Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Symbolen, Punkten oder Zeichen, die jeweils zu einer bestimmten Zeile und Spalte gehören. Eine Matrix wird durch ihre Reihenfolge identifiziert, die in Form von Zeilen ⨯ und Spalten angegeben wird. Die in einer Matrix vorhandenen Zahlen, Symbole, Punkte oder Zeichen werden als Elemente einer Matrix bezeichnet. Die Position jedes Elements wird durch die Zeile und Spalte angegeben, zu der es gehört.

Matrizen sind für Schüler der 12. Klasse wichtig und haben auch in der Ingenieursmathematik eine große Bedeutung. In diesem Einführungsartikel zu Matrizen lernen wir die Arten von Matrizen, die Transponierte von Matrizen, den Rang von Matrizen, die Adjungierten und Inversen von Matrizen, die Determinanten von Matrizen und vieles mehr im Detail kennen.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind Matrizen?
• Ordnung der Matrix
• Beispiele für Matrizen
• Operation auf Matrizen
• Addition von Matrizen
• Skalare Multiplikation von Matrizen
• Multiplikation von Matrizen
• Eigenschaften der Matrixaddition und -multiplikation
• Transponieren der Matrix
• Spur von Matrix
• Arten von Matrizen
• Determinante einer Matrix
• Umkehrung einer Matrix
• Lösen einer linearen Gleichung mithilfe von Matrizen
• Rang einer Matrix
• Eigenwert und Eigenvektoren von Matrizen

Was sind Matrizen?

Matrizen sind rechteckige Arrays aus Zahlen, Symbolen oder Zeichen, in denen alle diese Elemente in jeder Zeile und Spalte angeordnet sind. Ein Array ist eine Sammlung von Elementen, die an verschiedenen Orten angeordnet sind.

Nehmen wir an, dass Punkte im Raum angeordnet sind und jeweils zu einem bestimmten Ort gehören. Dann wird eine Reihe von Punkten gebildet. Diese Punktanordnung wird Matrix genannt. Die in einer Matrix enthaltenen Elemente werden als Elemente der Matrix bezeichnet. Jede Matrix hat eine endliche Anzahl von Zeilen und Spalten und jedes Element gehört nur zu diesen Zeilen und Spalten. Die Anzahl der in einer Matrix vorhandenen Zeilen und Spalten bestimmt die Reihenfolge der Matrix. Nehmen wir an, eine Matrix hat 3 Zeilen und 2 Spalten, dann ist die Ordnung der Matrix 3⨯2.

Matrizendefinition

Eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Symbolen oder Zeichen wird als Matrix bezeichnet. Matrizen werden durch ihre Reihenfolge identifiziert. Die Reihenfolge der Matrizen wird in der Form Anzahl Zeilen ⨯ Anzahl Spalten angegeben. Eine Matrix wird dargestellt als [P]_m⨯nDabei ist P die Matrix, m die Anzahl der Zeilen und n die Anzahl der Spalten. Matrizen in der Mathematik sind nützlich bei der Lösung zahlreicher Probleme linearer Gleichungen und vielem mehr.

Ordnung der Matrix

Ordnung einer Matrix gibt Auskunft über die Anzahl der Zeilen und Spalten in einer Matrix. Die Ordnung einer Matrix wird als Anzahl der Zeilen mal Anzahl der Spalten dargestellt. Nehmen wir an, wenn eine Matrix 4 Zeilen und 5 Spalten hat, dann ist die Reihenfolge der Matrix 4⨯5. Denken Sie immer daran, dass die erste Zahl in der Reihenfolge die Anzahl der in der Matrix vorhandenen Zeilen und die zweite Zahl die Anzahl der Spalten in der Matrix angibt.

Beispiele für Matrizen

Beispiele für Matrizen sind unten aufgeführt:

Beispiel: egin{bmatrix} 1 & 2 3 &4 end{bmatrix}_{2 imes 2},egin{bmatrix} 1 & -1 & 2 3 & 2 & 6 4 & -2& 5\end{bmatrix}_{3 imes3}

Operation auf Matrizen

Matrizen durchlaufen verschiedene mathematische Operationen wie Addition, Subtraktion, Skalarmultiplikation und Multiplikation. Diese Operationen werden zwischen den Elementen zweier Matrizen durchgeführt, um eine äquivalente Matrix zu erhalten, die die Elemente enthält, die als Ergebnis der Operation zwischen Elementen zweier Matrizen erhalten werden. Lass uns das lernen Betrieb von Matrizen .

Addition von Matrizen

In Addition von Matrizen werden die Elemente zweier Matrizen addiert, um eine Matrix zu erhalten, die Elemente enthält, die als Summe zweier Matrizen erhalten werden. Die Addition von Matrizen erfolgt zwischen zwei Matrizen gleicher Ordnung.

