Satz von Bayes wird verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen. Es wurde nach einem englischen Statistiker benannt, Thomas Bayes der diese Formel 1763 entdeckte. Das Bayes-Theorem ist ein sehr wichtiger Satz in der Mathematik, der den Grundstein für einen einzigartigen statistischen Inferenzansatz namens legte Bayes‘ Schlussfolgerung. Es wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, basierend auf Vorkenntnissen über Bedingungen, die mit diesem Ereignis zusammenhängen könnten.

Zum Beispiel, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln wollen, dass eine zufällig gezogene weiße Murmel aus dem ersten Beutel stammt, vorausgesetzt, dass bereits eine weiße Murmel gezogen wurde, und Gibt es drei Beutel, die jeweils einige weiße und schwarze Murmeln enthalten, können wir den Satz von Bayes verwenden.

In diesem Artikel wird der Bayes-Satz einschließlich seiner Aussage, seines Beweises, seiner Ableitung und seiner Formel sowie seine Anwendungen anhand verschiedener Beispiele untersucht.

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Was ist der Satz von Bayes?

Das Bayes-Theorem (auch bekannt als Bayes-Regel oder Bayes-Gesetz) wird verwendet, um die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A zu bestimmen, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist.

Die allgemeine Aussage des Satzes von Bayes lautet Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bei Eintritt eines anderen Ereignisses B ist gleich dem Produkt aus dem Ereignis von B bei gegebenem A und der Wahrscheinlichkeit von A dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B. d.h.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

Wo,

• P(A) Und P(B) sind die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B
• P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn Ereignis B eintritt
• P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, wenn A eintritt

Überprüfen: Satz von Bayes für die bedingte Wahrscheinlichkeit

Aussage zum Bayes-Theorem

Der Satz von Bayes für n Mengen von Ereignissen ist definiert als:

Lass E₁, UND₂,…, UND_Neine Menge von Ereignissen sein, die dem Probenraum S zugeordnet sind, in dem alle Ereignisse E₁, UND₂,…, UND_Nhaben eine Eintrittswahrscheinlichkeit ungleich Null. Alle Veranstaltungen E₁, UND₂,…, E bilden eine Partition von S. Sei A ein Ereignis aus dem Raum S, für das wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln müssen, dann gilt gemäß dem Satz von Bayes:

SPORT _ich |A) = P(E _ich )P(A|E _ich ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

für k = 1, 2, 3, …., n

Formel des Bayes-Theorems

Für zwei beliebige Ereignisse A und B lautet die Formel für das Bayes-Theorem wie folgt: (Das Bild unten zeigt die Formel für das Bayes-Theorem.)

Formel des Bayes-Theorems

Wo,

• P(A) Und P(B) sind die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B, auch P(B) ist nie gleich Null.
• P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, wenn Ereignis B eintritt
• P(B|A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, wenn A eintritt

Ableitung des Bayes-Theorems

Der Beweis des Satzes von Bayes wird gemäß der bedingten Wahrscheinlichkeitsformel wie folgt gegeben:

SPORT _ich |A) = P(E _ich ∩A) / P(A)…..(i)

Dann erhalten wir unter Verwendung der Multiplikationsregel der Wahrscheinlichkeit

SPORT _ich ∩A) = P(E _ich )P(A|E _ich )……(ii)

Nun gilt nach dem Gesamtwahrscheinlichkeitssatz:

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Ersetzen Sie den Wert von P(E_ich∩A) und P(A) aus Gleichung (ii) und Gleichung (iii) in Gleichung (i) erhalten wir,

SPORT _ich |A) = P(E _ich )P(A|E _ich ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Der Satz von Bayes ist auch als Formel für bekannt Wahrscheinlichkeit von Ursachen . Wie wir wissen, ist die E _ich ‘s sind eine Partition des Probenraums S und zu jedem Zeitpunkt nur eines der Ereignisse E _ich tritt ein. Daraus schließen wir, dass die Formel des Bayes-Theorems die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten E angibt_ich, vorausgesetzt, dass Ereignis A eingetreten ist.

