Was sind die Faktoren von 45? 1, 3, 5, 9, 15 und 45.
Sie fragen sich, wie ich auf diese Zahlen gekommen bin? Factoring! Da es eine mathematische Grundlage für kompliziertere Systeme bietet, ist das Erlernen der Faktorisierung von entscheidender Bedeutung. Egal, ob Sie für einen Algebra-Test lernen, sich für den SAT oder ACT auffrischen oder einfach nur auffrischen und sich daran erinnern möchten, wie man Zahlen für höhere Mathematikstufen faktorisiert, dies ist der Leitfaden für Sie.
Was ist Factoring?
Factoring ist das Verfahren zum Finden jeder ganzen Zahl, die mit einer anderen ganzen Zahl multipliziert werden kann, um eine Zielzahl zu ergeben . Beide Vielfachen sind Faktoren der Zielzahl.
Das Faktorisieren von Zahlen mag wie eine mühsame Aufgabe oder ein Auswendiglernen ohne Endziel erscheinen, aber das Faktorisieren ist eine Technik, die dabei hilft, das Rückgrat viel komplexerer mathematischer Prozesse zu bilden.
Ohne zu wissen, wie man faktorisiert, wäre es geradezu schwierig (wenn nicht unmöglich), Polynome und Infinitesimalrechnung zu verstehen, und es wäre sogar noch schwieriger, einfache Aufgaben wie das Aufteilen eines Schecks im Kopf zu lösen.
Was sind die Faktoren von 45? Faktorisierung in Aktion
Dieses Konzept ist möglicherweise schwer vorstellbar. Werfen wir daher einen Blick auf alle Faktoren von 45, um diesen Prozess in Aktion zu sehen. Die Faktoren von 45 sind die Zahlenpaare, die miteinander multipliziert den Wert 45 ergeben :
1 & 45 (weil 1 * 45 = 45)
3 & 15 (weil 3 * 15 = 45)
5 & 9 (weil 5 * 9 = 45)
Also in Listenform, Die 45 Faktoren sind 1, 3, 5, 9, 15 und 45 .
Zum Glück sind für die Faktorisierung nur die beiden obersten Funktionen in diesem Bild erforderlich (juhu!)
Primfaktorisierung und die Primfaktoren von 45
Eine Primzahl ist jede ganze Zahl größer als 1, die dies kann nur (gleichmäßig) durch 1 und sich selbst geteilt werden. Eine Liste der kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... und so weiter.
Prime Faktorisierung bedeutet, die Primzahlfaktoren einer Zielzahl zu finden, die, wenn sie miteinander multipliziert werden, dieser Zielzahl entsprechen. Wenn wir also 45 als Zielzahl verwenden, möchten wir nur die Primfaktoren von 45 finden, die miteinander multipliziert werden müssen, um 45 zu ergeben.
Aus der obigen Liste der Faktoren 45 wissen wir, dass nur einige dieser Faktoren (3 und 5) Primzahlen sind. Aber wir wissen auch, dass 3 * 5 dies tut nicht gleich 45. 3 * 5 ist also eine unvollständige Primfaktorzerlegung.
Der einfachste Weg, einen zu finden vollständig Bei der Primfaktorzerlegung einer gegebenen Zielzahl wird im Wesentlichen eine Division auf dem Kopf verwendet und nur durch die kleinste Primzahl dividiert, die in jedes Ergebnis passt.
Zum Beispiel:
Teilen Sie die Zielzahl (45) durch die kleinste Primzahl, die darin berücksichtigt werden kann. In diesem Fall ist es 3.
Am Ende erhalten wir 15. Teilen Sie nun 15 durch die kleinste Primzahl, die darin berücksichtigt werden kann. In diesem Fall ist es wieder 3.
Am Ende erhalten wir ein Ergebnis von 5. Teilen Sie nun 5 durch die kleinste Primzahl, die darin berücksichtigt werden kann. In diesem Fall ist es 5.
Damit haben wir nur noch 1, also sind wir fertig.
Bei der Primfaktorzerlegung handelt es sich um alle miteinander multiplizierten Zahlen „außen“. Wenn man sie miteinander multipliziert, ergibt sich ein Ergebnis von 45. (Hinweis: Wir schließen die 1 nicht mit ein, da 1 keine Primzahl ist.)
Unsere endgültige Primfaktorzerlegung von 45 ist 3 * 3 * 5.
Eine andere Art von Prime.
Die Faktoren einer beliebigen Zahl herausfinden
Bei der Ermittlung von Faktoren Der schnellste Weg besteht darin, den Faktor zu finden Paare wie wir es zuvor für alle Faktoren von 45 getan haben. Indem Sie die Paare finden, halbieren Sie Ihre Arbeit, da Sie sowohl den kleinsten als auch den größten Faktor gleichzeitig finden.
