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Reihenstufenform

Eine Matrix liegt in der Zeilenstufenform vor, wenn sie die folgenden Eigenschaften aufweist:

  • Jede Zeile, die vollständig aus Nullen besteht, befindet sich am unteren Rand der Matrix.
  • Für jede Zeile, die nicht vollständig Nullen enthält, ist der erste Nicht-Null-Eintrag eine 1 (sogenannte führende 1).
  • Bei zwei aufeinanderfolgenden Zeilen (ungleich Null) steht die führende Eins in der höheren Zeile weiter links als die führende Eins in der unteren Zeile.

Bei einer reduzierten Zeilenstaffelform enthält die führende 1 jeder Zeile eine 0 unter und über ihr in dieser Spalte.



Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für eine Zeilenstufenform:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

und reduzierte Reihenstufenform:



egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Jede Matrix kann mithilfe einer Technik namens Gaußsche Eliminierung in eine reduzierte Zeilenstufenform umgewandelt werden. Dies ist besonders nützlich für die Lösung linearer Gleichungssysteme.

Gaußsche Eliminierung

Die Gaußsche Eliminierung ist eine Möglichkeit, eine Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform umzuwandeln. Es kann auch verwendet werden, um eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem zu finden. Die Idee dahinter ist, dass wir einige mathematische Operationen an der Zeile durchführen und so lange fortfahren, bis nur noch eine Variable übrig ist.



Nachfolgend finden Sie einige Operationen, die wir durchführen können:

  • Vertauschen Sie zwei beliebige Zeilen
  • Fügen Sie zwei Reihen zusammen.
  • Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Konstante ungleich Null (d. h. 1/3, -1/5, 2).

Gegeben sei die folgende lineare Gleichung:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

und die erweiterte Matrix oben

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Jetzt müssen wir dies in die Zeilenstufenform umwandeln. Um dies in eine Zeilenstufenform umzuwandeln, müssen wir eine Gaußsche Eliminierung durchführen.

Datum des Typoskripts
  • Zuerst müssen wir 2*r subtrahieren1von r2und 4*r1von r3um die 0 an der ersten Stelle von r zu bekommen2Und R3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • Als nächstes vertauschen wir die Zeilen r2 und r3 und subtrahieren anschließend 5*r2von r3um die zweite 0 in der dritten Reihe zu bekommen.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Jetzt können wir den Wert ableiten Mit von r3,d.h. 10 z =0 ⇾ z=0. Mit Hilfe des Wertes von z = 0 können wir ihn auf r2 setzen, y = 2. Ebenso können wir den Wert von y und z in r setzen1und wir erhalten einen Wert von x=3

Rang der Matrix

Der Rang der Matrix ist die Anzahl der Zeilen ungleich Null in der Zeilenstufenform. Um den Rang zu ermitteln, müssen wir die folgenden Schritte ausführen:

  • Finden Sie die Zeilenstufenform der gegebenen Matrix
  • Zählen Sie die Anzahl der Zeilen ungleich Null.

Nehmen wir eine Beispielmatrix:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Nun reduzieren wir die obige Matrix auf die Zeilenstufenform

egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Hier enthalten nur zwei Zeilen Nicht-Null-Elemente. Daher ist der Rang der Matrix 2.

Implementierung

  • Um eine Matrix in eine reduzierte Zeilenstufenform umzuwandeln, haben wir das Sympy-Paket in Python verwendet. Zuerst müssen wir es installieren.

Python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Ausgabe: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>