Der Umkehrung der Matrix ist die Matrix, die bei Multiplikation mit der Originalmatrix eine Identitätsmatrix ergibt. Für jede Matrix A wird ihre Umkehrung als A bezeichnet-1.
Lassen Sie uns die Matrix-Inverse im Detail kennenlernen, einschließlich ihrer Definition, Formel, Methoden zum Ermitteln der Umkehrung einer Matrix und Beispielen.
Inhaltsverzeichnis
- Matrixinverse
- Begriffe im Zusammenhang mit der Matrixinversen
- Wie finde ich die Umkehrung einer Matrix?
- Umkehrung einer Matrixformel
- Inverse-Matrix-Methode
- Umkehrung des Beispiels einer 2×2-Matrix
- Determinante der inversen Matrix
- Eigenschaften der Inversen der Matrix
- Beispiele für invers gelöste Matrix
Matrixinverse
Die Umkehrung einer Matrix ist eine andere Matrix, die, wenn sie mit der gegebenen Matrix multipliziert wird, die ergibt multiplikative Identität .
Für Matrix A und ihre Umkehrung von A-1, die Identitätseigenschaft gilt.
A.A -1 = A -1 A = I
Wo ICH ist die Identitätsmatrix.
Begriffe im Zusammenhang mit der Matrixinversen
Die unten aufgeführte Terminologie kann Ihnen helfen, die Umkehrung einer Matrix klarer und einfacher zu verstehen.
| Bedingungen | Definition | Formel/Prozess | Beispiel mit Matrix A |
|---|---|---|---|
| Unerheblich | Der Nebenwert eines Elements in einer Matrix ist die Determinante der Matrix, die durch Entfernen der Zeile und Spalte dieses Elements entsteht. | Für Element aij, entfernen Sie die i-te Zeile und die j-te Spalte, um eine neue Matrix zu bilden und deren Determinante zu ermitteln. | Moll A elf ist die Determinante von |
| Cofaktor | Der Cofaktor eines Elements ist der Nebenfaktor dieses Elements multipliziert mit (-1) i+j , wobei i und j die Zeilen- und Spaltenindizes des Elements sind. | Cofaktor von aij= (-1)i+jMoll von aij | Cofaktor von A elf = (-1) 1+1 × Moll von A elf = Moll von A elf |
| Bestimmend | Die Determinante einer Matrix wird als Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte und ihrer jeweiligen Cofaktoren berechnet. | Summieren Sie für eine Zeile (oder Spalte) das Produkt jedes Elements und seines Cofaktors. | Determinante von A = A elf × Cofaktor von A elf + A 12 × Cofaktor von A 12 + A 13 × Cofaktor von A 13 . |
| Stellvertreter | Der Adjunkt einer Matrix ist die Transponierte ihrer Cofaktormatrix. | Erstellen Sie für jedes Element der Originalmatrix eine Cofaktormatrix und transponieren Sie diese dann. | Adjunkt von A ist die Transponierte der Matrix, die durch die Cofaktoren aller Elemente in A gebildet wird. |
Singuläre Matrix
Eine Matrix, deren Wert der Determinante Null ist, wird als singuläre Matrix bezeichnet, d. h. jede Matrix A heißt singuläre Matrix, wenn |A| = 0. Die Umkehrung einer singulären Matrix existiert nicht.
Nicht singuläre Matrix
Eine Matrix, deren Wert der Determinante ungleich Null ist, wird als nicht-singuläre Matrix bezeichnet, d. h. jede Matrix A wird als nicht-singuläre Matrix bezeichnet, wenn |A| ≠ 0. Es existiert die Umkehrung einer nicht singulären Matrix.
Identitätsmatrix
Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente außer den Hauptdiagonalelementen Null sind, wird Identitätsmatrix genannt. Es wird durch I dargestellt. Es ist das Identitätselement der Matrix wie für jede Matrix A,
A×I = A
Ein Beispiel für eine Identitätsmatrix ist:
ICH3×3=
Dies ist eine Identitätsmatrix der Ordnung 3×3.
