TECHCODEVIEW.COM

Eine Zahl gegeben N , drucken n-te Fibonacci-Zahl .

Die Fibonacci-Zahlen sind die Zahlen in der folgenden ganzzahligen Folge: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……..

Beispiele:

Eingabe: n = 1

Ausgabe : 1

Eingabe: n = 9

Ausgabe : 3. 4

Eingabe: n = 10

Ausgabe : 55

Empfohlenes Problem Lösungsproblem [/Tex]mit Saatwerten und F_0 = 0

Und

C++

// Fibonacci Series using Space Optimized Method> #include> using> namespace> std;> int> fib(>int> n)> {> >int> a = 0, b = 1, c, i;> >if> (n == 0)> >return> a;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> }> // Driver code> int> main()> {> >int> n = 9;> >cout << fib(n);> >return> 0;> }> // This code is contributed by Code_Mech>

C

// Fibonacci Series using Space Optimized Method> #include> int> fib(>int> n)> {> >int> a = 0, b = 1, c, i;> >if> (n == 0)> >return> a;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%d'>, fib(n));> >getchar>();> >return> 0;> }>

Java

// Java program for Fibonacci Series using Space> // Optimized Method> public> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >int> a =>0>, b =>1>, c;> >if> (n ==>0>)> >return> a;> >for> (>int> i =>2>; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> >}> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(fib(n));> >}> };> // This code is contributed by Mihir Joshi>

Python3

# Function for nth fibonacci number - Space Optimisation> # Taking 1st two fibonacci numbers as 0 and 1> def> fibonacci(n):> >a>=> 0> >b>=> 1> >if> n <>0>:> >print>(>'Incorrect input'>)> >elif> n>=>=> 0>:> >return> a> >elif> n>=>=> 1>:> >return> b> >else>:> >for> i>in> range>(>2>, n>+>1>):> >c>=> a>+> b> >a>=> b> >b>=> c> >return> b> # Driver Program> print>(fibonacci(>9>))> # This code is contributed by Saket Modi>

C#

// C# program for Fibonacci Series> // using Space Optimized Method> using> System;> namespace> Fib {> public> class> GFG {> >static> int> Fib(>int> n)> >{> >int> a = 0, b = 1, c = 0;> >// To return the first Fibonacci number> >if> (n == 0)> >return> a;> >for> (>int> i = 2; i <= n; i++) {> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> >}> >// Driver function> >public> static> void> Main(>string>[] args)> >{> >int> n = 9;> >Console.Write(>'{0} '>, Fib(n));> >}> }> }> // This code is contributed by Sam007.>

Javascript

> // Javascript program for Fibonacci Series using Space Optimized Method> function> fib(n)> {> >let a = 0, b = 1, c, i;> >if>( n == 0)> >return> a;> >for>(i = 2; i <= n; i++)> >{> >c = a + b;> >a = b;> >b = c;> >}> >return> b;> }> // Driver code> >let n = 9;> > >document.write(fib(n));> // This code is contributed by Mayank Tyagi> >

PHP

 // PHP program for Fibonacci Series  // using Space Optimized Method function fib( $n) {  $a = 0;   $b = 1;   $c;  $i;  if( $n == 0)  return $a;  for($i = 2; $i <= $n; $i++)  {  $c = $a + $b;  $a = $b;  $b = $c;  }  return $b; } // Driver Code $n = 9; echo fib($n); // This code is contributed by anuj_67. ?>>

Ausgabe

34>

Zeitkomplexität: An)
Hilfsraum: O(1)

Rekursionsansatz zum Suchen und Drucken von N-ten Fibonacci-Zahlen:

Mathematisch gesehen wird die Folge Fn der Fibonacci-Zahlen durch die Rekursionsrelation definiert: $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$ mit Saatwerten und Und .

