Mit der Standardabweichung lässt sich berechnen, wie weit die Daten verteilt sind. Sie können die Standardabweichungsformel verwenden, um den Durchschnitt der Durchschnittswerte mehrerer Datensätze zu ermitteln.
Verwirrt, was das bedeutet? Wie berechnet man die Standardabweichung? Mach dir keine Sorge! In diesem Artikel erläutern wir genau, was Standardabweichung ist und wie man sie ermittelt.
Was ist Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist eine Formel zur Berechnung der Durchschnittswerte mehrerer Datensätze. Mithilfe der Standardabweichung lässt sich ermitteln, wie nahe ein einzelner Datensatz am Durchschnitt mehrerer Datensätze liegt.
Es gibt zwei Arten von Standardabweichungen, die Sie berechnen können:
Bevölkerungsstandardabweichung ist, wenn Sie Daten sammeln von alle Mitglieder einer Population oder Menge . Für die Populationsstandardabweichung haben Sie einen festgelegten Wert für jede Person in der Population.
Standardabweichung der Stichprobe ist, wenn Sie Daten berechnen, die darstellen eine Stichprobe einer großen Bevölkerung . Im Gegensatz zur Populationsstandardabweichung ist die Stichprobenstandardabweichung eine Statistik. Sie nehmen nur Stichproben einer größeren Grundgesamtheit und verwenden nicht jeden einzelnen Wert wie bei der Grundgesamtheitsstandardabweichung.
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Die Gleichungen für beide Arten der Standardabweichung liegen ziemlich nahe beieinander, mit einem wesentlichen Unterschied: Bei der Populationsstandardabweichung wird die Varianz durch die Anzahl der Datenpunkte $(N)$ geteilt. Bei der Stichprobenstandardabweichung wird sie durch die Anzahl der Datenpunkte minus eins $(N-1)$ dividiert.
Standardabweichungsformel: So ermitteln Sie die Standardabweichung (Bevölkerung)
So können Sie die Populationsstandardabweichung manuell ermitteln:
- Berechnen Sie den Mittelwert (Durchschnitt) jedes Datensatzes.
- Subtrahieren Sie die Abweichung jedes Datenelements, indem Sie den Mittelwert von jeder Zahl subtrahieren.
- Quadrieren Sie jede Abweichung.
- Addieren Sie alle quadratischen Abweichungen.
- Teilen Sie den in Schritt vier erhaltenen Wert durch die Anzahl der Elemente im Datensatz.
- Berechnen Sie die Quadratwurzel des in Schritt fünf erhaltenen Werts.
Das ist eine Menge zum Erinnern! Sie können auch eine Standardabweichungsformel verwenden.
Die häufig verwendete Formel für die Standardabweichung der Grundgesamtheit lautet:
$$σ = √{(Σ(x - μ)^2)/N}$$
In dieser Formel:
$σ$ ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit
$Σ$ stellt die Summe von 1 bis $N$ dar (wenn also $N = 9$, dann ist $Σ = 8$)
$x$ ist ein individueller Wert
$μ$ ist der Durchschnitt der Bevölkerung
$N$ ist die Gesamtzahl der Bevölkerung
So ermitteln Sie die Standardabweichung (Grundgesamtheit): Beispielproblem
Sie haben 10 Steine gesammelt und messen deren Länge in Millimetern. Hier sind Ihre Daten:
3 $, 5, 5, 6, 12, 10, 14, 4, 5, 8 $
Nehmen wir an, Sie sollen die Populationsstandardabweichung der Länge der Felsen berechnen.
Hier sind die Schritte, um dieses Problem zu lösen:
#1: Berechnen Sie den Mittelwert der Daten
Berechnen Sie zunächst den Mittelwert der Daten. Sie finden den Durchschnitt des Datensatzes.
$(3 + 5 + 5 + 6 + 12 + 10 + 14 + 4 + 13 + 8) = 80$
80 $/10 = 8 $
#2: Subtrahieren Sie den Durchschnitt von jedem Datenpunkt und quadrieren Sie ihn dann
Als nächstes subtrahieren Sie den Durchschnitt von jedem Datenpunkt und quadrieren dann das Ergebnis.
$(3 - 8)^2 = 25$
$(5 - 8)^2 = 9$
$(5 - 8)^2 = 9$
$(6-8)^2 = 4$
$(12-8)^2 = 16$
$(10-8)^2 = 4$
$(14-8)^2 = 6$
$(4-8)^2 = 4$
$(5-8)^2 = 9$
$(8-8)^2 = 0$
#3: Berechnen Sie den Mittelwert dieser quadrierten Differenzen
Berechnen Sie als Nächstes den Mittelwert der quadrierten Differenzen:
25 $ + 9 + 9 + 4 + 16 + 4 + 6 + 4 + 9 + 0 = 86 $
86 $/10 = 8,6 $
Diese Zahl ist die Varianz. Die Varianz beträgt 8,6 $.