Mehr lesen :
- Identitätsmatrix
Wie finde ich die Umkehrung einer Matrix?
Es gibt zwei Möglichkeiten, die Umkehrung einer Matrix in der Mathematik zu finden:
- Verwendung der Matrixformel
- Verwendung inverser Matrixmethoden
Umkehrung einer Matrixformel
Die Umkehrung der Matrix A, also A-1wird mithilfe der Umkehrmatrixformel berechnet, bei der der Adjungierte einer Matrix durch seine Determinante dividiert wird.
Umkehrung einer Matrixformel
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
Wo,
- adj A = Adjunkt der Matrix A und
- |A| = Determinante der Matrix A.
Notiz : Diese Formel funktioniert nur bei quadratischen Matrizen.
Um die Umkehrung einer Matrix mithilfe der Umkehrung einer Matrixformel zu ermitteln, führen Sie die folgenden Schritte aus.
Schritt 1: Bestimmen Sie die Nebenwerte aller A-Elemente.
Schritt 2: Berechnen Sie als Nächstes die Cofaktoren aller Elemente und erstellen Sie die Cofaktormatrix, indem Sie die Elemente von A durch ihre jeweiligen Cofaktoren ersetzen.
Schritt 3: Nehmen Sie die Transponierte der Cofaktormatrix von A, um ihren Adjungierten zu finden (geschrieben als adj A).
Schritt 4: Multiplizieren Sie adj A mit dem Kehrwert der Determinante von A.
Nun gilt für jede nicht singuläre quadratische Matrix A:
A -1 = 1 / |A| × Adj (A)
Beispiel: Finden Sie die Umkehrung der Matrix
Wir haben,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Finden Sie den Adjungierten der Matrix A, indem Sie die Cofaktoren jedes Elements berechnen und dann die Transponierte der Cofaktormatrix ermitteln.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Finden Sie den Wert der Determinante der Matrix.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Die Umkehrung der Matrix ist also:
A-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ A-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Inverse-Matrix-Methode
Es gibt zwei Methoden der inversen Matrix, um die Matrixinverse zu finden:
- Determinantenmethode
- Elementare Transformationsmethode
Methode 1: Determinantenmethode
Die wichtigste Methode zum Ermitteln der Matrixinversen ist die Verwendung einer Determinante.
Blasensortier-Python
Die inverse Matrix wird auch mit der folgenden Gleichung ermittelt:
A -1 = adj(A) / det(A)
Wo,
- adj(A) ist der Adjungierte einer Matrix A und
- es(A) ist die Determinante einer Matrix A.
Um den Adjungierten einer Matrix A zu finden, wird die Cofaktormatrix von A benötigt. Dann ist Adjunkt (A) die Transponierte der Cofaktormatrix von A, d. h.
adj (A) = [C ij ] T
- Für den Cofaktor einer Matrix, also Cijkönnen wir die folgende Formel verwenden:
C ij = (-1) i+j es m ij )
Wo M ij bezieht sich auf (i, j) Th Nebenmatrix wann ich Th Reihe und J Th Spalte wird entfernt.
Methode 2: Elementare Transformationsmethode
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um mithilfe der elementaren Transformationsmethode eine inverse Matrix zu finden.
Schritt 1 : Schreiben Sie die gegebene Matrix als A = IA, wobei I die Identitätsmatrix der gleichen Ordnung wie A ist.
Schritt 2 : Verwenden Sie die Folge von Zeilenoperationen oder Spaltenoperationen, bis die Identitätsmatrix auf der linken Seite erreicht ist. Verwenden Sie auch ähnliche Elementaroperationen auf der rechten Seite, sodass wir I = BA erhalten. Somit ist die Matrix B auf RHS die Umkehrung der Matrix A.
