Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktion bezieht sich auf die Änderungsrate in inversen trigonometrischen Funktionen. Wir wissen, dass die Ableitung einer Funktion die Änderungsrate einer Funktion in Bezug auf die unabhängige Variable ist. Bevor man dies lernt, sollte man die Formeln zur Differenzierung trigonometrischer Funktionen kennen. Um die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktion zu finden, setzen wir die trigonometrische Funktion zunächst mit einer anderen Variablen gleich, um ihre Umkehrung zu finden, und differenzieren sie dann mithilfe der impliziten Differenzierungsformel.

In diesem Artikel lernen wir das D Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen, Formeln zur Differenzierung inverser trigonometrischer Funktionen, und lösen Sie einige Beispiele darauf. Aber bevor wir fortfahren, sollten wir das Konzept auffrischen ich Nverse trigonometrische Funktionen und implizite Differentiation.

• Inverse trigonometrische Funktionen
• Was ist implizite Differenzierung?
• Was ist die Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen?
• Beweis der Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen
• Inverse trigonometrische Ableitungsformel
• Beispiele für inverse trigonometrische Ableitungen

Inverse trigonometrische Funktionen

Inverse trigonometrische Funktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Verhältnisse, d. h. sin, cos, tan, cot, sec und cosec. Diese Funktionen werden häufig in Bereichen wie Physik, Mathematik, Ingenieurwesen und anderen Forschungsbereichen verwendet. So wie Addition und Subtraktion die Umkehrungen voneinander sind, gilt das Gleiche auch für die Umkehrung trigonometrischer Funktionen.

ohne θ = x

⇒ ich ​= s In ⁻¹ X ​

Darstellung inverser trigonometrischer Funktionen

Sie werden durch Hinzufügen dargestellt Bogen im Präfix oder durch Addition von -1 zur Potenz.

Der Umkehrsinus kann auf zwei Arten geschrieben werden:

• ohne^-1X
• arcsin x

Das Gleiche gilt für Cos und Tan.

Notiz: Verwechseln Sie nicht die Sünde^-1x mit (Sünde x)^-1. Sie sind anders. Sünde schreiben^-1x ist eine Möglichkeit, den Umkehrsinus zu schreiben, während (sin x)^-1bedeutet 1/sin x.

Bereich der inversen trigonometrischen Funktionen

Wir wissen, dass eine Funktion nur dann differenzierbar ist, wenn sie an diesem Punkt stetig ist, und wenn eine Funktion an einem bestimmten Punkt stetig ist, dann ist dieser Punkt der Definitionsbereich der Funktion. Daher sollten wir den Bereich der inversen trigonometrischen Funktionen für dieselbe lernen.

Lassen Sie uns nun kurz die Technik der impliziten Differenzierung erlernen.

Was ist implizite Differenzierung?

Implizite Differenzierung ist eine Methode, die die Kettenregel zur Differenzierung implizit definierter Funktionen nutzt. Eine implizite Funktion ist die Funktion, die zwei Variablen anstelle einer Variablen enthält. In solchen Fällen können wir die Funktion manchmal explizit in eine Variable konvertieren, aber das ist nicht immer der Fall. Da es im Allgemeinen nicht einfach ist, die Funktion explizit zu finden und dann zu differenzieren. Stattdessen können wir f(x, y) vollständig differenzieren, d. h. beide Variablen, und dann den Rest der Gleichung lösen, um den Wert von f'(x) zu ermitteln.

Lesen Sie im Detail: Infinitesimalrechnung in der Mathematik

Was ist die Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen?

Inverse trigonometrische Ableitungen sind die Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen. Es gibt sechs trigonometrische Funktionen und für jede dieser trigonometrischen Funktionen gibt es eine Umkehrfunktion. Das ist Sünde^-1x, cos^-1x, also^-1x, cosec^-1x, Sek^-1x, Kinderbett^-1X. Wir können die Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen mithilfe der impliziten Differentiationsmethode ermitteln. Lassen Sie uns zunächst lernen, was die Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen sind.