Die N-te Fibonacci-Zahl kann mithilfe der oben gezeigten Wiederholungsbeziehung ermittelt werden:

Wenn N = 0, dann 0 zurückgeben.
Wenn n = 1, sollte 1 zurückgegeben werden.
Für n> 1 sollte F zurückgegeben werden_n-1+ F_n-2

Nachfolgend finden Sie die Umsetzung des oben genannten Ansatzes:

C++

// Fibonacci Series using Recursion> #include> using> namespace> std;> int> fib(>int> n)> {> >if> (n <= 1)> >return> n;> >return> fib(n - 1) + fib(n - 2);> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >cout << n <<>'th Fibonacci Number: '> << fib(n);> >return> 0;> }> // This code is contributed> // by Akanksha Rai>

C

// Fibonacci Series using Recursion> #include> int> fib(>int> n)> {> >if> (n <= 1)> >return> n;> >return> fib(n - 1) + fib(n - 2);> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%dth Fibonacci Number: %d'>, n, fib(n));> >return> 0;> }>

Java

// Fibonacci Series using Recursion> import> java.io.*;> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >if> (n <=>1>)> >return> n;> >return> fib(n ->1>) + fib(n ->2>);> >}> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(> >n +>'th Fibonacci Number: '> + fib(n));> >}> }> /* This code is contributed by Rajat Mishra */>

Python3

# Fibonacci series using recursion> def> fibonacci(n):> >if> n <>=> 1>:> >return> n> >return> fibonacci(n>->1>)>+> fibonacci(n>->2>)> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >n>=> 9> >print>(n,>'th Fibonacci Number: '>)> >print>(fibonacci(n))> ># This code is contributed by Manan Tyagi.>

C#

// C# program for Fibonacci Series> // using Recursion> using> System;> public> class> GFG {> >public> static> int> Fib(>int> n)> >{> >if> (n <= 1) {> >return> n;> >}> >else> {> >return> Fib(n - 1) + Fib(n - 2);> >}> >}> >// driver code> >public> static> void> Main(>string>[] args)> >{> >int> n = 9;> >Console.Write(n +>'th Fibonacci Number: '> + Fib(n));> >}> }> // This code is contributed by Sam007>

Javascript

// Javascript program for Fibonacci Series> // using Recursion> function> Fib(n) {> >if> (n <= 1) {> >return> n;> >}>else> {> >return> Fib(n - 1) + Fib(n - 2);> >}> }> // driver code> let n = 9;> console.log(n +>'th Fibonacci Number: '> + Fib(n));>

PHP

 // PHP program for Fibonacci Series // using Recursion function Fib($n) {  if ($n <= 1) {  return $n;  }  else {  return Fib($n - 1) + Fib($n - 2);  } } // driver code $n = 9; echo $n . 'th Fibonacci Number: ' . Fib($n); // This code is contributed by Sam007 ?>>

Ausgabe

34>

Zeitkomplexität: Exponentiell, da jede Funktion zwei andere Funktionen aufruft.
Komplexität des Hilfsraums: O(n), da die maximale Tiefe des Rekursionsbaums n beträgt.

Dynamischer Programmieransatz zum Suchen und Drucken von N-ten Fibonacci-Zahlen:

Betrachten Sie den Rekursionsbaum für die 5. Fibonacci-Zahl aus dem obigen Ansatz:

 fib(5)   /   fib(4) fib(3)   /  /    fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)  /  /  /   fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)  /  fib(1) fib(0)>

Wenn Sie sehen, wird derselbe Methodenaufruf mehrmals für denselben Wert ausgeführt. Dies kann mit Hilfe der dynamischen Programmierung optimiert werden. Wir können die wiederholte Arbeit des Rekursionsansatzes vermeiden, indem wir die bisher berechneten Fibonacci-Zahlen speichern.

Dynamischer Programmieransatz zum Suchen und Drucken von N-ten Fibonacci-Zahlen:

Nachfolgend finden Sie die Umsetzung des oben genannten Ansatzes:

C++

// C++ program for Fibonacci Series> // using Dynamic Programming> #include> using> namespace> std;> class> GFG {> public>:> >int> fib(>int> n)> >{> >// Declare an array to store> >// Fibonacci numbers.> >// 1 extra to handle> >// case, n = 0> >int> f[n + 2];> >int> i;> >// 0th and 1st number of the> >// series are 0 and 1> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >// Add the previous 2 numbers> >// in the series and store it> >f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];> >}> >return> f[n];> >}> };> // Driver code> int> main()> {> >GFG g;> >int> n = 9;> >cout << g.fib(n);> >return> 0;> }> // This code is contributed by SoumikMondal>

C

// Fibonacci Series using Dynamic Programming> #include> int> fib(>int> n)> {> >/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */> >int> f[n + 2];>// 1 extra to handle case, n = 0> >int> i;> >/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >/* Add the previous 2 numbers in the series> >and store it */> >f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];> >}> >return> f[n];> }> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%d'>, fib(n));> >getchar>();> >return> 0;> }>

