Integration ist der Prozess der Summierung kleiner Werte einer Funktion im Bereich von Grenzwerten. Es ist genau das Gegenteil von Differenzierung. Integration wird auch als Stammfunktion bezeichnet. Wir haben die Integration trigonometrischer Funktionen in diesem Artikel unten erklärt.

Nachfolgend finden Sie ein Beispiel für die Integration einer bestimmten Funktion.

z.B., Betrachten Sie eine Funktion, f(y) = y².

Diese Funktion kann integriert werden als:

∫y²du =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Allerdings ein unbestimmtes Integral ist eine Funktion, die die Stammfunktion einer anderen Funktion annimmt. Es wird als Integralsymbol (∫), als Funktion und als Ableitung der Funktion am Ende dargestellt. Das unbestimmte Integral ist eine einfachere Möglichkeit, eine Stammfunktion zu symbolisieren.

Lassen Sie uns lernen, was Integration mathematisch ist. Die Integration einer Funktion f(x) ist durch F(x) gegeben und wird dargestellt durch:

∫f(x)dx = F(x) + C

Hier R.H.S. der Gleichung bedeutet Integral von f(x) bezüglich x, F(x) heißt Stammfunktion oder Primitiv, f(x) heißt Integrand, dx heißt Integrator, C heißt Integrationskonstante oder beliebige Konstante und x ist die Variable der Integration.

Einige wichtige Integrale trigonometrischer Funktionen

Im Folgenden finden Sie eine Liste einiger wichtiger Grundformeln für unbestimmte Integrale trigonometrische Funktionen wie folgt in Erinnerung bleiben:

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ Sek²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -cot x + C
• ∫ Sek. x tan x dx = Sek. x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = ln | Sek. x | +C
• ∫ cot x dx = ln | Sünde x | + C
• ∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | + C
• ∫ cosec x dx = ln | cosec x – cot x | + C

Wobei dx die Ableitung von x, C ist ist die Integrationskonstante und ln repräsentiert die Logarithmus der Funktion innerhalb des Moduls (| |).

Im Allgemeinen werden die Probleme unbestimmter Integrale, die auf trigonometrischen Funktionen basieren, durch die Substitutionsmethode gelöst. Lassen Sie uns also wie folgt mehr über die Integration durch Substitutionsmethode diskutieren:

Integration durch Substitution

Bei dieser Methode von Integration durch Substitution , jedes gegebene Integral wird in eine einfache Form eines Integrals umgewandelt, indem die unabhängige Variable durch andere ersetzt wird. Betrachten wir zum besseren Verständnis ein Beispiel.

Beispiel: Vereinfache ∫ 3x ² Sünde (x ³ ) dx.

Antwort:

Sei I = ∫ 3x²Sünde (x³) dx.

Um das gegebene Integral auszuwerten, ersetzen wir eine beliebige Variable durch eine neue Variable wie folgt:

Sei x³sei t für das gegebene Integral.

Dann ist dt = 3x²dx

Daher,

I = ∫ 3x²Sünde (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Ersetzen Sie nun x durch t³und dt für 3x²dx im obigen Integral.

I = ∫ sin (t) (dt)

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Da ∫ sin x dx = -cos x + C, also

I = -cos t + C

Ersetzen Sie erneut x³für t im Ausdruck als:

I = ∫ 3x ² Sünde (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Welches ist das erforderliche Integral.

Daher ist die allgemeine Form der Integration durch Substitution:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

Wobei t = g(x)

Normalerweise ist die Methode der Integration durch Substitution äußerst nützlich, wenn wir eine Funktion ersetzen, deren Ableitung auch im Integranden vorhanden ist. Dadurch vereinfacht sich die Funktion und dann können die Grundformeln der Integration zur Integration der Funktion verwendet werden.

In der Analysis wird die Methode der Integration durch Substitution auch als Reverse-Chain-Regel oder U-Substitutionsmethode bezeichnet. Wir können diese Methode verwenden, um einen Integralwert zu finden, wenn er in der speziellen Form eingerichtet ist. Das bedeutet, dass das gegebene Integral die Form hat:

Mehr lesen,

• Infinitesimalrechnung in der Mathematik
• Integrale
• Integralrechnung
• Differenzierung von Triggerfunktionen
• Trigonometrische Gleichungen

Beispielprobleme zur Integration trigonometrischer Funktionen

Aufgabe 1: Bestimmen Sie das Integral der folgenden Funktion: f(x) = cos ³ X.

Lösung:

Betrachten wir das Integral der gegebenen Funktion als:

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I = ∫ cos³xdx

Es kann wie folgt umgeschrieben werden:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Verwendung der trigonometrischen Identität; cos²x = 1 – Sünde²x, wir bekommen

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²xdx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²xdx

Da ∫ cos x dx = sin x + C,

Somit ist I = sin x – ∫ sin²x cos x dx . . . (1)

Sei sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Ersetzen Sie sin x durch t und cos x dx durch dt im zweiten Term des obigen Integrals.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Ersetzen Sie im Ausdruck erneut sin x durch t.