Beispiel: Finden Sie die Summe von old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} Und old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Lösung:

Stellen Sie eine Verbindung zu einer Java-Datenbank her

Hier gilt A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}und B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

A + B =egin{bmatrix} 1& 2 4& 5 end{bmatrix}+egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ A + B =egin{bmatrix} 1 + 2 & 2 + 3 4 + 6& 5 + 7 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 3 & 5 10& 12 end{bmatrix}

Subtraktion von Matrizen

Die Subtraktion von Matrizen ist die Differenz zwischen den Elementen zweier Matrizen derselben Ordnung, um eine äquivalente Matrix derselben Ordnung zu erhalten, deren Elemente gleich der Differenz der Elemente zweier Matrizen sind. Die Subtraktion zweier Matrizen kann durch die Addition zweier Matrizen dargestellt werden. Nehmen wir an, wir müssen Matrix B von Matrix A subtrahieren, dann können wir A – B schreiben. Wir können es auch als A + (-B) umschreiben. Lassen Sie uns ein Beispiel lösen

Beispiel: Subtrahieren old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} aus old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix} }.

Nehmen wir an, A =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}und B =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

A – B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}–egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}

⇒ A – B =egin{bmatrix} 2 – 1 & 3 – 2 6 – 4 & 7 – 5 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{bmatrix}

Skalare Multiplikation von Matrizen

Unter Skalarmultiplikation von Matrizen versteht man die Multiplikation jedes Termes einer Matrix mit einem Skalarterm. Wenn ein Skalar „k“ mit einer Matrix multipliziert wird, enthält die äquivalente Matrix Elemente, die dem Produkt aus dem Skalar und dem Element der ursprünglichen Matrix entsprechen. Sehen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel: Multipliziere 3 mit old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}}.

3[A] =egin{bmatrix} 3 imes1 & 3 imes 2 3 imes4& 3 imes5 end{bmatrix}

⇒ 3[A] =egin{bmatrix} 3 & 6 12& 15 end{bmatrix}

Multiplikation von Matrizen

Im Multiplikation von Matrizen werden zwei Matrizen multipliziert, um eine einzige äquivalente Matrix zu erhalten. Die Multiplikation wird in der Weise durchgeführt, dass die Elemente der Zeile der ersten Matrix mit den Elementen der Spalten der zweiten Matrix multipliziert werden und das Produkt der Elemente addiert wird, um ein einzelnes Element der äquivalenten Matrix zu ergeben. Wenn eine Matrix [A]_i⨯jwird mit Matrix [B] multipliziert_j⨯kdann wird das Produkt als [AB] angegeben_i⨯k.

Sehen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel: Finden Sie das Produkt von old{egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}} Und old{egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}}

Lösung:

Sei A =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}und B =egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 & 2 4& 5 end{bmatrix}egin{bmatrix} 2 & 3 6 & 7 end{bmatrix}

⇒ AB =egin{bmatrix} 1 imes2+2 imes6 & 1 imes3+2 imes7 4 imes2+5 imes6& 4 imes3+5 imes7 end{bmatrix}

⇒AB = egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

Eigenschaften der Matrixaddition und -multiplikation

Eigenschaften, gefolgt von Multiplikation und Addition von Matrizen, sind unten aufgeführt:

• A + B = B + A (Kommutativ)
• (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativ)
• AB ≠ BA (nicht kommutativ)
• (AB) C = A (BC) (Assoziativ)
• A (B+C) = AB + AC (Distributiv)

Transponieren der Matrix

Transponieren der Matrix ist im Grunde die Neuanordnung von Zeilenelementen in Spalten und Spaltenelementen in einer Zeile, um eine äquivalente Matrix zu erhalten. Eine Matrix, in der die Elemente der Zeile der ursprünglichen Matrix in Spalten angeordnet sind oder umgekehrt, wird als Transponierungsmatrix bezeichnet. Die Transponierungsmatrix wird als A dargestellt^T. wenn A = [a_ij]_mxn, dann ein^T= [geb_ij]_nxmwo b_ij= a_{von dem}.

Sehen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel: Finden Sie die Transponierte von egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix} .

Lösung:

Sei A =egin{bmatrix} 18 & 17 38& 47 end{bmatrix}

⇒ A^T=egin{bmatrix} 18 & 38 17& 47 end{bmatrix}

Eigenschaften der Transponierten einer Matrix

Nachfolgend werden die Eigenschaften der Transponierten einer Matrix aufgeführt:

• (A^T)^T= A
• (A+B)^T= A^T+ B^T
• (AB)^T= B^TA^T

Spur von Matrix

Spur einer Matrix ist die Summe der Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix. Die Spur einer Matrix findet sich nur im Fall einer quadratischen Matrix, da Diagonalelemente nur in quadratischen Matrizen vorkommen. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel: Finden Sie die Spur der Matrix egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Lösung:

Nehmen wir an, A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Spur(A) = 1 + 5 + 9 = 15

Arten von Matrizen

Basierend auf der Anzahl der vorhandenen Zeilen und Spalten sowie den dargestellten Besonderheiten werden Matrizen in verschiedene Typen eingeteilt.

