Bevor wir das Routh-Hurwitz-Kriterium diskutieren, werden wir zunächst das stabile, instabile und marginal stabile System untersuchen.

Stabiles System: Wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung auf dem liegen links die Hälfte der „S“-Ebene, dann wird das System als stabiles System bezeichnet.Etwas stabiles System: Wenn alle Wurzeln des Systems auf der imaginären Achse der S-Ebene liegen, wird das System als marginal stabil bezeichnet.Instabiles System: Wenn alle Wurzeln des Systems auf dem liegen Rechts die Hälfte der S-Ebene, dann spricht man von einem instabilen System.

Erklärung des Routh-Hurwitz-Kriteriums

Das Routh-Hurwitz-Kriterium besagt, dass jedes System genau dann stabil sein kann, wenn alle Wurzeln der ersten Spalte das gleiche Vorzeichen haben und wenn es nicht das gleiche Vorzeichen hat oder es einen Vorzeichenwechsel gibt, dann ändert sich die Anzahl der Vorzeichen in der ersten Spalte ist gleich der Anzahl der Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der rechten Hälfte der S-Ebene, d. h. gleich der Anzahl der Wurzeln mit positiven Realteilen.

Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingungen für Stabilität

Wir müssen einige Bedingungen erfüllen, um ein System stabil zu machen, oder wir können sagen, dass es einige notwendige Bedingungen gibt, um das System stabil zu machen.

Betrachten Sie ein System mit der charakteristischen Gleichung:

1. Alle Koeffizienten der Gleichung sollten das gleiche Vorzeichen haben.
2. Es darf kein Begriff fehlen.

Wenn alle Koeffizienten das gleiche Vorzeichen haben und keine Terme fehlen, können wir nicht garantieren, dass das System stabil ist. Hierfür nutzen wir Routh-Hurwitz-Kriterium um die Stabilität des Systems zu überprüfen. Wenn die oben genannten Bedingungen nicht erfüllt sind, spricht man von einem instabilen System. Dieses Kriterium wird von A. Hurwitz und E.J. angegeben. Routh.

Vorteile des Routh-Hurwitz-Kriteriums

1. Wir können die Stabilität des Systems ermitteln, ohne die Gleichung zu lösen.
2. Wir können die relative Stabilität des Systems leicht bestimmen.
3. Mit dieser Methode können wir den Bereich von K für Stabilität bestimmen.
4. Mit dieser Methode können wir auch den Schnittpunkt der Wurzelortskurve mit einer imaginären Achse bestimmen.

Einschränkungen des Routh-Hurwitz-Kriteriums

1. Dieses Kriterium gilt nur für ein lineares System.
2. Die genaue Position der Pole auf der rechten und linken Hälfte der S-Ebene wird nicht angegeben.
3. Im Fall der charakteristischen Gleichung gilt sie nur für reale Koeffizienten.

Das Routh-Hurwitz-Kriterium

Betrachten Sie das folgende charakteristische Polynom

Java-Datei öffnen

Wenn die Koeffizienten a0, a1, ......................an alle das gleiche Vorzeichen haben und keiner Null ist.

Schritt 1 : Ordnen Sie alle Koeffizienten der obigen Gleichung in zwei Zeilen an:

Schritt 2 : Aus diesen beiden Reihen bilden wir die dritte Reihe:

Schritt 3 : Jetzt bilden wir die vierte Reihe, indem wir die zweite und dritte Reihe verwenden:

Schritt 4 : Wir werden diesen Vorgang der Bildung neuer Zeilen fortsetzen:

Beispiel

Überprüfen Sie die Stabilität des Systems, dessen charakteristische Gleichung gegeben ist durch

s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0 

Lösung

Erhalten Sie den Koeffizientenpfeil wie folgt

Da alle Koeffizienten in der ersten Spalte das gleiche Vorzeichen haben, also positiv sind, hat die gegebene Gleichung keine Wurzeln mit positiven Realteilen; Daher gilt das System als stabil.

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