Scheitelpunkt einer Parabelformel: Der Punkt, an dem sich die Parabel und ihre Symmetrieachse schneiden, wird als Scheitelpunkt einer Parabel bezeichnet. Es wird verwendet, um die Koordinaten des Punktes auf der Symmetrieachse der Parabel zu bestimmen, an dem sie diese schneidet. Für die Standardgleichung einer Parabel ist y = ax²+ bx + c, der Scheitelpunkt ist die Koordinate (h, k). Wenn der Koeffizient von x²in der Gleichung positiv ist (a> 0), dann liegt der Scheitelpunkt unten, andernfalls liegt er oben.

In diesem Artikel werden wir diskutieren der Scheitelpunkt einer Parabel, ihre Formel, Ableitung der Formel und gelöste Beispiele dazu.

Inhaltsverzeichnis

• Eigenschaften des Scheitelpunkts einer Parabel
• Scheitelpunkt einer Parabelformel
• Ableitung des Scheitelpunkts einer Parabelformel
• Beispielprobleme am Scheitelpunkt einer Parabelformel

Scheitelpunkt einer Parabel

Eigenschaften des Scheitelpunkts einer Parabel

• Der Scheitelpunkt jeder Parabel ist ihr Wendepunkt.
• Die Ableitung der Parabelfunktion an ihrem Scheitelpunkt ist immer Null.
• Eine Parabel, die entweder oben oder unten offen ist, hat an ihrem Scheitel ein Maximum oder ein Minima.
• Der Scheitelpunkt einer links oder rechts offenen Parabel ist weder ein Maximum noch ein Minima der Parabel.
• Der Scheitelpunkt ist der Schnittpunkt zwischen der Parabel und ihrer Symmetrieachse.

Scheitelpunkt einer Parabelformel

Für die Scheitelpunktform der Parabel gilt: y = a(x – h)²+ k, die Koordinaten (h, k) des Scheitelpunkts sind,

(h, k) = (-b/2a, -D/4a)

Wo,

a ist der Koeffizient von x²,

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b ist der Koeffizient von x,

D = b²– 4ac ist die Diskriminante der Standardform y = ax²+ bx + c.

Ableitung des Scheitelpunkts einer Parabelformel

Angenommen, wir haben eine Parabel mit der Standardgleichung y = ax²+ bx + c.

Dies kann geschrieben werden als:

y – c = Axt²+ bx

y – c = a (x²+ bx/a)

Addieren und Subtrahieren b²/4a²Auf der RHS erhalten wir

y – c = a (x²+ bx/a + b²/4a²- B²/4a²)

y – c = a ((x + b/2a)²- B²/4a²)

y – c = a (x + b/2a)²- B²/4a

y = a (x + b/2a)²- B²/4a + c

y = a (x + b/2a)²- (B²/4a – c)

y = a (x + b/2a)²- (B²– 4ac)/4a

Wir wissen, D = b²– 4ac, also lautet die Gleichung:

y = a (x + b/2a)²– D/4a

Vergleich der obigen Gleichung mit der Scheitelpunktform y = a(x – h)²+ k, wir bekommen

h = -b/2a und k = -D/4a

Daraus ergibt sich die Formel für die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel.

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• Standardgleichung einer Parabel mit Beispielen

Beispielprobleme am Scheitelpunkt einer Parabelformel

Aufgabe 1. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = 2x ² + 4x – 4.

Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = 2x²+ 4x – 4.

Hier ist a = 2, b = 4 und c = -4.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b²– 4ac.

D = (4)²– 4 (2) (-4)

= 16 + 32

= 48

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = -4/2(2) = -4/4 = -1.

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -48/4(2) = -48/8 = -6

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (-1, -6).

Aufgabe 2. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = 3x ² + 5x – 2.

Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = 3x²+ 5x – 2.

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Hier ist a = 3, b = 5 und c = -2.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b²– 4ac.

D = (5)²– 4 (3) (-2)

= 25 + 24

= 49

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = -5/2(3) = -5/6

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -49/4(3) = -49/12

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (-5/6, -49/12).

Aufgabe 3. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = 3x ² – 6x + 1.

Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = 3x²– 6x + 1.

Hier ist a = 3, b = -6 und c = 1.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b²– 4ac.