Java

// Fibonacci Series using Dynamic Programming> public> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */> >int> f[]> >=>new> int>[n> >+>2>];>// 1 extra to handle case, n = 0> >int> i;> >/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/> >f[>0>] =>0>;> >f[>1>] =>1>;> >for> (i =>2>; i <= n; i++) {> >/* Add the previous 2 numbers in the series> >and store it */> >f[i] = f[i ->1>] + f[i ->2>];> >}> >return> f[n];> >}> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(fib(n));> >}> };> /* This code is contributed by Rajat Mishra */>

Python3

# Fibonacci Series using Dynamic Programming> def> fibonacci(n):> ># Taking 1st two fibonacci numbers as 0 and 1> >f>=> [>0>,>1>]> >for> i>in> range>(>2>, n>+>1>):> >f.append(f[i>->1>]>+> f[i>->2>])> >return> f[n]> print>(fibonacci(>9>))>

C#

// C# program for Fibonacci Series> // using Dynamic Programming> using> System;> class> fibonacci {> >static> int> fib(>int> n)> >{> >// Declare an array to> >// store Fibonacci numbers.> >// 1 extra to handle> >// case, n = 0> >int>[] f =>new> int>[n + 2];> >int> i;> >/* 0th and 1st number of the> >series are 0 and 1 */> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++) {> >/* Add the previous 2 numbers> >in the series and store it */> >f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];> >}> >return> f[n];> >}> >// Driver Code> >public> static> void> Main()> >{> >int> n = 9;> >Console.WriteLine(fib(n));> >}> }> // This code is contributed by anuj_67.>

Javascript

> // Fibonacci Series using Dynamic Programming> >function> fib(n)> >{> >/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */> >let f =>new> Array(n+2);>// 1 extra to handle case, n = 0> >let i;> >/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/> >f[0] = 0;> >f[1] = 1;> >for> (i = 2; i <= n; i++)> >{> >/* Add the previous 2 numbers in the series> >and store it */> >f[i] = f[i-1] + f[i-2];> >}> >return> f[n];> >}> >let n=9;> >document.write(fib(n));> > >// This code is contributed by avanitrachhadiya2155> > >

PHP

 //Fibonacci Series using Dynamic // Programming function fib( $n) {    /* Declare an array to store  Fibonacci numbers. */    // 1 extra to handle case,  // n = 0  $f = array();  $i;    /* 0th and 1st number of the  series are 0 and 1*/  $f[0] = 0;  $f[1] = 1;    for ($i = 2; $i <= $n; $i++)  {    /* Add the previous 2  numbers in the series  and store it */  $f[$i] = $f[$i-1] + $f[$i-2];  }    return $f[$n]; } $n = 9; echo fib($n); // This code is contributed by // anuj_67.  ?>>

Ausgabe

34>

Zeitkomplexität : O(n) für gegebenes n
Hilfsraum : An)

Ansatz zur N-ten Potenz der Matrix zum Finden und Drucken von N-ten Fibonacci-Zahlen

Dieser Ansatz beruht auf der Tatsache, dass wir (n) erhalten, wenn wir die Matrix M = {{1,1},{1,0}} n-mal mit sich selbst multiplizieren (mit anderen Worten: Potenz(M, n) berechnen). +1)te Fibonacci-Zahl als Element in Zeile und Spalte (0, 0) in der resultierenden Matrix.

Wenn n gerade ist, dann ist k = n/2:
Daher ist die N-te Fibonacci-Zahl = F(n) = [2*F(k-1) + F(k)]*F(k)
Wenn n ungerade ist, dann ist k = (n + 1)/2:
Daher ist die N-te Fibonacci-Zahl = F(n) = F(k)*F(k) + F(k-1)*F(k-1)

Wie funktioniert diese Formel?
Die Formel kann aus der Matrixgleichung abgeleitet werden.

