Angenommen, es gibt zwei Formeln, X und Y. Diese Formeln werden als Äquivalenz bezeichnet, wenn X ↔ Y eine Tautologie ist. Wenn zwei Formeln X ↔ Y eine Tautologie sind, können wir sie auch als X ⇔ Y schreiben und diese Beziehung als Äquivalenz von X zu Y lesen.

Hinweis: Es gibt einige Punkte, die wir bei der linearen Äquivalenz der Formel beachten sollten. Diese werden wie folgt beschrieben:

• ⇔ wird nur als Symbol verwendet, ist jedoch nicht konnektiv.
• Der Wahrheitswert von X und Y ist immer gleich, wenn X ↔ Y eine Tautologie ist.
• Die Äquivalenzrelation enthält zwei Eigenschaften, nämlich symmetrisch und transitiv.

Methode 1: Wahrheitstabellenmethode:

Bei dieser Methode erstellen wir die Wahrheitstabellen einer beliebigen Formel mit zwei Aussagen und prüfen dann, ob diese Aussagen äquivalent sind.

Beispiel 1: In diesem Beispiel müssen wir X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) beweisen.

Lösung: Die Wahrheitstabelle von X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) wird wie folgt beschrieben:

Wie wir sehen können, ist X ∨ Y und ¬(¬X ∧ ¬Y) eine Tautologie. Daher X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Beispiel 2: In diesem Beispiel müssen wir (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) beweisen.

Lösung: Die Wahrheitstabelle von (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) wird wie folgt beschrieben:

Wie wir sehen können, sind X → Y und (¬X ∨ Y) eine Tautologie. Daher (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Äquivalenzformel:

Es gibt verschiedene Gesetze, die zum Beweis der Äquivalenzformel verwendet werden, die wie folgt beschrieben wird:

Idempotentes Gesetz: Wenn es eine Anweisungsformel gibt, enthält diese die folgenden Eigenschaften:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Assoziatives Recht: Wenn drei Anweisungsformeln vorhanden sind, enthält sie die folgenden Eigenschaften:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Kommutativgesetz: Wenn zwei Anweisungsformeln vorhanden sind, enthält sie die folgenden Eigenschaften:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Verteilungsrecht: Wenn drei Anweisungsformeln vorhanden sind, enthält sie die folgenden Eigenschaften:

Java einschalten

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Identitätsrecht: Wenn es eine Anweisungsformel gibt, enthält diese die folgenden Eigenschaften:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Komplementgesetz: Wenn es eine Anweisungsformel gibt, enthält diese die folgenden Eigenschaften:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Absorptionsgesetz: Wenn zwei Anweisungsformeln vorhanden sind, enthält sie die folgenden Eigenschaften:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Aus Morgans Gesetz: Wenn zwei Anweisungsformeln vorhanden sind, enthält sie die folgenden Eigenschaften:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Methode 2: Austauschprozess

Bei dieser Methode gehen wir von einer Formel A : X → (Y → Z) aus. Die Formel Y → Z kann als Teil der Formel bezeichnet werden. Wenn wir diesen Teil der Formel, also Y → Z, mit Hilfe der Äquivalenzformel ¬Y ∨ Z in A ersetzen, dann erhalten wir eine andere Formel, also B : X → (¬Y ∨ Z). Es ist ein einfacher Prozess, zu überprüfen, ob die angegebenen Formeln A und B zueinander äquivalent sind oder nicht. Mit Hilfe des Ersetzungsprozesses können wir B aus A erhalten.

Beispiel 1: In diesem Beispiel müssen wir beweisen, dass {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Lösung: Hier nehmen wir den linken Seitenteil und versuchen, den rechten Seitenteil zu bekommen.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Jetzt verwenden wir das Assoziativgesetz wie folgt:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Jetzt verwenden wir das Gesetz von De Morgan wie folgt:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Somit bewiesen

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Beispiel 2: In diesem Beispiel müssen wir beweisen, dass {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Lösung: Hier nehmen wir den linken Seitenteil und versuchen, den rechten Seitenteil zu bekommen.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Somit bewiesen

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Beispiel 3: In diesem Beispiel müssen wir beweisen, dass X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Lösung: Hier nehmen wir den linken Seitenteil und versuchen, den rechten Seitenteil zu bekommen.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Somit bewiesen

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Beispiel 4: In diesem Beispiel müssen wir beweisen, dass (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Lösung: Hier nehmen wir den linken Seitenteil und versuchen, den rechten Seitenteil zu bekommen.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Jetzt verwenden wir die assoziativen und distributiven Gesetze wie folgt:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Jetzt verwenden wir das Gesetz von De Morgan wie folgt:

Shehzad Poonawala

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Jetzt verwenden wir das Distributivgesetz wie folgt:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Somit bewiesen

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Beispiel 5: In diesem Beispiel müssen wir zeigen, dass ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) eine Tautologie ist.

Lösung: Hier werden wir kleine Teile nehmen und sie lösen.

Zuerst verwenden wir das Gesetz von De Morgan und erhalten Folgendes:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Daher,

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Auch

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Somit

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Daher

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Daher können wir sagen, dass die gegebene Formel eine Tautologie ist.