D = (-6)²– 4 (3) (1)

= 36 – 12

= 24

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = 6/2(3) = 6/6 = 1

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -24/4(3) = -24/12 = -2

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (1, -2).

Aufgabe 4. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = 3x ² + 8x – 8.

Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = 3x²+ 8x – 8.

Hier ist a = 3, b = 8 und c = -8.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b²– 4ac.

D = (8)²– 4 (3) (-8)

= 64 + 96

= 160

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = -8/2(3) = -8/6 = -4/3

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -160/4(3) = -160/12 = -40/3

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (-4/3, -40/3).

Aufgabe 5. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = 6x ² + 12x + 4.

Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = 6x²+ 12x + 4.

Hier ist a = 6, b = 12 und c = 4.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b²– 4ac.

D = (12)²– 4 (6) (4)

= 144 – 96

= 48

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = -12/2(6) = -12/12 = -1

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -48/4(6) = -48/24 = -2

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (-1, -2).

Aufgabe 6. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = x ² + 7x – 5.

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Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = x²+ 7x – 5.

Hier ist a = 1, b = 7 und c = -5.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b²– 4ac.

D = (7)²– 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = -7/2(1) = -7/2

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -69/4(1) = -69/4

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (-7/2, -69/4).

Aufgabe 7. Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts für die Parabel y = 2x ² + 10x – 3.

Lösung:

Wir haben die Gleichung als y = x2 + 7x – 5.

Hier ist a = 1, b = 7 und c = -5.

Nun ist bekannt, dass die Koordinaten des Scheitelpunkts durch (-b/2a, -D/4a) gegeben sind, wobei D = b2 – 4ac.

D = (7)2 – 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Also, x – Koordinate des Scheitelpunkts = -7/2(1) = -7/2

y – Koordinate des Scheitelpunkts = -69/4(1) = -69/4

Daher ist der Scheitelpunkt der Parabel (-7/2, -69/4).

FAQs zum Scheitelpunkt einer Parabelformel

Was meinst du mit dem Scheitelpunkt einer Parabel?

Der Punkt, an dem sich die Parabel und ihre Symmetrieachse schneiden, wird als Scheitelpunkt einer Parabel bezeichnet. Es wird verwendet, um die Koordinaten des Punktes auf der Symmetrieachse der Parabel zu bestimmen, an dem sie diese schneidet.

Wie berechnet man den Scheitelpunkt einer Parabel?

Für die Standardgleichung einer Parabel ist y = ax²+ bx + c, der Scheitelpunkt ist die Koordinate (h, k).

Schreiben Sie die Eigenschaften des Scheitelpunkts einer Parabel auf.

1. Der Scheitelpunkt jeder Parabel ist ihr Wendepunkt.

2. Die Ableitung der Parabelfunktion an ihrem Scheitelpunkt ist immer Null.

3. Eine Parabel, die entweder oben oder unten offen ist, hat an ihrem Scheitel ein Maximum oder ein Minima.

4. Der Scheitelpunkt einer links oder rechts offenen Parabel ist weder ein Maximum noch ein Minima der Parabel.

5. Der Scheitelpunkt ist der Schnittpunkt zwischen der Parabel und ihrer Symmetrieachse.

Gegeben ist die Scheitelform einer Parabel. Wie würden Sie seinen Scheitelpunkt finden?

Für die Standardgleichung einer Parabel ist y = ax²+ bx + c, der Scheitelpunkt ist die Koordinate (h, k).

Was meinst du mit dem Fokus einer Parabel?

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt und einer bestimmten Linie gleich weit entfernt sind. Der Punkt wird als Brennpunkt der Parabel bezeichnet.

Wie zeichnet man eine Parabel mit ihrem Scheitelpunkt grafisch auf?

1. Finden Sie die x- und y-Koordinaten.

2. Schreiben Sie zwei Zahlen, die kleiner und zwei größer als der Fokus sind, und markieren Sie sie als x-Koordinaten.

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3. Ersetzen Sie x durch den Wert der Funktion und ermitteln Sie die y-Koordinaten.

4. Identifizieren Sie den Brennpunkt und den Scheitelpunkt der Parabel und tragen Sie die Koordinaten auf einem Millimeterpapier ein.