Der schnellste Weg, alle Faktorpaare herauszufinden, die Sie zum Faktorisieren der Zielzahl benötigen, besteht darin, die Ersatzwurzel der Zielzahl (oder die Quadratwurzel und das Abrunden auf die nächste ganze Zahl) zu ermitteln und diese Zahl als Ihre zu verwenden anhalten Punkt für die Suche nach kleinen Faktoren.
Warum? Denn Sie haben bereits alle Faktoren gefunden, die größer als das Quadrat sind, indem Sie die Faktorpaare kleinerer Faktoren ermittelt haben. Und Sie werden diese Faktoren nur dann wiederholen, wenn Sie weiterhin versuchen, Faktoren zu finden, die größer als die Quadratwurzel sind.
Machen Sie sich keine Sorgen, wenn das jetzt verwirrend klingt! Anhand eines Beispiels zeigen wir Ihnen, wie Sie Zeitverschwendung bei der erneuten Suche nach denselben Faktoren vermeiden können.
Sehen wir uns also die Methode in Aktion an, um alle Faktoren von 64 zu finden:
Ziehen wir zunächst die Quadratwurzel aus 64.
√64 = 8
Jetzt wissen wir nur Konzentrieren Sie sich auf die ganzen Zahlen 1 bis 8, um die erste Hälfte aller unserer Faktorpaare zu finden.
#1: Unser erstes Faktorpaar wird 1 und 64 sein
#2: 64 ist eine gerade Zahl, daher wird unser nächstes Faktorpaar 2 und 32 sein.
#3: 64 kann nicht gleichmäßig durch 3 geteilt werden, daher ist 3 KEIN Faktor.
#4: 64/4 = 16, also wird unser nächstes Faktorpaar 4 und 16 sein.
#5: 64 ist nicht gleichmäßig durch 5 teilbar, daher ist 5 KEIN Faktor von 64.
#6: 6 geht nicht gleichmäßig in 64 über, daher ist 6 KEIN Faktor von 64.
#7: 7 passt nicht gleichmäßig in 64, also ist 7 KEIN Faktor von 64.
#8: 8 * 8 (8 zum Quadrat) ist gleich 64, also ist 8 ein Faktor von 64.
Und wir können hier aufhören, denn 8 ist die Quadratwurzel von 64. Wenn wir weiterhin versuchen würden, Faktoren zu finden, würden wir nur die größeren Zahlen aus unseren früheren Faktorpaaren (16, 32, 64) wiederholen.
Unsere endgültige Liste der Faktoren von 64 ist 1, 2, 4, 8, 16, 32 und 64.
Faktoren (wie Entenküken) sind paarweise immer besser.
Verknüpfungen zur Faktorfindung
Nun wollen wir sehen, wie wir das können schnell Finden Sie die kleinsten Faktoren (und damit die Faktorpaare) einer Zielzahl. Im Folgenden habe ich einige hilfreiche Tricks beschrieben, mit denen Sie feststellen können, ob die Zahlen 1–11 Teiler einer bestimmten Zahl sind.
1) Wenn Sie eine Zahl faktorisieren möchten, können Sie immer sofort mit zwei Faktoren beginnen: 1 und der Zielzahl (z. B. 1 und 45, wenn Sie 45 faktorisieren). Jede Zahl (außer 0) kann immer mit 1 multipliziert werden, um sich selbst zu entsprechen 1 Wille stets ein Faktor sein.
2) Wenn die Zielzahl gerade ist, betragen Ihre nächsten Faktoren zweieinhalb der Zielzahl. Wenn die Zahl ungerade ist, wissen Sie automatisch, dass sie nicht durch 2 geteilt werden kann und 2 daher KEIN Faktor ist. (Wenn die Zielzahl tatsächlich ungerade ist, hat sie KEINE Faktoren einer geraden Zahl.)
3) Eine schnelle Möglichkeit herauszufinden, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, besteht darin, die Ziffern der Zielzahl zu addieren. Wenn 3 ein Faktor der Ziffernsumme ist, dann ist 3 auch ein Faktor der Zielzahl.
Angenommen, unsere Zielzahl ist 117 und wir müssen sie faktorisieren. Wir können herausfinden, ob 3 ein Faktor ist, indem wir die Ziffern der Zielzahl (117) addieren:
1 + 1 + 7 = 9
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3 kann mit 3 multipliziert werden, um 9 zu ergeben, sodass 3 gleichmäßig in 117 gehen kann.
117/3 = 39
3 und 39 sind Faktoren von 117.
4) Eine Zielzahl hat nur dann den Faktor 4, wenn diese Zielzahl gerade ist . Wenn dies der Fall ist, können Sie herausfinden, ob 4 ein Faktor ist, indem Sie sich das Ergebnis eines früheren Faktorpaars ansehen. Wenn bei der Division einer Zielzahl durch 2 das Ergebnis immer noch gerade ist, ist die Zielzahl auch durch 4 teilbar. Andernfalls hat die Zielzahl NICHT den Faktor 4.
Zum Beispiel:
18/2 = 9. 18 ist NICHT durch 4 teilbar, da 9 eine ungerade Zahl ist.
