Seien A, B und C Mengen, R eine Relation von A nach B und S eine Relation von B nach C. Das heißt, R ist eine Teilmenge von A × B und S eine Teilmenge von B × C. Dann führen R und S zu einer Beziehung von A nach C, die durch R◦S angegeben und definiert ist durch:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

Die Beziehung R◦S ist die Zusammensetzung von R und S; es wird manchmal einfach mit RS bezeichnet.

Sei R eine Relation auf einer Menge A, das heißt, R ist eine Relation von einer Menge A zu sich selbst. Dann ist immer R◦R, die Zusammensetzung von R mit sich selbst, dargestellt. Außerdem wird R◦R manchmal mit R bezeichnet². Ebenso R³= R²◦R = R◦R◦R und so weiter. Also R^Nist für alle positiven n definiert.

Beispiel 1: Sei X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} und Z = {l, m, n}. Betrachten Sie die Beziehung R₁von X nach Y und R₂von Y bis Z.

javafx

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Finden Sie die Zusammensetzung der Beziehung (ich) R₁der R₂ (ii) R₁der R₁^-1

Lösung:

(i) Die Kompositionsrelation R₁der R₂wie in Abb. gezeigt:

R₁der R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Die Zusammensetzungsrelation R₁der R₁^-1wie in Abb. gezeigt:

Vor- und Nachteile der Technologie

R₁der R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Zusammensetzung von Beziehungen und Matrizen

Es gibt eine andere Möglichkeit, R◦S zu finden. Lass M_Rund M_Sbezeichnen jeweils die Matrixdarstellungen der Beziehungen R und S. Dann

String-Teilstring

Beispiel

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Lösung: Die Matrizen der Beziehung R und S sind in Abb. dargestellt:

(i) Um die Zusammensetzung der Beziehung R und S zu erhalten, multiplizieren Sie zunächst M_Rmit M_Sum die Matrix M zu erhalten_Rx M_Swie in Abb. gezeigt:

Die Nicht-Null-Einträge in der Matrix M_Rx M_Steilt die in RoS zugehörigen Elemente mit. Also,

Daher ist die Zusammensetzung R o S der Beziehung R und S

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Multiplizieren Sie zunächst die Matrix M_Rvon selbst, wie in Abb

Daher ist die Zusammensetzung R o R der Beziehung R und S

Konvertieren Sie int in einen String in Java

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Multiplizieren Sie die Matrix M_Smit M_Rum die Matrix M zu erhalten_Sx M_Rwie in Abb. gezeigt:

Die Nicht-Null-Einträge in Matrix M_Sx M_Rerzählt die in S o R verwandten Elemente.

Daher ist die Zusammensetzung S o R der Beziehung S und R

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.