Schritt 3 : Stellen Sie sicher, dass wir bei der Durchführung elementarer Operationen entweder die Zeilenoperation oder die Spaltenoperation verwenden.
Mit der Elementaroperation können wir leicht die Umkehrung der 2 × 2-Matrix finden. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels verstehen.
Beispiel: Finden Sie die Umkehrung von 2 × 2, A =
Lösung:
Gegeben:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Nun, R1⇢ R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2- R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢ R1- R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Somit ist die Umkehrung der Matrix A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} IstA-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Umkehrung des Beispiels einer 2×2-Matrix
Die Umkehrung der 2×2-Matrix kann neben der oben besprochenen Methode auch mit der Abkürzungsmethode berechnet werden. Betrachten wir ein Beispiel, um die Abkürzungsmethode zur Berechnung der Umkehrung der 2 × 2-Matrix zu verstehen.
Für gegebene Matrix A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Wir wissen, |A| = (ad – v. Chr.)
und adj A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Verwenden Sie dann die Formel für die Umkehrung
A-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒ A-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Somit wird die Umkehrung der 2 × 2-Matrix berechnet.
Umkehrung des Beispiels einer 3X3-Matrix
Nehmen wir eine beliebige 3×3-Matrix A =
Die Umkehrung der 3×3-Matrix wird mit berechnet inverse Matrixformel ,
A -1 = (1 / |A|) × Adj A
Determinante der inversen Matrix
Die Determinante der inversen Matrix ist der Kehrwert der Determinante der ursprünglichen Matrix. d.h.,
es (A -1 ) = 1 / es(A)
Der Beweis der obigen Aussage wird im Folgenden diskutiert:
det(A × B) = det (A) × det(B) (schon bekannt)
⇒ A × A-1= I (durch die Eigenschaft der inversen Matrix)
⇒ it(A × A-1) = es(I)
⇒ it(A) × it(A-1) = det(I) [ aber, det(I) = 1]
⇒ it(A) × it(A-1) = 1
⇒ es(A-1) = 1 / es(A)
Daher bewiesen.
Eigenschaften der Inversen der Matrix
Die inverse Matrix hat die folgenden Eigenschaften:
- Für jede nicht singuläre Matrix A gilt: (A -1 ) -1 = A
- Für zwei beliebige nicht singuläre Matrizen A und B gilt: (AB) -1 = B -1 A -1
- Für eine nicht singuläre Matrix existiert die Umkehrung, für eine singuläre Matrix existiert die Umkehrung nicht.
- Für jedes nichtsinguläre A gilt: (A T ) -1 = (A -1 ) T
Verwandt:
- Invertierbare Matrix
- Matrizen: Eigenschaften und Formeln
- Mathematische Operation auf Matrizen
- Determinante der Matrix
- Wie finde ich die Determinante der Matrix?
Beispiele für invers gelöste Matrix
Lassen Sie uns einige Beispielfragen zum Thema „Inverse of Matrix“ lösen.
Beispiel 1: Finden Sie die Umkehrung der Matrix
Lösung:
Wir haben,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Finden Sie den Adjungierten der Matrix A, indem Sie die Cofaktoren jedes Elements berechnen und dann die Transponierte der Cofaktormatrix ermitteln.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Finden Sie den Wert der Determinante der Matrix.
|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Die Umkehrung der Matrix ist also:
A-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Beispiel 2: Finden Sie die Umkehrung der Matrix A=old{ mithilfe der Formel.}
Lösung:
Wir haben,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Finden Sie den Adjungierten der Matrix A, indem Sie die Cofaktoren jedes Elements berechnen und dann die Transponierte der Cofaktormatrix ermitteln.