Begriffe im Zusammenhang mit dem Bayes-Theorem

Nachdem wir uns ausführlich mit dem Bayes-Theorem vertraut gemacht haben, wollen wir einige wichtige Begriffe verstehen, die sich auf die Konzepte beziehen, die wir in Formel und Ableitung behandelt haben.

• Hypothesen: Ereignisse, die im Beispielraum stattfinden UND ₁ , UND ₂ ,… UND _N nennt man die Hypothesen

• Priori-Wahrscheinlichkeit: Die Priori-Wahrscheinlichkeit ist die anfängliche Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses, bevor neue Daten berücksichtigt werden. SPORT_ich) ist die Priori-Wahrscheinlichkeit der Hypothese E_ich.

• Posterior-Wahrscheinlichkeit: Die Posterior-Wahrscheinlichkeit ist die aktualisierte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nach Berücksichtigung neuer Informationen. Wahrscheinlichkeit P(E_ich|A) wird als A-posteriori-Wahrscheinlichkeit der Hypothese E betrachtet_ich.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Man bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A basierend auf dem Eintreten eines anderen Ereignisses B bedingte Wahrscheinlichkeit .
• Es wird als bezeichnet P(A|B) und stellt die Wahrscheinlichkeit von A dar, wenn Ereignis B bereits eingetreten ist.

Gemeinsame Wahrscheinlichkeit

Wenn die Wahrscheinlichkeit gemessen wird, dass zwei weitere Ereignisse gleichzeitig und gleichzeitig auftreten, wird sie als gemeinsame Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Für zwei Ereignisse A und B wird die gemeinsame Wahrscheinlichkeit wie folgt bezeichnet: P(A∩B).

Zufällige Variablen

Reellwertige Variablen, deren mögliche Werte durch Zufallsexperimente ermittelt werden, werden Zufallsvariablen genannt. Die Wahrscheinlichkeit, solche Variablen zu finden, ist die experimentelle Wahrscheinlichkeit.

Anwendungen des Bayes-Theorems

Die Bayes'sche Folgerung ist sehr wichtig und hat in verschiedenen Bereichen Anwendung gefunden, darunter in der Medizin, der Wissenschaft, der Philosophie, dem Ingenieurwesen, dem Sport, dem Recht usw., und die Bayes'sche Folgerung wird direkt aus dem Satz von Bayes abgeleitet.

Beispiel: Das Bayes-Theorem definiert die Genauigkeit des medizinischen Tests, indem es berücksichtigt, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person an einer Krankheit leidet, und wie hoch die Gesamtgenauigkeit des Tests ist.

Unterschied zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit und Bayes-Theorem

Der Unterschied zwischen der bedingten Wahrscheinlichkeit und dem Bayes-Theorem kann mithilfe der folgenden Tabelle verstanden werden:

Satz der Gesamtwahrscheinlichkeit

Lass E₁, UND₂, . . ., UND_Nsind sich gegenseitig ausschließende und erschöpfende Ereignisse, die mit einem Zufallsexperiment verbunden sind, und lässt E ein Ereignis sein, das mit einem E auftritt_ich. Dann beweisen Sie das

P(E) = ^N ∑ _i=1 PINKELN _ich ). SPORT _J )

Nachweisen:

Sei S der Probenraum. Dann,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ Eins und E_ich∩ E_J= ∅ für i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_N)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_N)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_N)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_N)

{Daher ist (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_N)} sind paarweise disjunkt}

⇒ P(E) = P(E/E₁). SPORT₁) + P(E/E₂). SPORT₂) + . . . + P(E/E_N). SPORT_N) [durch Multiplikationssatz]

⇒ P(E) =^N∑_i=1PINKELN_ich). SPORT_ich)

Artikel zum Bayes-Theorem

• Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Satz von Bayes für die bedingte Wahrscheinlichkeit
• Permutationen und Kombinationen
• Binomialsatz

Fazit – Satz von Bayes

Das Bayes-Theorem bietet einen leistungsstarken Rahmen für die Aktualisierung der Wahrscheinlichkeit einer Hypothese auf der Grundlage neuer Beweise oder Informationen. Durch die Einbeziehung von Vorkenntnissen und deren Aktualisierung mit beobachteten Daten ermöglicht das Bayes-Theorem eine genauere und fundiertere Entscheidungsfindung in einer Vielzahl von Bereichen, darunter Statistik, maschinelles Lernen, Medizin und Finanzen. Seine Anwendungen reichen von medizinischer Diagnose und Risikobewertung bis hin zur Spam-Filterung und Verarbeitung natürlicher Sprache.