56/2 = 28. 56 ist durch 4 teilbar, weil 28 eine gerade Zahl ist.
5) 5 wird ein sein Faktor aller Zahlen, die auf die Ziffern 5 oder 0 enden . Wenn das Ziel mit einer anderen Zahl endet, hat es keinen Faktor 5.
6) 6 wird immer ein Faktor einer Zielzahl sein wenn die Zielzahl Faktoren von SOWOHL 2 als auch 3 hat . Wenn nicht, wird 6 kein Faktor sein.
7) Bedauerlicherweise, Es gibt keine Abkürzungen, um herauszufinden, ob 7 ein Faktor ist einer Zahl anders, als sich die Vielfachen von 7 zu merken.
8) Wenn das Ziel Wenn die Zahl NICHT die Faktoren 2 und 4 hat, wird sie auch keinen Faktor 8 haben . Wenn es die Faktoren 2 und 4 hat, ist es könnte haben einen Faktor von 8, aber Sie müssen dividieren, um es zu sehen (leider gibt es dafür keinen Trick, der darüber hinausgeht und sich die Vielfachen von 8 merkt).
9) Sie können herausfinden, ob 9 ein Faktor ist, indem Sie Addition der Ziffern der Zielzahl . Wenn sie ein Vielfaches von 9 ergeben, hat die Zielzahl tatsächlich den Faktor 9.
Zum Beispiel:
42 → 4 + 2 = 6. 6 ist NICHT durch 9 teilbar, also ist 9 KEIN Faktor von 42.
72→ 7 + 2 = 9. 9 ist durch 9 teilbar (offensichtlich!), also ist 9 ein Faktor von 72.
10) Wenn ein Ziel Zahl endet auf 0 , dann hat es immer einen Faktor von 10. Wenn nicht, ist 10 kein Faktor.
elf) Wenn eine Zielnummer a ist zweistellige Zahl, bei der sich beide Ziffern wiederholen (22, 33, 66, 77…), dann hat es 11 als Faktor. Handelt es sich um eine dreistellige Zahl oder höher, müssen Sie einfach selbst testen, ob sie durch 11 teilbar ist.
12+) Zu diesem Zeitpunkt haben Sie wahrscheinlich bereits Ihre größeren Zahlen wie 12, 13 und 14 gefunden, indem Sie Ihre kleineren Faktoren ermittelt und Faktorpaare gebildet haben. Wenn nicht, müssen Sie sie manuell testen, indem Sie sie durch Ihre Zielzahl dividieren.
Wenn Sie Ihre Quick-Factoring-Techniken erlernen, werden all diese lästigen Teile von selbst zusammenpassen.
Tipps zum Merken von 45 Faktoren
Wenn Ihr Ziel darin besteht, sich alle Faktoren von 45 zu merken, können Sie jederzeit die oben genannten Techniken zum Finden von Faktorpaaren verwenden.
Die Quadratwurzel von 45 liegt irgendwo zwischen 6 und 7 (6^2 = 36 und 7^2 = 49). Runden Sie auf 6 ab. Dies ist die größte kleine Zahl, die Sie testen müssen.
Sie wissen, dass das erste Paar automatisch 1 und 45 sein wird. Sie wissen auch, dass 2, 4 und 6 keine Faktoren sind, da 45 eine ungerade Zahl ist.
4 + 5 = 9, also ist 3 ein Faktor (ebenso wie 15, weil 45/3 = 15).
Und schließlich endet 45 mit 5, also ist 5 ein Faktor (ebenso wie 9, weil 45/5 = 9).
Das zeigt es du kannst immer finde es heraus Sie können die Faktoren von 45 extrem schnell berechnen, auch wenn Sie sich die genauen Zahlen in der Liste nicht gemerkt haben.
Oder, wenn Sie sich lieber alle 45 Faktoren gezielt merken möchten, könnten Sie sich Folgendes merken: Um 45 zu faktorisieren, benötigen Sie lediglich die kleinsten drei ungeraden Zahlen (1, 3, 5) . Jetzt kombinieren Sie sie einfach mit ihren entsprechenden Vielfachen, um 45 (45, 15, 9) zu erhalten.
Fazit: Warum Factoring wichtig ist
Das Faktorisieren bildet die Grundlage für höhere Formen des mathematischen Denkens. Daher wird Ihnen das Erlernen des Faktorisierens sowohl bei Ihren aktuellen als auch bei zukünftigen mathematischen Unternehmungen von großem Nutzen sein.
Ganz gleich, ob Sie zum ersten Mal lernen oder sich einfach nur die Zeit nehmen, Ihr Wissen über Faktoren aufzufrischen: Wenn Sie die Schritte unternehmen, um diese Prozesse zu verstehen (und die Tricks kennen, wie Sie Ihre Faktoren am effizientesten erhalten), gelangen Sie dahin, wo Sie hin wollen sei in deinem mathematischen Leben.
Viel Spaß beim Factoring!