#4: Finden Sie die Quadratwurzel der Varianz
Um die Standardabweichung der Grundgesamtheit zu ermitteln, ermitteln Sie die Quadratwurzel der Varianz.
$√(8,6) = 2,93$
Sie können das Problem auch mit der Formel für die Standardabweichung der Grundgesamtheit lösen:
$σ = √{(Σ(x - μ)^2)/N}$
Der Ausdruck ${(Σ(x - μ)^2)/N}$ wird zur Darstellung der Populationsvarianz verwendet. Denken Sie daran, bevor wir herausfanden, dass die Varianz 8,6 $ beträgt.
Eingefügt in die Gleichung, die Sie erhalten
$σ = √{8,6}$
$σ = 2,93 $
So ermitteln Sie die Standardabweichung einer Stichprobe mithilfe der Standardabweichungsformel
Das Ermitteln der Stichprobenstandardabweichung mithilfe der Standardabweichungsformel ähnelt dem Ermitteln der Populationsstandardabweichung.
Dies sind die Schritte, die Sie unternehmen müssen, um die Standardabweichung der Stichprobe zu ermitteln.
- Berechnen Sie den Mittelwert (Durchschnitt) jedes Datensatzes.
- Subtrahieren Sie die Abweichung jedes Datenelements, indem Sie den Mittelwert von jeder Zahl subtrahieren.
- Quadrieren Sie jede Abweichung.
- Addieren Sie die gesamte quadratische Abweichung.
- Teilen Sie den in Schritt vier erhaltenen Wert durch eins weniger als die Anzahl der Elemente im Datensatz.
- Berechnen Sie die Quadratwurzel des in Schritt fünf erhaltenen Werts.
Schauen wir uns das in der Praxis an.
Angenommen, Ihr Datensatz beträgt 3, 2, 4, 5, 6 $.
#1: Berechnen Sie Ihren Mittelwert
Berechnen Sie zunächst Ihren Mittelwert:
$(3+2+4+5+6) = 20$
20 $/5 = 4 $
#2: Subtrahieren Sie den Mittelwert und quadrieren Sie das Ergebnis
Als nächstes subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem der Werte und quadrieren das Ergebnis.
$(3-4)^2 = 1$
$(2-4)^2 = 4$
$(4-4)^2 = 0$
$(5-4)^2 = 1$
$(6-4)^2 = 2$
#3: Alle Quadrate hinzufügen
Addieren Sie alle Quadrate.
1 $ + 4 + 0 + 1 + 2 = 8 $
#4: Subtrahieren Sie eins von der ursprünglichen Anzahl der Werte, die Sie hatten
Subtrahieren Sie eins von der Anzahl der Werte, mit denen Sie begonnen haben.
5-1 $ = 4 $
#5: Teilen Sie die Summe der Quadrate durch die Anzahl der Werte minus Eins
Teilen Sie die Summe aller Quadrate durch die Anzahl der Werte minus eins.
8 $ / 4 = 2 $
#6: Finden Sie das Quadrat
Ziehen Sie die Quadratwurzel dieser Zahl.
$√2 = 1,41$
Wann ist die Grundgesamtheits-Standardabweichungsformel zu verwenden und wann ist die Stichproben-Standardabweichungsformel zu verwenden?
Die Gleichungen für beide Arten der Standardabweichung sind sehr ähnlich. Sie fragen sich vielleicht: Wann sollte ich die Formel für die Populationsstandardabweichung verwenden? Wann sollte ich die Stichprobenstandardabweichungsformel verwenden?
Die Antwort auf diese Frage liegt in der Größe und Art Ihres Datensatzes. Wenn Sie über einen größeren, allgemeineren Datensatz verfügen, verwenden Sie die Stichprobenstandardabweichung. Wenn Sie spezifische Datenpunkte von jedem Mitglied eines kleinen Datensatzes haben, verwenden Sie die Populationsstandardabweichung.
Hier ist ein Beispiel:
Wenn Sie die Testergebnisse einer Klasse analysieren, verwenden Sie die Populationsstandardabweichung. Das liegt daran, dass Sie für jedes Mitglied der Klasse jede Punktzahl haben.
Wenn Sie die Auswirkungen von Zucker auf Fettleibigkeit bei Menschen im Alter von 30 bis 45 Jahren analysieren, verwenden Sie die Stichprobenstandardabweichung, da Ihre Daten eine größere Menge darstellen.
Python-Initialisierungsliste
Zusammenfassung: So ermitteln Sie die Stichprobenstandardabweichung und die Populationsstandardabweichung
Die Standardabweichung ist eine Formel zur Berechnung der Durchschnittswerte mehrerer Datensätze. Es gibt zwei Standardabweichungsformeln: die Populationsstandardabweichungsformel und die Stichprobenstandardabweichungsformel.
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