Das Verstehen und Anwenden des Bayes-Theorems ermöglicht es uns, bessere Vorhersagen zu treffen, Unsicherheiten abzuschätzen und aussagekräftige Erkenntnisse aus Daten zu ziehen, was letztendlich unsere Fähigkeit verbessert, in komplexen und unsicheren Situationen fundierte Entscheidungen zu treffen.

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Beispiele für das Bayes-Theorem

Beispiel 1: Eine Person hat eine Arbeit übernommen. Die Wahrscheinlichkeiten einer termingerechten Fertigstellung der Arbeiten mit und ohne Regen liegen bei 0,44 bzw. 0,95. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass es regnen wird, 0,45 beträgt, dann ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Arbeit pünktlich abgeschlossen wird.

Lösung:

Lass E₁sei es, dass die Bergbauarbeiten pünktlich abgeschlossen werden und E₂sei der Fall, dass es regnet. Wir haben,

P(A) = 0,45,

P(kein Regen) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Durch das Multiplikationsgesetz der Wahrscheinlichkeit,

SPORT₁) = 0,44 und P(E₂) = 0,95

Da die Ereignisse A und B Partitionen des Probenraums S bilden, gilt nach dem Gesamtwahrscheinlichkeitssatz:

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Auftrag pünktlich abgeschlossen wird, beträgt also 0,7205

Beispiel 2: Es gibt drei Urnen mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln; 2 weiße und 3 schwarze Kugeln; Jeweils 1 schwarzer und 4 weiße Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass jede Urne ausgewählt wird, ist gleich. Ein Ball wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel gezogen wird?

Lösung:

Lass E₁, UND₂, und E₃seien die Ereignisse der Wahl der ersten, zweiten und dritten Urne. Dann,

SPORT₁) = P(E₂) = P(E₃) =1/3

Sei E das Ereignis, dass eine weiße Kugel gezogen wird. Dann,

PINKELN₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Nach dem Satz der Gesamtwahrscheinlichkeit haben wir

P(E) = P(E/E₁). SPORT₁) + P(E/E₂). SPORT₂) + P(E/E₃). SPORT₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Beispiel 3: Eine Karte aus einem Kartenspiel mit 52 Karten geht verloren. Von den restlichen Karten des Stapels werden zwei Karten gezogen und es stellt sich heraus, dass es sich bei beiden Karten um Herzen handelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die verlorene Karte ein Herz ist.

Lösung:

Lass E₁, UND₂, UND_3,und E₄Dies kann der Fall sein, dass jeweils eine Herz-, Kreuz-, Pik- und Karo-Karte verloren geht.

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Dann ist P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Sei E das Ereignis, bei dem aus den verbleibenden 51 Karten 2 Herzen gezogen werden. Dann,

P(E|E₁) = Wahrscheinlichkeit, 2 Herzen zu ziehen, sofern eine Herzkarte fehlt

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = Wahrscheinlichkeit, 2 Kreuze zu ziehen, sofern eine Kreuzkarte fehlt

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = Wahrscheinlichkeit, 2 Pik zu ziehen, vorausgesetzt, eine Herzkarte fehlt

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = Wahrscheinlichkeit, 2 Karos zu ziehen, vorausgesetzt, eine Karokarte fehlt

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Daher,

SPORT₁|E) = Wahrscheinlichkeit, dass die verlorene Karte ein Herz ist, vorausgesetzt, dass die 2 Herzen aus den verbleibenden 51 Karten gezogen werden

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/SPORT₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Daher beträgt die erforderliche Wahrscheinlichkeit 0,22.