adj A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Finden Sie den Wert der Determinante der Matrix.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Die Umkehrung der Matrix ist also:
A-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Beispiel 3: Finden Sie die Umkehrung der Matrix A=
Lösung:
Wir haben,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Finden Sie den Adjungierten der Matrix A, indem Sie die Cofaktoren jedes Elements berechnen und dann die Transponierte der Cofaktormatrix ermitteln.
adj A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Finden Sie den Wert der Determinante der Matrix.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Die Umkehrung der Matrix ist also:
A-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Beispiel 4: Finden Sie die Umkehrung der Matrix A=
Lösung:
Wir haben,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Finden Sie den Adjungierten der Matrix A, indem Sie die Cofaktoren jedes Elements berechnen und dann die Transponierte der Cofaktormatrix ermitteln.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Finden Sie den Wert der Determinante der Matrix.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Die Umkehrung der Matrix ist also:
A-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Häufig gestellte Fragen zur Umkehrung der Matrix
Was ist die Umkehrung der Matrix?
Der Kehrwert einer Matrix wird als Inverse einer Matrix bezeichnet. Nur quadratische Matrizen mit Determinanten ungleich Null sind invertierbar. Angenommen, für jede quadratische Matrix A mit inverser Matrix B ist ihr Produkt immer eine Identitätsmatrix (I) derselben Ordnung.
Java-Generika[A]×[B] = [I]
Was ist Matrix?
Eine Matrix ist ein rechteckiges Array aus Zahlen, das in eine definierte Anzahl von Zeilen und Spalten unterteilt ist. Die Anzahl der Zeilen und Spalten in einer Matrix wird als Dimension oder Reihenfolge bezeichnet.
Was ist die Umkehrung der 2×2-Matrix?
Für jede Matrix A oder Ordnung 3×3 wird ihre Umkehrung mithilfe der Formel ermittelt:
A -1 = (1 / |A|) × Adj A
Was ist die Umkehrung der 3×3-Matrix?
Die Umkehrung jeder quadratischen 3×3-Matrix (z. B. A) ist die Matrix derselben Ordnung, die mit A bezeichnet wird-1so dass ihr Produkt eine Identitätsmatrix der Ordnung 3×3 ist.
[A] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [Ich] 3×3
Sind Adjunkt und Inverse der Matrix dasselbe?
Nein, der Adjungierte einer Matrix und der Inverse einer Matrix sind nicht dasselbe.
Wie verwende ich die Umkehrung der Matrix?
Die Umkehrung einer Matrix wird zum Lösen algebraischer Ausdrücke in Matrixform verwendet. Um beispielsweise AX = B zu lösen, ist A die Koeffizientenmatrix, X die variable Matrix und B die konstante Matrix. Hier wird die Variablenmatrix mithilfe der Umkehroperation wie folgt ermittelt:
X = A -1 B
Was sind invertierbare Matrizen?
Die Matrizen, deren Umkehrung existiert, heißen invertierbar. Invertierbare Matrizen sind Matrizen, deren Determinante ungleich Null ist.
Warum existiert die Umkehrung der 2 × 3-Matrix nicht?
Es existiert nur die Umkehrung einer quadratischen Matrix. Da die 2 × 3-Matrix keine quadratische, sondern eine rechteckige Matrix ist, existiert ihre Umkehrung nicht.
Ebenso ist die 2 × 1-Matrix keine quadratische Matrix, sondern eine rechteckige Matrix, sodass ihre Umkehrung nicht existiert.
Was ist die Umkehrung der Identitätsmatrix?
Die Umkehrung einer Identitätsmatrix ist die Identitätsmatrix selbst. Dies liegt daran, dass die Identitätsmatrix, bezeichnet als ICH (oder ICH N für ein N × N Matrix) ist die einzige Matrix, für die jedes Element entlang der Hauptdiagonale 1 und alle anderen Elemente 0 sind. Wenn wir eine Identitätsmatrix mit sich selbst (oder ihrer Umkehrung) multiplizieren, erhalten wir wieder die Identitätsmatrix.