• Ableitung von Sünde^-1x ist d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) für alle x ϵ (-1, 1)
• Ableitung von cos^-1x ist d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) für alle x ϵ (-1, 1)
• Ableitung von tan^-1x ist d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) für alle x ϵ R
• Ableitung von cosec^-1x ist d(cosec^-1x)/dx = -1/ für alle x ϵ R – [-1, 1]
• Ableitung von Sek^-1x ist d(sec^-1x)/dx = 1/x für alle x ϵ R – [-1, 1]
• Ableitung von cot^-1x ist d(cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) für alle x ϵ R

Das Bild für die inverse trigonometrische Ableitung ist unten beigefügt:

Nachdem wir nun gelernt haben, was die Ableitungen aller sechs inversen trigonometrischen Funktionen sind, lernen wir nun, wie man die Ableitungen der sechs inversen trigonometrischen Funktionen ermittelt.

Beweis der Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen

Wir können die inversen trigonometrischen Funktionen nach dem ersten Prinzip und auch durch die Verwendung einer impliziten Differenzierungsformel differenzieren, die auch die Verwendung einer Kettenregel beinhaltet. Die Ableitung inverser trigonometrischer Funktionen mithilfe des ersten Prinzips zu finden, ist ein langwieriger Prozess. In diesem Artikel lernen wir, wie man inverse trigonometrische Funktionen mithilfe der impliziten Differenzierung differenziert. Mit den folgenden Schritten können wir die Ableitung (dy/dx) von inversen trigonometrischen Funktionen ermitteln

Schritt 1: Nehmen Sie die trigonometrischen Funktionen in der Form sin y = x an

Schritt 2: Finden Sie die Ableitung der obigen Funktion mithilfe der impliziten Differenzierung

Schritt 3: Berechnen Sie dy/dx

Schritt 4: Ersetzen Sie den in Schritt 3 vorhandenen Wert der trigonometrischen Funktion durch trigonometrische Identitäten.

Ableitung von sin invers x

Nehmen wir an, sin y = x

Differenzieren beider Seiten nach x

⇒ cos und. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Da wir diese Sünde kennen²und + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – Sünde²Und

Was ist Verzeichnisübermittlung?

⇒ gemütlich = √(1 – Sünde²y) = √(1 – x²), da wir sin y = x haben

Setzen Sie diesen Wert von cos y in Gleichung (i) ein

dy/dx = 1/√(1 – x²), wobei y = Sünde^-1X

Ableitung von cos invers X

Nehmen wir an, cos y = x

Differenzieren beider Seiten nach x

⇒ -ohne und. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Da wir diese Sünde kennen²und + Cos²y = 1

⇒ ohne²y = 1 – cos²Und

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), da wir cos y = x haben

Setzen Sie diesen Wert von sin y in Gleichung (i) ein

dy/dx = -1/√(1 – x²) wobei y = cos^-1X

Ableitung von tan invers X

Nehmen wir an, tan y = x

Differenzieren beider Seiten nach x

⇒ Sek²j. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/Sek²und →(i)

Da wir diesen Abschnitt kennen²und so²y = 1

⇒ Sek²y = 1 + tan²Und

⇒ Sek²y = (1 + tan²y) = (1 + x²), da wir tan y = x haben

Setzen Sie diesen Wert von sek²y in Gleichung (i)

dy/dx = 1/(1 + x²), wobei y = tan^-1X

Ableitung der Cot-Inversen X

Nehmen wir an, cot y = x

Differenzieren beider Seiten nach x

⇒ -cosec²j. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosek²und →(i)

Da wir wissen, dass csec²und – Kinderbett²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + Kinderbett²Und

⇒ cosec²y = (1 + Kinderbett²y) = (1 + x²), da wir cot y = x haben

Setzen Sie diesen Wert von cosec²y in Gleichung (i)

dy/dx = -1/(1 + x²), wobei y = cot^-1X

Ableitung von sec invers X

Nehmen wir sec y = x an

Differenzieren beider Seiten nach x

⇒ Sek. y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/s y.tan y →(i)

Da wir diesen Abschnitt kennen²und so²y = 1

⇒ also²y = Sek²und 1

⇒ tan y = √(sec²y – 1) = √(x²– 1)da wir sec y = x haben

Einsetzen dieses Wertes von tan y in Gleichung (i)

dy/dx = 1/x wobei sec y = x und y = sec^-1X

Ableitung der Cosec-Inversen X

Nehmen wir cosec y = x an

Differenzieren beider Seiten nach x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Da wir diesen cosec kennen²und – Kinderbett²y = 1

