Die Vapnik-Chervonenkis-Dimension (VC) ist ein Maß für die Fähigkeit eines Hypothesensatzes, an verschiedene Datensätze anzupassen. Es wurde in den 1970er Jahren von Vladimir Vapnik und Alexey Chervonenkis eingeführt und ist zu einem grundlegenden Konzept in der statistischen Lerntheorie geworden. Die VC-Dimension ist ein Maß für die Komplexität eines Modells und kann uns helfen zu verstehen, wie gut es zu verschiedenen Datensätzen passt.
Sridevi
Die VC-Dimension eines Hypothesensatzes H ist die größte Anzahl von Punkten, die von H zertrümmert werden können. Ein Hypothesensatz H zertrümmert einen Satz von Punkten S, wenn es für jede mögliche Beschriftung der Punkte in S eine Hypothese in H gibt, dass ordnet die Punkte richtig ein. Mit anderen Worten: Eine Hypothesenmenge zerstört eine Menge von Punkten, wenn sie einer möglichen Bezeichnung dieser Punkte entspricht.
Grenzen von VC – Dimension
Die VC-Dimension stellt sowohl Ober- als auch Untergrenzen für die Anzahl der Trainingsbeispiele bereit, die zum Erreichen eines bestimmten Genauigkeitsniveaus erforderlich sind. Die Obergrenze für die Anzahl der Trainingsbeispiele ist in der VC-Dimension logarithmisch, während die Untergrenze linear ist.
Anwendungen von VC – Dimension
Die VC-Dimension hat ein breites Anwendungsspektrum maschinelles Lernen und Statistik. Es wird beispielsweise verwendet, um die Komplexität neuronaler Netze, Support-Vektor-Maschinen und Entscheidungsbäume zu analysieren. Die VC-Dimension kann auch verwendet werden, um neue Lernalgorithmen zu entwerfen, die robust gegenüber Rauschen sind und sich gut auf unsichtbare Daten verallgemeinern lassen.
Die VC-Dimension kann auf komplexere Lernszenarien erweitert werden, beispielsweise auf die Klassifizierung und Regression mehrerer Klassen. Das Konzept der VC-Dimension kann auch auf andere Bereiche der Informatik angewendet werden, beispielsweise auf die Computergeometrie und die Graphentheorie.
Code-Implementierung für VC – Dimension
Die VC-Dimension ist ein theoretisches Konzept, das nicht direkt aus Daten berechnet werden kann. Wir können jedoch die VC-Dimension für einen bestimmten Hypothesensatz abschätzen, indem wir die Anzahl der Punkte zählen, die durch den Satz zerstört werden können. In Python können wir mit diesem Ansatz eine Funktion implementieren, die die VC-Dimension eines bestimmten Hypothesensatzes berechnet.
Die Funktion verwendet einen Hypothesensatz als Eingabe und berechnet die VC-Dimension mithilfe des Brute-Force-Ansatzes, bei dem alle möglichen Kombinationen von Punkten und Beschriftungen überprüft werden. Es verwendet das Modul itertools, um alle möglichen Kombinationen von Punkten und Beschriftungen zu generieren, und prüft dann, ob der Hypothesensatz jede Kombination zerstören kann. Die Funktion gibt die geschätzte VC-Dimension des Hypothesensatzes zurück.
Lassen Sie uns die Verwendung dieser Funktion anhand einiger Beispiele veranschaulichen:
Beispiel 1:
Angenommen, wir haben eine Hypothesenmenge, die aus allen linearen Funktionen der Form f(x) = ax + b besteht, wobei a und b reelle Zahlen sind. Wir können diesen Hypothesensatz in Python wie folgt definieren:
Python
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 4> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 1: linear function hypothesis set> def> linear_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x)> > > print>(vc_dimension(linear_function))> |
xampp-Alternative
>
>
Ausgabe:
2>
In Beispiel 1 implementiert die Funktion linear_function einen einfachen linearen Funktionshypothesensatz, der 1 zurückgibt, wenn die y-Koordinate des Eingabepunkts größer oder gleich der x-Koordinate ist, andernfalls 0. Die Funktion vc_dimension wird dann verwendet, um die VC-Dimension dieses Hypothesensatzes zu schätzen, die 2 beträgt.
Java-Schlaf
Beispiel 2:
Angenommen, wir haben einen Hypothesensatz, der aus allen quadratischen Funktionen der Form f(x) = ax besteht2+ bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind. Das können wir definieren Hypothese in Python wie folgt festlegen:
Python
import> itertools> > > def> vc_dimension(hypothesis_set):> >'''> >Estimates the VC dimension of a hypothesis set using the brute-force approach.> >'''> >n>=> 5> >while> True>:> >points>=> [(i, j)>for> i>in> range>(n)>for> j>in> range>(>2>)]> >shattered_sets>=> 0> >for> combination>in> itertools.combinations(points, n):> >is_shattered>=> True> >for> labeling>in> itertools.product([>0>,>1>], repeat>=>n):> >hypotheses>=> [hypothesis_set(point)>for> point>in> combination]> >if> set>(hypotheses) !>=> set>(labeling):> >is_shattered>=> False> >break> >if> is_shattered:> >shattered_sets>+>=> 1> >else>:> >break> >if> not> is_shattered:> >break> >n>+>=> 1> >return> n>->1> if> shattered_sets>=>=> 2>*>*>n>else> n>->2> > > # Example 2: quadratic function hypothesis set> def> quadratic_function(point):> >x, y>=> point> >return> int>(y>>=> x>*>*>2>)> > > print>(vc_dimension(quadratic_function))> |
>
>
Ausgabe:
3>
In Beispiel 2 implementiert die Funktion quadratic_function einen komplexeren Hypothesensatz quadratischer Funktionen, der 1 zurückgibt, wenn die y-Koordinate des Eingabepunkts größer oder gleich dem Quadrat der x-Koordinate ist, andernfalls 0. Die Funktion vc_dimension wird dann verwendet, um die VC-Dimension dieses Hypothesensatzes zu schätzen, die 3 beträgt.
rr-Algorithmus
Abschluss
Die VC-Dimension ist ein grundlegendes Konzept in der statistischen Lerntheorie, das die Komplexität eines Hypothesensatzes misst. Es bietet sowohl Ober- als auch Untergrenzen für die Anzahl der Trainingsbeispiele, die zum Erreichen eines bestimmten Genauigkeitsniveaus erforderlich sind. In Python können wir die VC-Dimension eines bestimmten Hypothesensatzes mithilfe eines Brute-Force-Ansatzes schätzen, der alle möglichen Kombinationen von Punkten und Beschriftungen überprüft. Die VC-Dimension hat ein breites Anwendungsspektrum im maschinellen Lernen und in der Statistik und kann auf komplexere Lernszenarien erweitert werden.