Die Fläche unter der Kurve ist die von der Kurve und den Koordinatenachsen eingeschlossene Fläche. Sie wird berechnet, indem man sehr kleine Rechtecke nimmt und dann deren Summe bildet. Wenn wir unendlich kleine Rechtecke nehmen, dann wird deren Summe berechnet, indem man den Grenzwert der so gebildeten Funktion nimmt.

Für eine gegebene Funktion f(x), die im Intervall [a, b] definiert ist, ist die Fläche (A) unter der Kurve von f(x) von „a“ nach „b“ gegeben durch A = ∫ _A ^B f(x)dx . Die Fläche unter einer Kurve wird berechnet, indem der Absolutwert der Funktion über das Intervall [a, b] genommen und über den Bereich summiert wird.

In diesem Artikel erfahren Sie mehr über die Fläche unter der Kurve, ihre Anwendungen, Beispiele und vieles mehr.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist die Fläche unter der Kurve?
• Berechnen der Fläche unter der Kurve
• Verwendung von Reimann-Summen
• Verwendung bestimmter Integrale
• Ungefähre Fläche unter der Kurve
• Berechnen der Fläche unter der Kurve
• Flächen-unter-Kurven-Formeln

Was ist die Fläche unter der Kurve?

Die Fläche unter der Kurve ist die Fläche, die von einer beliebigen Kurve mit der x-Achse und gegebenen Randbedingungen eingeschlossen wird, d. h. die Fläche, die durch die Funktion y = f(x), die x-Achse und die Geraden x = a und x = b begrenzt wird. In einigen Fällen gibt es nur eine oder keine Randbedingung, da die Kurve die x-Achse entweder einmal oder zweimal schneidet.

Die Fläche unter der Kurve kann mit verschiedenen Methoden wie der Reimann-Summe und berechnet werden Bestimmtes Integral und wir können die Fläche auch anhand der Grundformen, d. h. Dreieck, Rechteck, Trapez usw., annähern.

Lesen Sie im Detail: Infinitesimalrechnung in der Mathematik

bash wenn Bedingung

Berechnen der Fläche unter der Kurve

Um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen, können wir die folgenden Methoden verwenden, wie zum Beispiel:

• Verwendung von Reimann-Summen
• Verwendung bestimmter Integrale
• Annäherung verwenden

Lassen Sie uns diese Methoden wie folgt im Detail untersuchen:

Verwendung von Reimann-Summen

Reimann Sums wird berechnet, indem der Graph einer bestimmten Funktion in kleinere Rechtecke unterteilt und die Flächen jedes Rechtecks ​​summiert werden. Je mehr Rechtecke wir durch Unterteilung des bereitgestellten Intervalls berücksichtigen, desto präziser ist die durch diesen Ansatz berechnete Fläche. Dennoch werden die Berechnungen umso schwieriger, je mehr Teilintervalle wir berücksichtigen.

Die Reimann-Summe kann in drei weitere Kategorien eingeteilt werden, wie zum Beispiel:

• Linke Reimann-Summe
• Richtige Reimann-Summe
• Mittelpunkt-Reimann-Summe

Die Fläche unter Verwendung der Reimann-Summe wird wie folgt angegeben:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

Wo,

• f(x _ich ) ist der Wert der Funktion, die am integriert wird ich ^Th Beispielspunkt
• Δx = (b-a)/n ist die Breite jedes Teilintervalls,
  • A Und B sind die Grenzen der Integration und
  • N ist die Anzahl der Teilintervalle
• ∑ stellt die Summe aller Terme von i=1 bis n dar,

Beispiel: Finden Sie die Fläche unter der Kurve für die Funktion f(x) = x ² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2.

Lösung:

Wir wollen die Fläche unter der Kurve dieser Funktion zwischen x = 0 und x = 2 ermitteln. Wir verwenden eine linke Reimann-Summe mit n = 4 Teilintervallen, um die Fläche anzunähern.

Berechnen wir die Fläche unter der Kurve anhand von 4 Teilintervallen.