$egin{bmatrix}1 & 1 1 & 0 end{bmatrix}^n = egin{bmatrix}F_{n+1} & F_n F_n & F_{n-1} end{bmatrix}$

Wenn wir die Determinante auf beiden Seiten nehmen, erhalten wir (-1)^N= F_n+1F_n-1- F_N²

Darüber hinaus, da A^NA^M= A^n+mFür jede quadratische Matrix A können die folgenden Identitäten abgeleitet werden (sie werden aus zwei verschiedenen Koeffizienten des Matrixprodukts erhalten):
nummeriertes Alphabet

F_MF_N+ F_m-1F_n-1= F_{m+n-1 —————————(1)}

Indem man n = n+1 in Gleichung (1) einsetzt,

F_MF_n+1+ F_m-1F_N= F_{m+n ————————–(2)}

Setzen Sie m = n in Gleichung (1).

F_2n-1= F_N²+ F_n-1²

Einsetzen von m = n in Gleichung (2)

F_2n= (F_n-1+ F_n+1)F_N= (2F_n-1+ F_N)F_N——–

(Indem man Fn+1 = Fn + Fn-1 setzt)

Um die Formel zu beweisen, müssen wir lediglich Folgendes tun

Wenn n gerade ist, können wir k = n/2 setzen
Wenn n ungerade ist, können wir k = (n+1)/2 setzen

Nachfolgend finden Sie die Umsetzung des oben genannten Ansatzes

C++

// Fibonacci Series using Optimized Method> #include> using> namespace> std;> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2]);> void> power(>int> F[2][2],>int> n);> // Function that returns nth Fibonacci number> int> fib(>int> n)> {> >int> F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >if> (n == 0)> >return> 0;> >power(F, n - 1);> >return> F[0][0];> }> // Optimized version of power() in method 4> void> power(>int> F[2][2],>int> n)> {> >if> (n == 0 || n == 1)> >return>;> >int> M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >power(F, n / 2);> >multiply(F, F);> >if> (n % 2 != 0)> >multiply(F, M);> }> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2])> {> >int> x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];> >int> y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];> >int> z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];> >int> w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];> >F[0][0] = x;> >F[0][1] = y;> >F[1][0] = z;> >F[1][1] = w;> }> // Driver code> int> main()> {> >int> n = 9;> >cout << fib(9);> >getchar>();> >return> 0;> }> // This code is contributed by Nidhi_biet>

C

#include> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2]);> void> power(>int> F[2][2],>int> n);> /* function that returns nth Fibonacci number */> int> fib(>int> n)> {> >int> F[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >if> (n == 0)> >return> 0;> >power(F, n - 1);> >return> F[0][0];> }> /* Optimized version of power() in method 4 */> void> power(>int> F[2][2],>int> n)> {> >if> (n == 0 || n == 1)> >return>;> >int> M[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >power(F, n / 2);> >multiply(F, F);> >if> (n % 2 != 0)> >multiply(F, M);> }> void> multiply(>int> F[2][2],>int> M[2][2])> {> >int> x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];> >int> y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];> >int> z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];> >int> w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];> >F[0][0] = x;> >F[0][1] = y;> >F[1][0] = z;> >F[1][1] = w;> }> /* Driver program to test above function */> int> main()> {> >int> n = 9;> >printf>(>'%d'>, fib(9));> >getchar>();> >return> 0;> }>

Java

// Fibonacci Series using Optimized Method> public> class> fibonacci {> >/* function that returns nth Fibonacci number */> >static> int> fib(>int> n)> >{> >int> F[][] =>new> int>[][] { {>1>,>1> }, {>1>,>0> } };> >if> (n ==>0>)> >return> 0>;> >power(F, n ->1>);> >return> F[>0>][>0>];> >}> >static> void> multiply(>int> F[][],>int> M[][])> >{> >int> x = F[>0>][>0>] * M[>0>][>0>] + F[>0>][>1>] * M[>1>][>0>];> >int> y = F[>0>][>0>] * M[>0>][>1>] + F[>0>][>1>] * M[>1>][>1>];> >int> z = F[>1>][>0>] * M[>0>][>0>] + F[>1>][>1>] * M[>1>][>0>];> >int> w = F[>1>][>0>] * M[>0>][>1>] + F[>1>][>1>] * M[>1>][>1>];> >F[>0>][>0>] = x;> >F[>0>][>1>] = y;> >F[>1>][>0>] = z;> >F[>1>][>1>] = w;> >}> >/* Optimized version of power() in method 4 */> >static> void> power(>int> F[][],>int> n)> >{> >if> (n ==>0> || n ==>1>)> >return>;> >int> M[][] =>new> int>[][] { {>1>,>1> }, {>1>,>0> } };> >power(F, n />2>);> >multiply(F, F);> >if> (n %>2> !=>0>)> >multiply(F, M);> >}> >/* Driver program to test above function */> >public> static> void> main(String args[])> >{> >int> n =>9>;> >System.out.println(fib(n));> >}> };> /* This code is contributed by Rajat Mishra */>

