Eine Periode ist definiert als das Zeitintervall zwischen zwei Zeitpunkten, und eine periodische Funktion ist definiert als eine Funktion, die sich in regelmäßigen Abständen oder Zeiträumen wiederholt. Mit anderen Worten: Eine periodische Funktion ist eine Funktion, deren Werte nach einem bestimmten Zeitintervall wiederkehren. Eine periodische Funktion wird als f(x + p) = f(x) dargestellt, wobei p die Periode der Funktion ist. Sinuswellen, Dreieckswellen, Rechteckwellen und Sägezahnwellen sind einige Beispiele für periodische Funktionen. Nachfolgend finden Sie Diagramme einiger periodischer Funktionen. Wir können beobachten, dass der Graph jeder periodischen Funktion eine Translationssymmetrie aufweist.
Grundperiode einer Funktion
Der Definitionsbereich einer periodischen Funktion umfasst alle reellen Zahlenwerte, während ihr Bereich für ein festes Intervall angegeben ist. Eine periodische Funktion ist eine Funktion, in der es eine positive reelle Zahl P mit f (x + p) = f (x) gibt, wobei alle x reelle Zahlen sind. Die Grundperiode einer Funktion ist der kleinste Wert der positiven reellen Zahl P oder die Periode, in der sich eine Funktion wiederholt.
f(x + P) = f(x)
Wo,
P ist die Periode der Funktion und F ist die periodische Funktion.
Wie bestimmt man die Periode einer Funktion?
- Eine periodische Funktion ist definiert als eine Funktion, die sich in regelmäßigen Abständen oder Perioden wiederholt.
- Es wird als f(x + p) = f(x) dargestellt, wobei p die Periode der Funktion ist, p ∈ R.
- Unter Periode versteht man das Zeitintervall zwischen den beiden Vorkommnissen der Welle.
Perioden trigonometrischer Funktionen
Trigonometrische Funktionen sind periodische Funktionen und die Periode trigonometrischer Funktionen ist wie folgt
- Die Periode von Sin x und Cos x beträgt 14 Uhr .
d.h. sin(x + 2π) = sin x und cos(x + 2π) = cos x
- Die Periode von Tan x und Cot x beträgt Pi.
d.h. tan(x + π) = tan x und cot(x + π) = cot x
- Die Periode von Sec x und Cosec x beträgt 14 Uhr
d.h. sec(x + 2π) = sec x und cosec(x + 2π) = cosec x
Die Periode der Funktion wird als Abstand zwischen den Wiederholungen einer Funktion bezeichnet. Die Periode einer trigonometrischen Funktion ist die Länge eines vollständigen Zyklus. Die Amplitude ist definiert als die maximale Verschiebung eines Teilchens in einer Welle aus dem Gleichgewicht. Vereinfacht ausgedrückt ist es der Abstand zwischen dem höchsten oder niedrigsten Punkt und dem Mittelpunkt im Diagramm einer Funktion. In der Trigonometrie gibt es drei grundlegende Funktionen, nämlich sin, cos und tan, deren Perioden 2π-, 2π- bzw. π-Perioden sind. Der Ausgangspunkt des Graphen jeder trigonometrischen Funktion wird als x = 0 angenommen.
Wenn wir beispielsweise den unten angegebenen Kosinusgraphen betrachten, können wir erkennen, dass der Abstand zwischen zwei Ereignissen 2π beträgt, d. h. die Periode der Kosinusfunktion beträgt 2π. Seine Amplitude beträgt 1.
Kosinusdiagramm
Periodische Formeln
- Wenn p die Periode der periodischen Funktion f (x) ist, dann ist 1/f (x) ebenfalls eine periodische Funktion und hat dieselbe Grundperiode von p wie f(x).
Wenn f (x + p) = f (x),
F (x) = 1/f (x) , Dann F (x + p) = F (x).
- Wenn p die Periode der periodischen Funktion f(x) ist, dann ist f (ax + b), a>0 auch eine periodische Funktion mit der Periode p/|a|.
- Die Periode von Sin (ax + b) und Cos (ax + b) beträgt 2π/|a|.
- Die Periode von Tan (ax + b) und Cot (ax + b) beträgt π/|a|.
- Die Periode von Sec (ax + b) und Cosec (ax + b) beträgt 2π/|a|.
- Wenn p die Periode der periodischen Funktion f(x) ist, dann ist af(x) + b, a>0 auch eine periodische Funktion mit einer Periode von p.
- Die Periode von [a Sin x + b] und [a Cos x + b] beträgt 2π.
- Die Periode von [a Tan x + b] und [a Cot x + b] beträgt π.
- Die Periode von [a Sec x + b] und [a Cosec x + b] beträgt 2π.
Übungsaufgaben basierend auf der periodischen Funktion
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Periode der periodischen Funktion cos(5x + 4).
Lösung:
Gegebene Funktion: cos (5x + 4)
Der Koeffizient von x = a = 5.
Wir wissen das,
Die Periode von cos x beträgt 2π.
Die Periode von cos(5x + 4) beträgt also 2π/ |a| = 2π/5.
Daher beträgt die Periode von cos(5x + 4) 2π/5.
Aufgabe 2: Finden Sie die Periode von f(x) = cot 4x + sin 3x/2.
Terminal Kali Linux
Lösung:
Gegebene periodische Funktion: f(x) = cot 4x + sin 3x/2
Wir wissen das,
Die Periode von cot x beträgt π und die Periode von sin x beträgt 2π.
Die Periode von cot 4x beträgt also π/4.
Die Periode von sin 3x/2 beträgt also 2π/(3/2) = 4π/3.
Die Berechnung der Periode der Funktion f(x) = cot 4x + sin 3x/2 lautet nun:
Periode von f(x) = (LCM von π und 4π)/(HCF von 3 und 4) = 4π/1 = 4π.
Daher beträgt die Periode von cot 4x + sin 3x/2 4π.
Aufgabe 3: Skizzieren Sie den Graphen von y = 3 sin 3x+ 5.
Lösung:
Vorausgesetzt, dass y = 3 sin 3x + 5
Verilog-ParameterDie gegebene Welle hat die Form y = a sin bx + c
Aus der obigen Grafik können wir Folgendes schreiben:
- Periode = 2π/|b| = 2π/3
- Achse: y = 0 [x-Achse]
- Amplitude: 3
- Maximalwert = (3 × 1) + 5 = 8
- Minimalwert = (3 × -1) + 5 = 2
- Domäne: { x : x ∈ R }
- Bereich = [ 8, 2]
Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Periode der gegebenen periodischen Funktion 5 sin(2x + 3).
Lösung:
Gegebene Funktion: 5 sin(2x + 3)
Der Koeffizient von x = a = 2.
Wir wissen das,
Die Periode von cos x beträgt 2π.
Die Periode von 5 sin(2x + 3) beträgt also 2π/ |a| = 2π/2 = π.
Daher ist die Periode von 5 sin(2x + 3) π.
Aufgabe 5: Finden Sie die Periode von f (x) = tan 3x + cos 5x.
Lösung:
Gegebene periodische Funktion: f(x) =tan 3x + cos 6x.
Wir wissen das,
Die Periode von tan x beträgt π und die Periode von cos x beträgt 2π.
Die Periode von tan 3x beträgt also π/3.
Die Periode von cos 6x beträgt also 2π/5.
Die Berechnung der Periode der Funktion f(x) = tan 3x + cos 6x lautet nun:
Periode von f(x) = (LCM von π und 2π)/(HCF von 3 und 5) = 2π/1 = 2π.
Daher beträgt die Periode von f (x) = tan 3x + cos 5x 2π.