Die Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Prädikaten, also Aussagen, die aus Variablen bestehen.

Prädikatenlogik – Definition

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Ein Prädikat ist ein Ausdruck einer oder mehrerer Variablen, die in einem bestimmten Bereich bestimmt werden. Ein Prädikat mit Variablen kann zu einer Aussage gemacht werden, indem man der Variablen entweder einen Wert zuschreibt oder die Variable quantifiziert.

• Betrachten Sie E(x, y) als „x = y“
• Betrachten Sie X(a, b, c) als „a + b + c = 0“
• Betrachten Sie, dass M(x, y) „x ist mit y verheiratet“ bedeutet.

Quantor:

Die Variable der Prädikate wird durch Quantoren quantifiziert. In der Prädikatenlogik gibt es zwei Arten von Quantoren: Existenzquantoren und Universalquantoren.

Existenzquantifikator:

Wenn p(x) eine Aussage über dem Universum U ist, dann wird sie als ∃x p(x) bezeichnet und lautet wie folgt: „Es gibt mindestens einen Wert im Universum der Variablen x, so dass p(x) wahr ist.“ Der Quantor ∃ wird Existenzquantor genannt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen Satz mit einem existenziellen Quantor zu schreiben, d. h.

(∃x∈A)p(x) oder ∃x∈A, so dass p (x) oder (∃x)p(x) oder p(x) für ein x ∈A wahr ist.

Universeller Quantifizierer:

Wenn p(x) eine Aussage über dem Universum U ist, dann wird sie als ∀x,p(x) bezeichnet und lautet: „Für jedes x∈U ist p(x) wahr.“ Der Quantor ∀ wird Universalquantor genannt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen Satz mit einem universellen Quantor zu formulieren.

∀x∈A,p(x) oder p(x), ∀x ∈A Oder ∀x,p(x) oder p(x) gilt für alle x ∈A.

Negation quantifizierter Aussagen:

Wenn wir eine quantifizierte Aussage negieren, d. h. wenn eine universell quantifizierte Aussage negiert wird, erhalten wir eine existentiell quantifizierte Aussage, und wenn eine existentiell quantifizierte Aussage negiert wird, erhalten wir eine universell quantifizierte Aussage.

Die beiden Regeln für die Negation eines quantifizierten Satzes lauten wie folgt. Diese werden auch DeMorgans Gesetz genannt.

Beispiel: Negieren Sie jeden der folgenden Sätze:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Sonne: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Sonne: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

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3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Sonne: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Aussagen mit mehreren Quantoren:

Der Satz mit mehr als einer Variablen kann mit mehreren Quantoren quantifiziert werden. Die mehreren universellen Quantoren können in beliebiger Reihenfolge angeordnet werden, ohne dass sich die Bedeutung des resultierenden Satzes ändert. Außerdem können die mehreren existenziellen Quantoren in beliebiger Reihenfolge angeordnet werden, ohne dass sich die Bedeutung des Satzes ändert.

Der Satz, der sowohl universelle als auch existenzielle Quantoren enthält, kann in der Reihenfolge dieser Quantoren nicht ausgetauscht werden, ohne die Bedeutung des Satzes zu ändern, z. B. bedeutet der Satz ∃x ∀ y p(x,y) „Es existiert ein x, so dass p.“ (x, y) gilt für jedes y.'

Beispiel: Schreiben Sie die Negation für jeden der folgenden Punkte. Bestimmen Sie, ob die resultierende Aussage wahr oder falsch ist. Angenommen, U = R.

1.∀ x ∃ m(x²

Sonne: Negation von ∀ x ∃ m(x²2≧m). Die Bedeutung von ∃ x ∀ m (x²≧m) ist, dass es für ein x existiert, so dass x²≧m, für jedes m. Die Aussage ist wahr, da es ein größeres x gibt, so dass x²≧m, für jedes m.

2. ∃ m∀ x(x²

Sonne: Negation von ∃ m ∀ x (x²2≧m). Die Bedeutung von ∀ m∃x (x²≧m) bedeutet, dass es für jedes m ein x mit x gibt²≧m. Die Aussage ist wahr, da für jedes m ein größeres x existiert, so dass x²≧m.