Somit ist die Breite der Teilintervalle Δx = (2-0)/4 = 0,5

Alle 4 Teilintervalle sind:

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

X₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Jetzt können wir die Funktion bei diesen x-Werten auswerten, um die Höhen jedes Rechtecks ​​zu ermitteln:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Die Fläche unter der Kurve kann nun angenähert werden, indem die Flächen der durch diese Höhen gebildeten Rechtecke summiert werden:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Daher ist die Fläche unter der Kurve von f(x) = x²zwischen x = 0 und x = 2, angenähert unter Verwendung einer linken Reimann-Summe mit 4 Teilintervallen, beträgt ungefähr 1,25.

Verwendung bestimmter Integrale

Das definitive Integral ist fast dasselbe wie die Reimann-Summe, aber hier nähert sich die Anzahl der Teilintervalle der Unendlichkeit. Wenn die Funktion für das Intervall [a, b] angegeben ist, ist das bestimmte Integral wie folgt definiert:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Im Gegensatz zur Reimann-Summe gibt ein bestimmtes Integral die genaue Fläche unter der Kurve an. Das bestimmte Integral wird berechnet, indem die Stammfunktion der Funktion ermittelt und an den Integrationsgrenzen ausgewertet wird.

Fläche in Bezug auf die X-Achse

Die im Bild unten gezeigte Kurve wird mit y = f(x) dargestellt. Wir müssen die Fläche unter der Kurve in Bezug auf die x-Achse berechnen. Die Grenzwerte für die Kurve auf der x-Achse sind a bzw. b. Die Fläche A unter dieser Kurve bezüglich der x-Achse wird zwischen den Punkten x = a und x = b berechnet. Betrachten Sie die folgende Kurve:

Die Formel für die Fläche unter der Kurve bezüglich der x-Achse lautet:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

Wo,

• A ist die Fläche unter der Kurve
• Und oder f(x) ist die Kurvengleichung
• A, Und B sind x-Werte oder Integrationsgrenzen, für die wir die Fläche berechnen müssen

Fläche in Bezug auf die Y-Achse

Die im Bild oben gezeigte Kurve wird mit x = f(y) dargestellt. Wir müssen die Fläche unter der Kurve in Bezug auf die Y-Achse berechnen. Die Grenzwerte für die Kurve auf der Y-Achse sind a bzw. b. Die Fläche A unter dieser Kurve in Bezug auf die Y-Achse zwischen den Punkten y = a und y = b. Betrachten Sie die folgende Kurve:

Die Formel für die Fläche unter der Kurve bezüglich der y-Achse lautet:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

Wo,

• A ist die Fläche unter der Kurve
• X oder f(y) ist die Kurvengleichung
• a, b sind y-Achsenabschnitte

Erfahren Sie mehr, Bereich zwischen zwei Kurven

Ungefähre Fläche unter der Kurve

Die Annäherung an die Fläche unter der Kurve erfordert die Verwendung einfacher geometrischer Formen wie Rechtecke oder Trapeze, um die Fläche unter der Kurve abzuschätzen. Diese Methode ist nützlich, wenn die Funktion schwierig zu integrieren ist oder wenn es nicht möglich ist, eine Stammfunktion der Funktion zu finden. Die Genauigkeit der Näherung hängt von der Größe und Anzahl der verwendeten Formen ab.

Berechnen der Fläche unter der Kurve

Mit den im vorliegenden Artikel besprochenen Konzepten können wir die Fläche der verschiedenen Kurven leicht berechnen. Betrachten wir nun einige Beispiele für die Berechnung der Fläche unter der Kurve für einige gängige Kurven.

Fläche unter der Kurve: Parabel

Wir wissen, dass eine Standardparabel entweder durch die x-Achse oder die y-Achse in zwei symmetrische Teile geteilt wird. Nehmen wir an, wir nehmen eine Parabel²= 4ax und dann ist seine Fläche von x = 0 bis x = a zu berechnen. Und bei Bedarf verdoppeln wir die Fläche, um die Fläche der Parabel in beiden Quadranten zu ermitteln.