Daher ist ∫ cos ³ x dx = Sünde x – Sünde ³ x / 3 + C.

Problem 2: Wenn f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) Bestimmen Sie dann ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Lösung:

Betrachten wir das Integral der gegebenen Funktion als:

I = ∫sin²(x) cos³(x) dx

Verwendung der trigonometrischen Identität; cos²x = 1 – Sünde²x, wir bekommen

I = ∫sin²x (1 – Sünde²x) cos x dx

Sei dann sin x = t,

⇒ dt = cos x dx

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Ersetzen Sie diese im obigen Integral als:

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²- T⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Ersetzen Sie den Wert von t im obigen Integral wie folgt:

Daher ist ich = Sünde ³ x / 3 – ohne ⁵ x / 5 + C.

Problem 3: Sei f(x) = sin ⁴ (x) dann finde ∫ f(x)dx. d.h. ∫ sin ⁴ (x) dx.

Lösung:

Betrachten wir das Integral der gegebenen Funktion als:

I = ∫sin⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (ohne²(X))²dx

Verwendung der trigonometrischen Identität; Sünde²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, wir erhalten

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Daher ∫ sin ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Problem 4: Finden Sie die Integration von old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Lösung:

Betrachten wir das Integral der gegebenen Funktion als:

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Sei t = tan^-1X . . . (1)

Differenzieren Sie nun beide Seiten nach x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Daher wird das gegebene Integral:

I = ∫ e^Tdt

⇒ I = e^T+ C. . . (2)

ist eine Beziehung

Ersetzen Sie den Wert von (1) in (2) wie folgt:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Welches ist die erforderliche Integration für die gegebene Funktion?

Aufgabe 5: Finden Sie das Integral der Funktion f (x), definiert als:

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Lösung:

Betrachten wir das Integral der gegebenen Funktion als:

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Sei (x²– 5) = t . . . (1)

Differenzieren Sie nun beide Seiten nach x als:

2x dx = dt

Setzt man diese Werte in das obige Integral ein,

I = ∫ cos(t)dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Ersetzen Sie die Wertgleichung (1) in Gleichung (2) wie folgt:

⇒ I = Sünde (x²– 5) + C

Dies ist die erforderliche Integration für die gegebene Funktion.

Aufgabe 6: Bestimmen Sie den Wert des gegebenen unbestimmten Integrals I = ∫ cot (3x +5) dx.

Lösung:

Das gegebene Integral kann geschrieben werden als:

I = ∫ cot (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Sei t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Daher,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Ersetzen Sie t im obigen Ausdruck durch sin (3x+5).

I = (1 / 3) ln | Sünde (3x+5) | + C

Dies ist die erforderliche Integration für die gegebene Funktion.

Integration trigonometrischer Funktionen – FAQs

Was ist die Integration einer trigonometrischen Funktion?

Bei der Integration trigonometrischer Funktionen handelt es sich, wie der Name schon sagt, um den Prozess der Berechnung der Integration oder Stammfunktion trigonometrischer Funktionen. Dies ist der umgekehrte Prozess der Differenzierung trigonometrischer Funktionen.

Was sind grundlegende trigonometrische Funktionen?

Die grundlegenden trigonometrischen Funktionen sind:

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• Sinus (ohne),
• Kosinus (cos),
• Tangente (tan),
• Kotangens (Ellenbogen),
• Sekante (Sekunde) und
• Kosekans (csc).

Wie integrieren Sie Sinus- (sin) und Cosinus- (cos) Funktionen?

Um die Sinus- und Cosinusfunktionen zu integrieren, können wir die folgenden Formeln verwenden:

• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C

Wo C ist die Konstante der Integration.

Was ist die Integration der trigonometrischen Tangensfunktion (tan)?

Das Integral der Tangensfunktion ist wie folgt gegeben:

∫ tan(x) dx = -ln|cos(x)| +C

Wo,

• ln stellt den natürlichen Logarithmus dar und
• C ist die Konstante der Integration.

Wie finde ich das Integral der trigonometrischen Sekantenfunktion (Sec)?

Das Integral der Sekantenfunktion ist gegeben als:

∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Wo,

• ln stellt den natürlichen Logarithmus dar und
• C ist die Konstante der Integration.

Was ist die Integration der trigonometrischen Kotangensfunktion (cot)?

Das Integral der Kotangensfunktion kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C

Wo,

• ln stellt den natürlichen Logarithmus dar und
• C ist die Konstante der Integration.

Wie finde ich das Integral der Kosekansfunktion (cosec)?

Das Integral der Kosekantenfunktion ist gegeben als:

∫ cosec(x) dx = ln| cosec x – cot x | + C

Wo,

• ln stellt den natürlichen Logarithmus dar und
• C ist die Konstante der Integration.