Die Gleichung einer Geraden in einer Ebene ist gegeben als y = mx + C Dabei sind x und y die Koordinaten der Ebene, m die Steigung der Geraden und C der Achsenabschnitt. Die Konstruktion einer Linie ist jedoch nicht nur auf eine Ebene beschränkt.

Wir wissen, dass eine Linie ein Weg zwischen zwei Punkten ist. Diese beiden Punkte können überall liegen, sei es in einer einzelnen Ebene oder im Raum. Im Fall einer Ebene wird die Position der Linie durch zwei in einem geordneten Paar angeordnete Koordinaten gekennzeichnet, die als (x, y) angegeben sind, während im Fall des Raums die Position des Punktes durch drei Koordinaten gekennzeichnet ist, die als (x) ausgedrückt werden , y, z).

In diesem Artikel lernen wir die verschiedenen Formen von Liniengleichungen im 3D-Raum kennen.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Geradengleichung?
• Liniengleichung in 3D
• Kartesische Form der Liniengleichung in 3D
• Vektorform der Liniengleichung in 3D
• Formeln für 3D-Linien
• Gelöste Beispiele zur Gleichung einer Linie in 3D

Was ist eine Geradengleichung?

Die Geradengleichung ist eine algebraische Möglichkeit, eine Gerade durch die Koordinaten der Punkte auszudrücken, die sie verbindet. Die Gleichung einer Geraden lautet immer a Lineargleichung .

Wenn wir versuchen, die aus einer linearen Gleichung erhaltenen Punkte darzustellen, ergibt sich ein gerade Linie . Die Standardgleichung einer Geraden lautet:

ax + by + c = 0

Wo,

• a und b sind Koeffizienten von x und y
• c ist der konstante Term

Andere Formen der Geradengleichung sind unten aufgeführt:

Jetzt lernen wir die Gleichung der Linie in 3D.

Liniengleichung in 3D

Die Geradengleichung in 3D erfordert zwei Punkte, die im Raum liegen. Die Position jedes Punktes wird anhand von drei Koordinaten angegeben, die als (x, y, z) ausgedrückt werden.

Die 3D-Gleichung einer Linie wird in zwei Formaten angegeben: kartesische Form Und Vektorform . In diesem Artikel lernen wir die Gleichung einer Linie in 3D sowohl in kartesischer als auch in Vektorform kennen und lernen auch, die Gleichung abzuleiten. Nachfolgend sind die verschiedenen Fälle der Geradengleichung aufgeführt:

• Kartesische Linienform
  • Linie, die durch zwei Punkte verläuft
  • Linie, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft
• Vektorform der Linie
  • Linie, die durch zwei Punkte verläuft
  • Linie, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft

Kartesische Form der Liniengleichung in 3D

Die kartesische Linienform ergibt sich aus den Koordinaten zweier Punkte im Raum, von denen aus die Linie verläuft. Hier werden wir zwei Fälle besprechen, wenn eine Linie durch zwei Punkte verläuft und wenn eine Linie durch Punkte verläuft und parallel zu einem Vektor verläuft.

Fall 1: 3D-Gleichung einer Linie in kartesischer Form, die durch zwei Punkte verläuft

Nehmen wir an, wir haben zwei Punkte A und B, deren Koordinaten A(x) sind₁, Und₁, Mit₁) und B(x₂, Und₂, Mit₂).

Dann ist die 3D-Gleichung einer Geraden in kartesischer Form gegeben als

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Dabei sind x, y und z rechtwinklige Koordinaten.

Herleitung der Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft

Wir können die kartesische Form der 3D-Gleichung einer geraden Linie mithilfe der folgenden Schritte ableiten:

• Schritt 1: Ermitteln Sie die DRs (Richtungsverhältnisse), indem Sie die Differenz der entsprechenden Positionskoordinaten der beiden angegebenen Punkte bilden. l = (x₂- X₁), M = (und₂- Und₁), N = (z₂- Mit₁); Hier l, m, n sind die DRs.
• Schritt 2: Wählen Sie einen der beiden vorgegebenen Punkte, sagen wir: Wir wählen (X₁, Und₁, Mit₁).
• Schritt 3: Schreiben Sie die erforderliche Gleichung der geraden Linie, die durch die Punkte verläuft (X₁, Und₁, Mit₁) und (x₂, Und₂, Mit₂).
• Schritt 4: Die 3D-Gleichung einer Geraden in kartesischer Form wird als L : (x – x) angegeben₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(Und₂- Und₁) = (z – z₁)/(Mit₂- Mit₁)

Wo (X und Z) sind die Positionskoordinaten eines beliebigen variablen Punktes, der auf der Geraden liegt.