Beispiel 6: In diesem Beispiel müssen wir zeigen, dass (X ∧ Y) → (X ∨ Y) eine Tautologie ist.

Lösung: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Jetzt verwenden wir das Gesetz von De Morgan wie folgt:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Jetzt verwenden wir das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz wie folgt:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Jetzt verwenden wir das Negationsgesetz wie folgt:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Daher können wir sagen, dass die gegebene Formel eine Tautologie ist.

Beispiel 7: In diesem Beispiel müssen wir die Negation einiger Aussagen schreiben, die wie folgt beschrieben werden:

1. Marry wird ihre Ausbildung abschließen oder den Beitrittsbrief der Firma XYZ annehmen.
2. Harry wird morgen reiten oder laufen gehen.
3. Wenn ich gute Noten bekomme, wird mein Cousin eifersüchtig sein.

Lösung: Zunächst lösen wir die erste Aussage wie folgt:

1. Angenommen, X: Marry wird ihre Ausbildung abschließen.

Y: Akzeptieren Sie das Beitrittsschreiben der Firma XYZ.

Wir können die folgende symbolische Form verwenden, um diese Aussage auszudrücken:

 X ∨ Y 

Die Negation von X ∨ Y wird wie folgt beschrieben:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Zusammenfassend lautet die Negation der gegebenen Aussage:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Angenommen, X: Harry macht eine Fahrt

Y: Harry wird morgen laufen

Wir können die folgende symbolische Form verwenden, um diese Aussage auszudrücken:

 X ∨ Y 

Die Negation von X ∨ Y wird wie folgt beschrieben:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Zusammenfassend lautet die Negation der gegebenen Aussage:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Angenommen, X: Wenn ich gute Noten bekomme.

Y: Mein Cousin wird eifersüchtig sein.

Wir können die folgende symbolische Form verwenden, um diese Aussage auszudrücken:

 X → Y 

Die Negation von X → Y wird wie folgt beschrieben:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Zusammenfassend lautet die Negation der gegebenen Aussage:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Beispiel 8: In diesem Beispiel müssen wir die Negation einiger Aussagen mit Hilfe des Gesetzes von De Morgan schreiben. Diese Aussagen werden wie folgt beschrieben:

1. Ich brauche einen Diamantenbesatz und einen Goldring im Wert.
2. Du bekommst einen guten Job oder du bekommst keinen guten Partner.
3. Ich nehme viel Arbeit in Anspruch und kann damit nicht umgehen.
4. Mein Hund macht einen Ausflug oder macht im Haus Chaos.

Lösung: Die Negation aller Aussagen mit Hilfe des Gesetzes von De Morgan wird einzeln wie folgt beschrieben:

1. Ich brauche keinen Diamantenbesatz oder keinen Goldring.
2. Einen guten Job bekommt man nicht, dafür bekommt man einen guten Partner.
3. Ich nehme mir nicht viel Arbeit, sonst kann ich damit umgehen.
4. Mein Hund macht keinen Ausflug und macht im Haus kein Chaos.

Beispiel 9: In diesem Beispiel haben wir einige Aussagen und müssen die Negation dieser Aussagen schreiben. Die Aussagen werden wie folgt beschrieben:

1. Wenn es regnet, wird der Plan, an den Strand zu gehen, gestrichen.
2. Wenn ich fleißig lerne, werde ich bei der Prüfung gute Noten bekommen.
3. Wenn ich bis spät in die Nacht auf eine Party gehe, werde ich von meinem Vater bestraft.
4. Wenn Sie nicht mit mir sprechen möchten, müssen Sie meine Nummer sperren.

Lösung: Die Negation aller Aussagen wird einzeln wie folgt beschrieben:

1. Wenn der Plan, an den Strand zu gehen, gestrichen wird, dann regnet es.
2. Wenn ich bei der Prüfung gute Noten bekomme, lerne ich fleißig.
3. Wenn ich von meinem Vater bestraft werde, gehe ich auf eine Late-Night-Party.
4. Wenn du meine Nummer sperren musst, dann willst du nicht mit mir reden.

Beispiel 10: In diesem Beispiel müssen wir prüfen, ob (X → Y) → Z und X → (Y → Z) logisch äquivalent sind oder nicht. Wir müssen unsere Antwort mit Hilfe von Wahrheitstabellen und mit Hilfe von Regeln der Logik begründen, um beide Ausdrücke zu vereinfachen.

Lösung: Zunächst prüfen wir mit Methode 1, ob (X → Y) → Z und X → (Y → Z) logisch äquivalent sind, was wie folgt beschrieben wird:

Java-Webdienste

Methode 1: Dabei gehen wir von Folgendem aus:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

Und

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Methode 2: Jetzt verwenden wir die zweite Methode. Bei dieser Methode verwenden wir die Wahrheitstabelle.

In dieser Wahrheitstabelle können wir sehen, dass die Spalten von (X → Y) → Z und X → (Y → Z) keine identischen Werte enthalten.