Python3

# Fibonacci Series using> # Optimized Method> # function that returns nth> # Fibonacci number> def> fib(n):> >F>=> [[>1>,>1>],> >[>1>,>0>]]> >if> (n>=>=> 0>):> >return> 0> >power(F, n>-> 1>)> >return> F[>0>][>0>]> def> multiply(F, M):> >x>=> (F[>0>][>0>]>*> M[>0>][>0>]>+> >F[>0>][>1>]>*> M[>1>][>0>])> >y>=> (F[>0>][>0>]>*> M[>0>][>1>]>+> >F[>0>][>1>]>*> M[>1>][>1>])> >z>=> (F[>1>][>0>]>*> M[>0>][>0>]>+> >F[>1>][>1>]>*> M[>1>][>0>])> >w>=> (F[>1>][>0>]>*> M[>0>][>1>]>+> >F[>1>][>1>]>*> M[>1>][>1>])> >F[>0>][>0>]>=> x> >F[>0>][>1>]>=> y> >F[>1>][>0>]>=> z> >F[>1>][>1>]>=> w> # Optimized version of> # power() in method 4> def> power(F, n):> >if>(n>=>=> 0> or> n>=>=> 1>):> >return> >M>=> [[>1>,>1>],> >[>1>,>0>]]> >power(F, n>/>/> 2>)> >multiply(F, F)> >if> (n>%> 2> !>=> 0>):> >multiply(F, M)> # Driver Code> if> __name__>=>=> '__main__'>:> >n>=> 9> >print>(fib(n))> # This code is contributed> # by ChitraNayal>

C#

// Fibonacci Series using> // Optimized Method> using> System;> class> GFG {> >/* function that returns> >nth Fibonacci number */> >static> int> fib(>int> n)> >{> >int>[, ] F =>new> int>[, ] { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >if> (n == 0)> >return> 0;> >power(F, n - 1);> >return> F[0, 0];> >}> >static> void> multiply(>int>[, ] F,>int>[, ] M)> >{> >int> x = F[0, 0] * M[0, 0] + F[0, 1] * M[1, 0];> >int> y = F[0, 0] * M[0, 1] + F[0, 1] * M[1, 1];> >int> z = F[1, 0] * M[0, 0] + F[1, 1] * M[1, 0];> >int> w = F[1, 0] * M[0, 1] + F[1, 1] * M[1, 1];> >F[0, 0] = x;> >F[0, 1] = y;> >F[1, 0] = z;> >F[1, 1] = w;> >}> >/* Optimized version of> >power() in method 4 */> >static> void> power(>int>[, ] F,>int> n)> >{> >if> (n == 0 || n == 1)> >return>;> >int>[, ] M =>new> int>[, ] { { 1, 1 }, { 1, 0 } };> >power(F, n / 2);> >multiply(F, F);> >if> (n % 2 != 0)> >multiply(F, M);> >}> >// Driver Code> >public> static> void> Main()> >{> >int> n = 9;> >Console.Write(fib(n));> >}> }> // This code is contributed> // by ChitraNayal>

Javascript

> // Fibonacci Series using Optimized Method> // Function that returns nth Fibonacci number> function> fib(n)> {> >var> F = [ [ 1, 1 ], [ 1, 0 ] ];> >if> (n == 0)> >return> 0;> > >power(F, n - 1);> >return> F[0][0];> }> function> multiply(F, M)> {> >var> x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];> >var> y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];> >var> z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];> >var> w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];> >F[0][0] = x;> >F[0][1] = y;> >F[1][0] = z;> >F[1][1] = w;> }> // Optimized version of power() in method 4 */> function> power(F, n)> > >if> (n == 0> // Driver code> var> n = 9;> document.write(fib(n));> // This code is contributed by gauravrajput1> >

Ausgabe

34>

Zeitkomplexität: O(Log n)
Hilfsraum: O(Log n), wenn wir die Größe des Funktionsaufrufstapels berücksichtigen, andernfalls O(1).

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Große Fibonacci-Zahlen in Java