Beispiel: Wenn eine gerade Linie durch die beiden festen Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft, deren Positionskoordinaten P (2, 3, 5) und Q (4, 6, 12) sind, dann ist ihre kartesische Gleichung in der Zweipunktform gegeben durch

Lösung:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Auswahl des Punktes P (2, 3, 5)

Die erforderliche Geradengleichung

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Fall 2: 3D-Gleichung einer kartesischen Linie, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft

Nehmen wir an, die Gerade geht durch einen Punkt P(x₁, Und₁, Mit₁) und ist parallel zu einem Vektor gegeben alsvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Dann ist die Geradengleichung gegeben als

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Dabei sind x, y, z rechtwinklige Koordinaten und a, b, c Richtungskosinusse.

Baum- und Graphentheorie

Ableitung einer 3D-Gleichung einer kartesischen Linie, die durch einen Punkt und parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft

Nehmen wir an, wir haben einen Punkt P, dessen Positionsvektor gegeben ist alsvec pvom Ursprung. Die Gerade, die durch P geht, sei parallel zu einem anderen Vektorvec n. Nehmen wir einen Punkt R auf der Linie, die durch P geht, dann ist der Positionsvektor von R gegeben alsvec r .

Da ist PR parallel zuvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Wenn wir uns nun auf der Linie PR bewegen, hat die Koordinate jedes Punktes, der auf der Linie liegt, die Koordinate in der Form (x₁+ λa), (und₁+ λb), (z₁+ λc), wobei λ ein Parameter ist, dessen Wert von -∞ bis +∞ reicht, abhängig von der Richtung von P, in die wir uns bewegen.

Daher sind die Koordinaten des neuen Punktes

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/A

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/B

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/C

Wenn wir die obigen drei Gleichungen vergleichen, erhalten wir die Geradengleichung als

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Beispiel: Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt (2, 1, 3) verläuft und parallel zu einem Vektor 3i – 2j + k verläuft

Lösung:

Die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem Vektor verläuft, lautet:

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/C

Aus der Frage, die wir haben, x₁= 2, und₁= 1, z₁= 3 und a = 3, b = -2 und c = k. Daher lautet die erforderliche Geradengleichung

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorform der Liniengleichung in 3D

Die Vektorform der Liniengleichung in 3D wird mithilfe einer Vektorgleichung angegeben, die den Positionsvektor der Punkte beinhaltet. In dieser Überschrift erhalten wir die 3D-Gleichung der Linie in Vektorform für zwei Fälle.

Fall 1: 3D-Gleichung einer durch zwei Punkte verlaufenden Linie in Vektorform

Nehmen wir an, wir haben zwei Punkte A und B, deren Positionsvektor gegeben ist alsvec aUndvec b.

Dann ist die Vektorgleichung der Linie L gegeben als

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Wo(vec b – vec a)ist der Abstand zwischen zwei Punkten und λ ist der Parameter, der liegt an der Leitung.

Ableitung einer 3D-Gleichung einer durch zwei Punkte verlaufenden Linie in Vektorform

Angenommen, wir haben zwei Punkte A und B, deren Positionsvektor angegeben ist alsvec aUndvec b. Jetzt wissen wir, dass eine Linie der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten ist. Daher müssen wir die beiden Positionsvektoren subtrahieren, um den Abstand zu erhalten.

⇒vec d = vec b – vec a

Jetzt wissen wir, dass jeder Punkt auf dieser Linie als Summe des Positionsvektors angegeben wirdvec a space or space vec b mit dem Produkt aus dem Parameter λ und dem Ortsvektor des Abstands zwischen zwei Punkten, d.h.vec d

Daher lautet die Gleichung der Geraden in Vektorformvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)odervec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Beispiel: Finden Sie die Vektorgleichung einer Linie in 3D, die durch zwei Punkte verläuft, deren Positionsvektoren als 2i + j – k und 3i + 4j + k angegeben sind

Lösung:

Vorausgesetzt, die beiden Positionsvektoren sind als 2i + j – k und 3i + 4j + k gegeben

Abstand d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Wir wissen, dass die Geradengleichung wie folgt lautet:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Daher lautet die Geradengleichungvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Fall 2: Vektorform der 3D-Gleichung einer Linie, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem Vektor verläuft

Nehmen wir an, wir haben einen Punkt P, dessen Positionsvektor gegeben ist alsvec p. Diese Gerade sei parallel zu einer anderen Geraden, deren Positionsvektor gegeben ist alsvec d .

Dann ist die Vektorgleichung der Geraden „l“ gegeben als

vec l = vec p + lambda vec d

wobei λ der Parameter ist, der auf der Geraden liegt.

Ableitung der Vektorform der 3D-Gleichung einer Linie, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem Vektor verläuft

Betrachten Sie einen Punkt P, dessen Positionsvektor gegeben ist alsvec p. Nehmen wir nun an, diese Gerade sei parallel zu einem Vektorvec ddann lautet die Geradengleichungvec l = lambda vec d. Da die Linie nun auch durch Punkt P verläuft, hat der Positionsvektor des Punktes die Form, wenn wir uns von Punkt P in beide Richtungen auf der Linie entfernenvec p + lambda vec d . Daher lautet die Geradengleichungvec l = vec p + lambda vec dwobei λ der Parameter ist, der auf der Geraden liegt.

