Integration in Teilstücken: Die partielle Integration ist eine Technik, die in der Analysis verwendet wird, um das Integral des Produkts zweier Funktionen zu ermitteln. Es handelt sich im Wesentlichen um eine Umkehrung der Produktregel zur Differenzierung.

Die Integration einer Funktion ist nicht immer einfach. Manchmal müssen wir eine Funktion integrieren, die ein Vielfaches von zwei oder mehr Funktionen ist. Wenn wir in diesem Fall die Integration finden müssen, müssen wir das Integration-nach-Teil-Konzept verwenden, das zwei Produkte von zwei Funktionen verwendet sagt uns, wie wir ihre Integration finden können.

Jetzt lernen wir etwas darüber Die partielle Integration, ihre Formel, Ableitung und andere Einzelheiten finden Sie in diesem Artikel.

Was ist partielle Integration?

Teilweise Integration ist die Technik, mit der die Integration des Produkts von zwei oder mehr Funktionen ermittelt wird, wenn die Integration mit normalen Techniken nicht durchgeführt werden kann. Angenommen, wir haben zwei Funktionen f(x) und g(x) und müssen die Integration ihres Produkts finden, d. h. ∫ f(x).g(x) dx, wobei es nicht möglich ist, das Produkt dieses Produkts weiter zu lösen f(x).g(x).

Diese Integration wird mit der Formel erreicht:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

wobei f'(x) die erste Differenzierung von f(x) ist.

Diese Formel lautet wie folgt:

Die Integration der ersten Funktion multipliziert mit der zweiten Funktion ist gleich (Erste Funktion) multipliziert mit (Integration der zweiten Funktion) – Integration von (Differenzierung der ersten Funktion multipliziert mit Integration der zweiten Funktion).

Anhand der obigen Formel können wir leicht erkennen, dass die Auswahl der ersten und der zweiten Funktion für den Erfolg dieser Formel sehr wichtig ist. Wie wir die erste und die zweite Funktion auswählen, wird in diesem Artikel weiter erläutert.

Was ist Teilintegration?

Die partielle Integration, auch partielle Integration genannt, ist eine Technik, die in der Analysis zur Berechnung des Integrals eines Produkts zweier Funktionen verwendet wird. Die Formel für die partielle Integration lautet:

∫ u dv = uv – ∫ v du

wobei u und v differenzierbare Funktionen von x sind. Mit dieser Formel können wir das Integral eines Produkts vereinfachen, indem wir es in zwei einfachere Integrale zerlegen. Die Idee besteht darin, u und dv so zu wählen, dass das neue Integral auf der rechten Seite leichter auszuwerten ist als das ursprüngliche auf der linken Seite. Diese Technik ist besonders nützlich, wenn es um Produkte von Funktionen geht, die keine einfachen Stammfunktionen haben.

Geschichte der Teilintegration

Das Konzept der partiellen Integration wurde erstmals 1715 vom berühmten Brook Taylor in seinem Buch vorgeschlagen. Er schrieb, dass wir die Integration des Produkts zweier Funktionen finden können, deren Differenzierungsformeln existieren. Einige wichtige Funktionen haben keine Integrationsformeln und ihre Integration wird durch Integration erreicht, indem sie als Produkt zweier Funktionen betrachtet werden. Beispielsweise kann ∫ln x dx nicht mit normalen Integrationstechniken berechnet werden. Aber wir können es mithilfe der partiellen Integrationstechnik integrieren und es als Produkt zweier Funktionen betrachten, nämlich ∫1.ln x dx.

Integration nach Teileformel

Die Teileintegrationsformel ist die Formel, die uns hilft, die Integration des Produkts von zwei oder mehr Funktionen zu erreichen. Angenommen, wir müssen das Produkt zweier Funktionen integrieren als

∫u.v dx

wobei u und v die Funktionen von x sind, dann kann dies erreicht werden durch:

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Die Reihenfolge der Auswahl der ersten und zweiten Funktion ist sehr wichtig und das Konzept, das in den meisten Fällen zum Finden der ersten und zweiten Funktion verwendet wird, ist das ILATE-Konzept.

Mit der obigen Formel und dem ILATE-Konzept können wir leicht die Integration des Produkts zweier Funktionen ermitteln. Die Formel für die Teilintegration ist im Bild unten dargestellt.