⇒ Kinderbett²y = cosec²und 1

⇒ cot y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1)da wir cosec y = x haben

Einsetzen dieses Wertes von tan y in Gleichung (i)

dy/dx = -1/x wobei cosec y = x und y = cosec^-1X

Inverse trigonometrische Ableitungsformel

Jetzt haben wir gelernt, wie man die inversen trigonometrischen Funktionen differenziert, daher schauen wir uns nun die Formeln für die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen an, die direkt in den Aufgaben verwendet werden können. Nachfolgend finden Sie die Ableitungstabelle der inversen trigonometrischen Funktionsformel.

Mehr lesen,

• Ableitung in parametrischer Form
• Ableitungsformeln
• Anwendung von Derivaten
• Ableitung der Exponentialfunktion

Beispiele für inverse trigonometrische Ableitungen

Beispiel 1: Sünde unterscheiden ^-1 (X)?

Lösung:

Lassen, Und = ohne ⁻¹( X )

Nimmt man den Sinus auf beiden Seiten der Gleichung, erhält man:

sin y = sin(sin^-1X)

Durch die Eigenschaft der inversen Trigonometrie wissen wir, sin(sin^-1x) = x

Sünde y = x

Differenzieren wir nun beide Seiten nach x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Wir können es weiter vereinfachen, indem wir die folgende Beobachtung verwenden:

ohne²und + cos²y = 1

C#-Tutorial

X²+ weil²y = 1 {Als sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

Wenn wir den Wert ersetzen, erhalten wir

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Beispiel 2: Differenzieren cos ^-1 (X)?

Lösung:

Lassen,

Und = cos⁻¹( X )

Wenn man den Kosinus auf beiden Seiten der Gleichung nimmt, erhält man:

cos y = cos(cos^-1X)

Aufgrund der Eigenschaft der inversen Trigonometrie wissen wir, dass cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Differenzieren wir nun beide Seiten nach x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Wir können es weiter vereinfachen, indem wir die folgende Beobachtung verwenden:

ohne²und + cos²y = 1

ohne²y + x²= 1 {As cos y = x}

ohne²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

Wenn wir den Wert ersetzen, erhalten wir

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Beispiel 3: Bräune unterscheiden ^-1 (X)?

Lösung:

Lassen, Und = also⁻¹( X )

Nimmt man tan auf beiden Seiten der Gleichung, erhält man:

tan y = tan(tan^-1X)

Aufgrund der Eigenschaft der inversen Trigonometrie wissen wir, dass tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Differenzieren wir nun beide Seiten nach x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

Sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/Sek²X

Wir können es weiter vereinfachen, indem wir die folgende Beobachtung verwenden:

Sek²und so²y = 1

Sek²y–x²= 1

Sek²y = 1 + x²

Wenn wir den Wert ersetzen, erhalten wir

dy/dx = 1/Sek²Und

dy/dx = 1/(1 + x²)

Beispiel 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Finden Sie dy/dx bei x = 1/2?

Lösung:

Methode 1 (Verwendung impliziter Differenzierung)

Gegeben, Und = cos ⁻¹(−2 X ²)

⇒ cos Und = −2 X ²

Differenzierung beider Seiten bzgl. x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Vereinfachen

ohne²und + cos²y = 1

ohne²und + (-2x²)²= 1 {Da cos y = -2x²}

ohne²y + 4x⁴= 1

ohne²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Indem wir den erhaltenen Wert einsetzen, erhalten wir:

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Methode 2 (Verwendung der Kettenregel, da wir die Differentiation von cos invers x kennen)

Gegeben, Und = cos ⁻¹(−2 X ²)

Differenzierung beider Seiten bzgl. x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Beispiel 5: Differenzieren egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Lösungen:

Lassen,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Differenzierung beider Seiten bzgl. x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Fragen zur inversen trigonometrischen Ableitung

Probieren Sie die folgenden Fragen zu Fragen zur inversen trigonometrischen Ableitung aus

F1: Sünde unterscheiden ^-1 (3x – 4x ³ ) für x ϵ -1/2