Beispiel: Finden Sie die Vektorform der Gleichung der Geraden, die durch den Punkt (-1, 3, 2) und parallel zu einem Vektor 5i + 7j – 3k verläuft.

in.next Java

Lösung:

Wir wissen, dass die Vektorform der Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem Vektor verläuft, wie folgt lautet:vec l = vec p + lambda vec d

Vorausgesetzt, der Punkt ist (-1, 3, 2), dann ist der Positionsvektor des Punktes -i + 3j + 2k und der gegebene Vektor ist 5i + 7j – 3k.

Daher lautet die erforderliche Geradengleichungvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Formeln für 3D-Linien

Ähnliche Lektüre

• Gleichung einer Geraden
• Tangente und Normale
• Steigung der Linie

Gelöste Beispiele zur Gleichung einer Linie in 3D

Üben Sie Liniengleichungen in 3D mit diesen gelösten Übungsfragen.

Beispiel 1: Wenn eine gerade Linie durch die beiden festen Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft, deren Positionsvektoren (2 i + 3 j + 5 k) und (4 i + 6 j + 12 k) sind, dann verwendet ihre Vektorgleichung den Zweipunkt Form ist gegeben durch

Lösung:

{vec {p}}= (4 ich + 6 J + 12 k ) - (2 ich + 3 J + 5 k )

{vec {p}}= (2 ich + 3 J + 7 k ); Hier{vec {p}}ist ein Vektor parallel zur Geraden

Auswahl des Ortsvektors (2 ich + 3 J + 5 k )

Die erforderliche Geradengleichung

L:{vec {r}}= (2 ich + 3 J + 5 k ) + T . (2 ich + 3 J + 7 k )

Beispiel 2: Wenn eine gerade Linie durch die beiden festen Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft, deren Positionskoordinaten (3, 4, -7) und (1, -1, 6) sind, dann verwendet ihre Vektorgleichung den Zweipunkt Form ist gegeben durch

Lösung:

Positionsvektoren der gegebenen Punkte sind (3 i + 4 j – 7 k) und (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ; Hier{vec {p}}ist ein Vektor parallel zur Geraden

Wahl des Ortsvektors (i – j + 6 k)

Die erforderliche Geradengleichung

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + T . (2 i + 5 j – 13 k)

Beispiel 3: Wenn eine gerade Linie durch die beiden festen Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft, deren Positionsvektoren (5 i + 3 j + 7 k) und (2 i + j – 3 k) sind, dann verwendet ihre Vektorgleichung die Zweipunktform ist gegeben durch

Lösung:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k) ; Hier{vec {p}}ist ein Vektor parallel zur Geraden

Wahl des Ortsvektors (2 i + j – 3 k)

Die erforderliche Geradengleichung

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + T . (3 i + 2 j + 10k)

Beispiel 4: Wenn eine gerade Linie durch die beiden festen Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft, deren Positionskoordinaten A (2, -1, 3) und B (4, 2, 1) sind, dann verwendet ihre kartesische Gleichung den Zweipunkt Form ist gegeben durch

Lösung:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Auswahl des Punktes A (2, -1, 3)

Die erforderliche Geradengleichung

govinda

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 oder

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Beispiel 5: Wenn eine gerade Linie durch die beiden festen Punkte im dreidimensionalen Raum verläuft, deren Positionskoordinaten X (2, 3, 4) und Y (5, 3, 10) sind, dann ist ihre kartesische Gleichung in der Zweipunktform gegeben durch

Lösung:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Auswahl des Punktes X (2, 3, 4)

Die erforderliche Geradengleichung

L: (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 oder

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Gleichung einer Linie in 3D – FAQs

Was ist eine Liniengleichung in 3D?

Die Gleichung einer Linie in 3D wird als (x – x) angegeben₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(Und₂- Und₁) = (z – z₁)/(Mit₂- Mit₁)

Was ist die kartesische Form der Gleichung einer Linie in 3D?

Für zwei Fälle wird die kartesische Form der Liniengleichung in 3D angegeben

Fall 1: Wenn die Linie durch zwei Punkte verläuft:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Fall 2: Wenn eine Gerade durch einen Punkt verläuft und parallel zu einem Vektor ist:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Was ist die Vektorform der Gleichung einer Linie in 3D?

Die Vektorform der Gleichung einer Linie in 3D wird für zwei Fälle angegeben:

Fall 1: Linie, die durch zwei Punkte verläuft:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Fall 2: Linie verläuft durch einen Punkt und parallel zu einem Vektor:vec l = vec p + lambda vec d

Was ist die Steigungspunktgleichung einer Linie?

Die Steigungspunktgleichung einer Linie wird als y = mx + C angegeben, wobei m die Steigung ist

Was ist die Standardgleichung einer Geraden?

Die Standardgleichung einer Geraden lautet ax + by + c = 0