Ableitung der partiellen Integrationsformel

Die Formel „Integration nach Teilen“ wird mithilfe der Produktregel der Differenzierung abgeleitet. Angenommen, wir haben zwei Funktionen In Und In und x dann wird die Ableitung ihres Produkts mithilfe der Formel ermittelt:

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nun soll die Formel für die partielle Integration mithilfe der Produktregel der Differenzierung abgeleitet werden.

Neuordnung der Begriffe

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integrieren beider Seiten bezüglich x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

Vereinfachung,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Daraus ergibt sich die Formel für die partielle Integration.

ILAT-Regel

Die ILATE-Regel sagt uns, wie man die erste und die zweite Funktion wählt und gleichzeitig die Integration des Produkts zweier Funktionen löst. Angenommen, wir haben zwei Funktionen von x u und v und müssen die Integration ihres Produkts finden. Dann wählen wir die erste Funktion und die by ILATE-Regel.

Das vollständige ILATE-Formular wird im Bild unten erläutert.

ILATE-Regel der partiellen Integration

Die ILATE-Regeln geben uns die Hierarchie der ersten Funktion vor, d. h. wenn im gegebenen Produkt der Funktion eine Funktion eine logarithmische Funktion und eine andere Funktion eine trigonometrische Funktion ist. Nun nehmen wir die logarithmische Funktion als erste Funktion, da sie in der Hierarchie der ILATE-Regel oben steht, und wählen entsprechend die erste und zweite Funktion aus.

NOTIZ: Es ist nicht immer angemessen, die ILATE-Regel zu verwenden, manchmal werden auch andere Regeln verwendet, um die erste Funktion und die zweite Funktion zu finden.

Wie finde ich die Integration nach Teilen?

Mit der Teilintegration wird die Integration des Produkts zweier Funktionen ermittelt. Wir können dies mit den unten beschriebenen Schritten erreichen:

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Angenommen, wir müssen ∫uv dx vereinfachen

Schritt 1: Wählen Sie die erste und die zweite Funktion gemäß der ILATE-Regel. Angenommen, wir nehmen u als erste Funktion und v als zweite Funktion.

Schritt 2: Differenzieren Sie u(x) nach x, d. h. Bewerten Sie du/dx.

Schritt 3: Integriere v(x) bezüglich x, d. h. Bewerten Sie ∫v dx.

Verwenden Sie die in Schritt 1 und Schritt 2 erhaltenen Ergebnisse in der Formel.

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Schritt 4: Vereinfachen Sie die obige Formel, um die erforderliche Integration zu erhalten.

Wiederholte Integration nach Teilen

Die wiederholte partielle Integration ist eine Erweiterung der Technik der partiellen Integration in der Analysis. Es wird verwendet, wenn Sie ein Produkt von Funktionen haben, das mehrere Integrationen erfordert, um die Stammfunktion zu finden. Der Prozess beinhaltet die iterative Anwendung der partiellen Integrationsformel, bis Sie einen Punkt erreichen, an dem das resultierende Integral leicht auszuwerten ist oder eine bekannte Form hat.

Wenn Sie diese Formel wiederholt anwenden, würden Sie mit einem Integral beginnen, das ein Produkt zweier Funktionen beinhaltet, und dann eine partielle Integration anwenden, um es in einfachere Integrale zu zerlegen. Anschließend würden Sie diesen Prozess mit den resultierenden Integralen fortsetzen, bis Sie einen Punkt erreichen, an dem weitere Anwendungen unnötig sind oder die Integrale beherrschbar werden.

Hier ist ein Schritt-für-Schritt-Beispiel, wie die wiederholte Integration nach Teilen funktioniert:

1. Beginnen Sie mit einem Integral eines Produkts zweier Funktionen: ∫ u dv.
2. Wenden Sie die Formel für die partielle Integration an, um Folgendes zu erhalten: uv – ∫ v du.
3. Wenn das auf der rechten Seite erhaltene neue Integral immer noch ein Produkt von Funktionen enthält, wenden Sie die partielle Integration erneut an, um es weiter zu zerlegen.
4. Setzen Sie diesen Vorgang fort, bis Sie ein einfacheres Integral erhalten, das leicht ausgewertet werden kann oder mit einer bekannten Integralform übereinstimmt.

Tabellarische Integration nach Teilen

Die tabellarische Integration, auch tabellarische Methode oder Methode der tabellarischen Integration genannt, ist eine alternative Technik zur Auswertung von Integralen, bei der die partielle Integration wiederholt angewendet wird. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn es um Integrale geht, bei denen das Produkt von Funktionen mehrfach integriert werden kann, um ein einfaches Ergebnis zu erhalten.