Beispiel 4: Angenommen, 15 von 300 Männern und 25 von 1000 Frauen sind gute Redner. Ein Redner wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine männliche Person ausgewählt wird. Gehen Sie davon aus, dass es gleich viele Männer und Frauen gibt.

Lösung:

Gievn,

• Gesamtzahl der Männer = 300
• Gesamtzahl der Frauen = 1000
• Gute Redner unter Männern = 15
• Gute Rednerinnen unter Frauen = 25

Gesamtzahl guter Redner = 15 (von Männern) + 25 (von Frauen) = 40

Wahrscheinlichkeit, einen männlichen Redner auszuwählen:

P (Männlicher Redner) = Anzahl der männlichen Redner / Gesamtzahl der Redner = 15/40

Beispiel 5: Es ist bekannt, dass ein Mann 1 von 4 Mal lügt. Er wirft einen Würfel und meldet, dass es eine Sechs ist. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich tatsächlich um eine Sechs handelt.

Lösung:

Bei einem Würfelwurf, lass

UND₁= Ereignis, eine Sechs zu bekommen,

UND₂= Ereignis, bei dem keine Sechs erreicht wird und

E = Ereignis, bei dem der Mann meldet, dass es eine Sechs ist.

Dann ist P(E₁) = 1/6 und P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = Wahrscheinlichkeit, dass der Mann meldet, dass sechs eingetreten sind, obwohl sechs tatsächlich eingetreten sind

⇒ P(E|E₁) = Wahrscheinlichkeit, dass der Mann die Wahrheit sagt

⇒ P(E|E₁) = 3/4

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P(E|E₂) = Wahrscheinlichkeit, dass der Mann berichtet, dass sechs passiert, obwohl sechs tatsächlich nicht passiert sind

⇒ P(E|E₂) = Wahrscheinlichkeit, dass der Mann nicht die Wahrheit sagt

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu bekommen, vorausgesetzt, der Mann gibt an, dass es eine Sechs ist

SPORT₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [nach dem Satz von Bayes]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 × 3) = 3/8

Daher beträgt die erforderliche Wahrscheinlichkeit 3/8.

FAQs zum Satz von Bayes

Was ist der Satz von Bayes?

Der Bayes-Satz ist, wie der Name schon sagt, ein mathematischer Satz, der verwendet wird, um die Konditionalitätswahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das in der Zukunft eintreten wird. Sie wird auf Grundlage der bisherigen Ergebnisse der Veranstaltungen berechnet.

Wann wird der Satz von Bayes verwendet?

Der Satz von Bayes hat ein breites Anwendungsspektrum, insbesondere in Bereichen, in denen es um die Aktualisierung von Wahrscheinlichkeiten auf der Grundlage neuer Daten geht. Mit der Bayes-Regel können Sie die berechnen hintere (oder aktualisierte) Wahrscheinlichkeit. Es wird zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit von Ereignissen verwendet.

Was sind einige Schlüsselbegriffe zum Verständnis des Satzes von Bayes?

Einige der Schlüsselbegriffe sind:

• A-priori-Wahrscheinlichkeit (P(A))
• Posterior-Wahrscheinlichkeit (P(A | B))
• Wahrscheinlichkeit (P(B | A))
• Grenzwahrscheinlichkeit (P(B))

Wann ist der Satz von Bayes anzuwenden?

Der Satz von Bayes ist anwendbar, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gegeben ist. Er wird verwendet, um die umgekehrte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu ermitteln.

Wie unterscheidet sich der Satz von Bayes von der bedingten Wahrscheinlichkeit?

Der Satz von Bayes wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf den vorherigen Bedingungen des Ereignisses zu definieren. Der Satz von Bayes hingegen verwendet die bedingte Wahrscheinlichkeit, um die umgekehrte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu ermitteln.

Wie lautet die Formel für den Satz von Bayes?

Die Formel des Bayes-Theorems wird unten erläutert:

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)