Berechnungsfläche,

Und²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^Ay.dx

Schauspielerin Sai Pallavi

A = 2∫₀^A√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^A√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Somit beträgt die Fläche unter der Parabel von x = 0 bis x = a 8/3a ² quadratische Einheiten

Fläche unter der Kurve: Kreis

Ein Kreis ist eine geschlossene Kurve, deren Umfang immer den gleichen Abstand von ihrem Mittelpunkt hat. Seine Fläche wird berechnet, indem zunächst die Fläche im ersten Quadranten berechnet und dann für alle vier Quadranten mit 4 multipliziert wird.

Angenommen, wir nehmen einen Kreis x²+ und²= a²und dann ist seine Fläche von x = 0 bis x = a im ersten Quadranten zu berechnen. Und bei Bedarf vervierfachen wir seine Fläche, um die Fläche des Kreises zu ermitteln.

Berechnungsfläche,

X²+ und²= a²

y = √(a²- X²).dx

A = 4∫₀^Ay.dx

A = 4∫₀^A√(a²- X²).dx

A = 4[x/2√(a²- X²) + a²/2 ohne^-1(x/a)]^A₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.ohne^-1} – 0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Somit beträgt die Fläche unter dem Kreis pa ² quadratische Einheiten

Fläche unter der Kurve: Ellipse

Ein Kreis ist eine geschlossene Kurve. Seine Fläche wird berechnet, indem zunächst die Fläche im ersten Quadranten berechnet und dann für alle vier Quadranten mit 4 multipliziert wird.

Nehmen wir an, wir nehmen einen Kreis (x/a)²+ (j/b)²= 1 und dann soll seine Fläche von x = 0 bis x = a im ersten Quadranten berechnet werden. Und bei Bedarf vervierfachen wir die Fläche, um die Fläche der Ellipse zu ermitteln.

Berechnungsfläche,

(x/a)²+ (j/b)²= 1

y = b/a√(a²- X²).dx

A = 4∫₀^Ay.dx

A = 4b/a∫₀^A√(a²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + a²/2 ohne^-1(x/a)]^A₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.ohne^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Somit beträgt die Fläche unter der Ellipse πab quadratische Einheiten.

Flächen-unter-Kurven-Formeln

Die Formel für verschiedene Arten der Berechnung der Fläche unter der Kurve ist unten aufgeführt:

Lesen Sie auch

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• Integrale
• Fläche als bestimmtes Integral

Beispielbeispiele zur Fläche unter der Kurve

Beispiel 1: Finden Sie die Fläche unter der Kurve y ² = 12x und die X-Achse.

Lösung:

Die gegebene Kurvengleichung ist y²= 12x

Dies ist eine Parabelgleichung mit a = 3 also, y²= 4(3)(x)

Das Diagramm für die erforderliche Fläche ist unten dargestellt:

Die X-Achse teilt die obige Parabel in zwei gleiche Teile. Wir können also die Fläche im ersten Quadranten ermitteln und sie dann mit 2 multiplizieren, um die erforderliche Fläche zu erhalten

So können wir den erforderlichen Bereich finden als:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 Quadratmeter Einheiten

Beispiel 2: Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve x = y ³ – 9 zwischen den Punkten y = 3 und y = 4.

Lösung:

Gegeben sei die Kurvengleichung x = y³– 9

Grenzpunkte sind (0, 3) und (0, 4)

Da die Kurvengleichung die Form x = f(y) hat und die Punkte auch auf der Y-Achse liegen, verwenden wir die Formel

Java-Lambda-Beispiel

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 Quadrateinheiten

Beispiel 3: Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve y = x ² – 7 zwischen den Punkten x = 5 und x = 10.