Die tabellarische Methode organisiert die wiederholte Integration nach Teilen in einer Tabelle, wodurch es einfacher wird, den Überblick über die Begriffe zu behalten und das Integral effizient zu vereinfachen. So funktioniert die tabellarische Methode:

1. Schreiben Sie zunächst die am Integral beteiligten Funktionen in zwei Spalten auf: eine für die zu differenzierende Funktion (u) und eine für die zu integrierende Funktion (dv).
   • Beginnen Sie mit der Funktion zum Integrieren (dv) in der linken Spalte und der Funktion zum Differenzieren (u) in der rechten Spalte.
2. Differenzieren Sie die Funktion in der Spalte u weiter, bis Sie Null oder eine Konstante erreichen. Integrieren Sie die Funktion bei jedem Schritt in die dv-Spalte, bis Sie einen Punkt erreichen, an dem eine weitere Integration nicht mehr erforderlich ist.
3. Multiplizieren Sie die Terme diagonal und wechseln Sie die Vorzeichen (+ und -) für jeden Term ab. Fassen Sie diese Produkte zusammen, um das Ergebnis der Integration zu ermitteln.

Hier ist ein Beispiel zur Veranschaulichung tabellarische Integrationsmethode :

Lassen Sie uns das Integral ∫x sin(x) dx auswerten.

• Schritt 1: Erstellen Sie eine Tabelle mit zwei Spalten für u (Funktion zum Differenzieren) und dv (Funktion zum Integrieren):

• Schritt 2: Differenzieren Sie die Funktion in der u-Spalte und integrieren Sie die Funktion in der dv-Spalte:

• Schritt 3: Multiplizieren Sie die Terme diagonal und vertauschen Sie die Vorzeichen:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

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Also das Ergebnis des Integrals ∫x sin(x) dx ist -x cos(x) + sin(x).

Die tabellarische Integrationsmethode ist besonders nützlich, wenn es um Integrale geht, die Funktionen beinhalten, die sich bei Differenzierung oder Integration wiederholen, und ermöglicht einen systematischen und organisierten Ansatz zur Suche nach der Stammfunktion.

Anwendungen der partiellen Integration

Die Integration nach Teilen hat verschiedene Anwendungen in der Integralrechnung. Sie wird verwendet, um die Integration der Funktion zu finden, bei der normale Integrationstechniken versagen. Mit dem Konzept der partiellen Integration können wir die Integration inverser und logarithmischer Funktionen leicht finden.

Wir werden die Integration der logarithmischen Funktion und der Arctan-Funktion mithilfe der Integration nach Teilregel finden.

Integration der logarithmischen Funktion (log x)

Die Integration der umgekehrten logarithmischen Funktion (log x) wird mithilfe der Formel „Integration nach Teil“ erreicht. Die Integration wird weiter unten besprochen:

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Nehmen Sie log x als erste Funktion und 1 als zweite Funktion.

Unter Verwendung von ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Das ist die erforderliche Integration der logarithmischen Funktion.

Integration der inversen trigonometrischen Funktion (tan^-1X)

Integration der inversen trigonometrischen Funktion (tan^-1x) wird mithilfe der Formel „Integration nach Teil“ erreicht. Die Integration wird weiter unten besprochen:

∫ also^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Bräune nehmen^-1x als erste Funktion und 1 als zweite Funktion.

Unter Verwendung von ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1X. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. Also^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. Also^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Dies ist die erforderliche Integration der umgekehrten trigonometrischen Funktion.

Reale Anwendungen der partiellen Integration

Einige der häufigsten Anwendungen der Teilintegration im wirklichen Leben sind:

• Stammfunktionen finden
  • In den Ingenieurwissenschaften und der Physik wird die partielle Integration verwendet, um Stammfunktionen von Funktionen zu finden, die physikalische Größen darstellen. In der Mechanik wird es beispielsweise verwendet, um Bewegungsgleichungen aus den Kraft- und Beschleunigungsgleichungen abzuleiten.
• Wallis-Produkt
  • Das Wallis-Produkt, eine unendliche Produktdarstellung von Pi, kann mithilfe partieller Integrationstechniken abgeleitet werden. Dieses Produkt findet Anwendung in Bereichen wie Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Signalverarbeitung.
• Identität der Gammafunktion
  • Die Gammafunktion, die die Fakultätsfunktion auf komplexe Zahlen erweitert, hat verschiedene Anwendungen in der Mathematik, Physik und Technik. Die partielle Integration wird verwendet, um Identitäten im Zusammenhang mit der Gammafunktion zu beweisen, die in Bereichen wie der Wahrscheinlichkeitstheorie, der statistischen Mechanik und der Quantenmechanik von entscheidender Bedeutung sind.
• Verwendung in der harmonischen Analyse
  • Die partielle Integration spielt eine wichtige Rolle in der harmonischen Analyse, insbesondere in der Fourier-Analyse. Es wird verwendet, um Eigenschaften von Fourier-Transformationen abzuleiten, beispielsweise den Faltungssatz und Eigenschaften von Fourier-Reihen. Diese Ergebnisse werden in Bereichen wie Signalverarbeitung, Bildanalyse und Telekommunikation angewendet.

Integration nach Teileformeln

Mit dem Konzept der Teileintegration können wir die Integration verschiedener Funktionen ableiten. Einige der wichtigen Formeln, die mit dieser Technik abgeleitet werden, sind:

• ∫ und^X(f(x) + f'(x)).dx = e^Xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²- A²).dx =½ . x.√(x²- A²) - A²/2. log|x +√(x²- A²) | C
• ∫√(a²- X²).dx = ½ . x.√(a²- X²) + a²/2. ohne^-1x/a + C

Beispiele für Integration nach Teilen

Beispiel 1: Finden Sie ∫ e ^X xdx.

Lösung:

Sei I = ∫ e^Xxdx

Auswahl von u und v mithilfe der ILATE-Regel

u = x
v = e^X

Dich differenzieren

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^Xdx = e^X

Unter Verwendung der Formel „Integration nach Teil“

⇒ I = ∫ e^Xxdx

⇒ I = x ∫e^Xdx − ∫1 (∫ e^Xdx) dx

⇒ I = xe^X− und^X+ C

⇒ I = e^X(x − 1) + C

Beispiel 2: Berechnen Sie ∫ x sin x dx.

Lösung:

Sei I = ∫ x sin x dx

Auswahl von u und v mithilfe der ILATE-Regel

u = x
v = Sünde x

Dich differenzieren

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Unter Verwendung der Formel „Integration nach Teil“

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Beispiel 3: Finden Sie ∫ sin ⁻¹ xdx.

Lösung:

Sei I= ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹xdx

Auswahl von u und v mithilfe der ILATE-Regel

u = Sünde⁻¹X
v = 1

Dich differenzieren

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Unter Verwendung der Formel „Integration nach Teil“

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx

⇒ I = ohne⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Sei t = 1 − x²

Beide Seiten differenzieren

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ sin⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Übungsaufgaben zur partiellen Integration

1. Integrieren Sie xe ^X

2. Integriere x sin(x)

3. Integrieren Sie x ² ln(x)

4. Integrieren Sie z ^X cos(x)

5. Integriere ln(x)

FAQs zur partiellen Integration

Was ist Teilintegration?

Die partielle Integration ist die Technik zum Finden der Integration des Produkts der beiden Funktionen, bei der die normalen Integrationstechniken versagen. Die Integration nach der Teilformel ist die

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Was ist die Teileintegrationsformel?

Für zwei Funktionen f(x) und g(x) lautet die Integration nach Teilformel:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

Bash, wenn sonst

Wo f'(x) ist Differenzierung von f(x).

Wie leitet man die Integration nach Teileformel ab?

Die Integration nach Teilformeln wird mithilfe der Produktdifferenzierungsregel abgeleitet.

Warum verwenden wir die Teileintegrationsformel?

Mithilfe der Formel „Integration nach Teil“ wird die Integration der Funktion ermittelt, wenn die normalen Differenzierungstechniken versagen. Wir können die Integration inverser trigonometrischer Funktionen und logarithmischer Funktionen mithilfe der Formel „Integration nach Teil“ ermitteln

Was ist die Anwendung der partiellen Integration?

Die partielle Integration hat verschiedene Anwendungen und die grundlegende Anwendung besteht darin, dass sie verwendet wird, um die Integration der Funktion zu finden, wenn die Funktion als Produkt der Funktionen angegeben ist, was nicht weiter vereinfacht werden kann. Beispielsweise wird ∫ f(x).g(x) dx durch partielle Integration erreicht.