Lösung:

Gegeben sei die Kurve y = x²−7 und die Randpunkte sind (5, 0) und (10, 0)

Somit ist die Fläche unter der Kurve gegeben durch:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 Quadrateinheiten

Beispiel 4: Finden Sie die von der Parabel y umschlossene Fläche ² = 4ax und die Gerade x = a im ersten Quadranten.

Lösung:

Kurve und die angegebene Linie können wie folgt gezeichnet werden:

Die Kurvengleichung lautet nun y²= 4ax

Die Grenzpunkte sind (0, 0) und (a, 0)

Somit kann die Fläche in Bezug auf die X-Achse wie folgt berechnet werden:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Beispiel 5: Finden Sie die Fläche, die vom Kreis x abgedeckt wird ² + und ² = 25 im ersten Quadranten.

Lösung:

Gegeben, x²+ und²= 25

Die Kurve kann wie folgt gezeichnet werden:

Die erforderliche Fläche ist in der obigen Abbildung schattiert. Aus der Gleichung können wir ersehen, dass der Radius des Kreises 5 Einheiten beträgt.

Als, x²+ und²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Bash für Schleife 1 bis 10

Um den Bereich zu finden, verwenden wir:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 Quadrateinheiten

FAQs zur Fläche unter der Kurve

Definieren Sie den Bereich unter einer Kurve.

Der von der Kurve, der Achse und den Randpunkten umschlossene Bereich wird als Fläche unter der Kurve bezeichnet. Mithilfe der Koordinatenachsen und der Integrationsformel wurde die Fläche unter der Kurve als zweidimensionale Fläche bestimmt.

Wie berechnet man die Fläche unter einer Kurve?

Es gibt drei Methoden, um die Fläche unter der Kurve zu ermitteln:

• Reimann Sums Dabei wird die Kurve in kleinere Rechtecke unterteilt und deren Flächen addiert, wobei die Anzahl der Teilintervalle die Genauigkeit des Ergebnisses beeinflusst.
• Bestimmte Integrale ähneln Reimann-Summen, verwenden jedoch eine unendliche Anzahl von Teilintervallen, um ein genaues Ergebnis zu liefern.
• Näherungsmethoden Verwendet bekannte geometrische Formen, um die Fläche unter der Kurve anzunähern.

Was ist der Unterschied zwischen einem bestimmten Integral und einer Reimann-Summe?

Der Hauptunterschied zwischen einem bestimmten Integral und einer Reimann-Summe besteht darin, dass ein bestimmtes Integral die genaue Fläche unter einer bestimmten Kurve darstellt, während eine Reimann-Summe den ungefähren Wert der Fläche darstellt und die Genauigkeit der Summe von der gewählten Partitionsgröße abhängt.

Kann die Fläche unter der Kurve negativ sein?

Wenn die Kurve unterhalb der Achse liegt oder in den negativen Quadranten der Koordinatenachse liegt, ist die Fläche unter der Kurve negativ. Auch in diesem Fall wird die Fläche unter der Kurve mit dem herkömmlichen Ansatz berechnet und die Lösung anschließend moduliert. Auch wenn die Antwort negativ ist, wird nur der Flächenwert berücksichtigt, nicht das negative Vorzeichen der Antwort.

Was stellt die Fläche unter der Kurve in der Statistik dar?

Die Fläche unter der Kurve (ROC) ist das Maß für die Genauigkeit eines quantitativen Diagnosetests.

Wie interpretieren Sie das Vorzeichen der Fläche unter einer Kurve?

Das Flächenzeichen zeigt an, dass die Fläche unter der Kurve über der X-Achse oder unter der X-Achse liegt. Wenn die Fläche positiv ist, liegt die Fläche unter der Kurve über der x-Achse, und wenn sie negativ ist, liegt die Fläche unter der Kurve unter der x-Achse.

Wie wird die Fläche unter der Kurve angenähert?

Durch die Segmentierung der Region in winzige Rechtecke kann die Fläche unter der Kurve grob geschätzt werden. Und indem man die Flächen dieser Rechtecke addiert, erhält man möglicherweise die Fläche unter der Kurve.