• Zeilenmatrix : Eine Matrix, in der es nur eine Zeile und keine Spalte gibt, wird Zeilenmatrix genannt.
• Spaltenmatrix : Eine Matrix, in der es nur eine Spalte und jetzt eine Zeile gibt, wird Spaltenmatrix genannt.
• Horizontale Matrix: Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen kleiner als die Anzahl der Spalten ist, wird als horizontale Matrix bezeichnet.
• Vertikale Matrix: Eine Matrix, bei der die Anzahl der Spalten kleiner als die Anzahl der Zeilen ist, wird als vertikale Matrix bezeichnet.
• Rechteckige Matrix : Eine Matrix, in der die Anzahl der Zeilen und Spalten ungleich ist, wird als Rechteckmatrix bezeichnet.
• Quadratische Matrix : Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist, wird Quadratmatrix genannt.
• Diagonale Matrix : Eine quadratische Matrix, in der die nichtdiagonalen Elemente Null sind, wird Diagonalmatrix genannt.
• Null oder Nullmatrix : Eine Matrix, deren alle Elemente Null sind, wird Nullmatrix genannt. Eine Nullmatrix wird auch als Nullmatrix bezeichnet.
• Einheit oder Identitätsmatrix : Eine Diagonalmatrix, deren alle Diagonalelemente 1 sind, wird Einheitsmatrix genannt. Eine Einheitsmatrix wird auch Identitätsmatrix genannt. Eine Identitätsmatrix wird durch I dargestellt.
• Symmetrische Matrix : Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn die Transponierte der Originalmatrix gleich ihrer Originalmatrix ist. d.h. (A^T) = A.
• Skew-symmetrische Matrix : Eine schiefsymmetrische (oder antisymmetrische oder antimetrische[1]) Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte ihrem Negativ entspricht, d. h. (A^T) = -A.
• Orthogonale Matrix: Eine Matrix heißt orthogonal, falls AA^T= A^TA = I
• Idempotente Matrix: Eine Matrix heißt idempotent, wenn A²= A
• Involutorische Matrix: Eine Matrix heißt involutorisch, wenn A²= Ich.
• Obere Dreiecksmatrix : Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb der Diagonale Null sind, wird als obere Dreiecksmatrix bezeichnet
• Untere Dreiecksmatrix : Eine quadratische Matrix, in der alle Elemente über der Diagonale Null sind, wird als untere Dreiecksmatrix bezeichnet
• Singuläre Matrix : Eine quadratische Matrix wird als singuläre Matrix bezeichnet, wenn ihre Determinante Null ist, d. h. |A|=0
• Nichtsinguläre Matrix: Eine quadratische Matrix heißt eine nicht singuläre Matrix, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Notiz: Jede Quadratmatrix kann eindeutig als Summe einer symmetrischen Matrix und einer schiefsymmetrischen Matrix ausgedrückt werden. A = 1/2 (A^T+ A) + 1/2 (A – A^T).

Erfahren Sie mehr, Arten von Matrizen

Determinante einer Matrix

Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die dieser quadratischen Matrix zugeordnet ist. Die Determinante einer Matrix kann nur für eine quadratische Matrix berechnet werden. Es wird durch |A| dargestellt. Die Determinante einer Matrix wird berechnet, indem das Produkt der Elemente einer Matrix mit ihren Cofaktoren addiert wird.

Determinante einer Matrix

Sehen wir uns an, wie man die Determinante einer quadratischen Matrix findet.

Beispiel 1: Wie finde ich die Determinante einer 2⨯2-Quadratmatrix?

Nehmen wir an, wir haben Matrix A =egin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}

Dann ist die Determinante von A |A| = ad – v. Chr

Beispiel 2: Wie finde ich die Determinante einer 3⨯3-Quadratmatrix?

Nehmen wir an, wir haben eine 3⨯3-Matrix A =egin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}

Dann |A| = a(-1)¹⁺¹egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}+ b(-1)¹⁺²egin{vmatrix} d& f g & i end{vmatrix}+ c(-1)¹⁺³egin{vmatrix} d& e g & h end{vmatrix}

Moll einer Matrix

Das Minor einer Matrix für ein Element ist durch die Determinante einer Matrix gegeben, die man nach dem Löschen der Zeile und Spalte erhält, zu der das jeweilige Element gehört. Moll von Matrix wird durch Mij repräsentiert. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel: Finden Sie das Moll der Matrixegin{bmatrix} a & b& c d & e & f g & h &i end{bmatrix}für das Element „a“.

Das Nebenelement des Elements „a“ wird als M angegeben₁₂=egin{vmatrix} e& f h & i end{vmatrix}

Madhubala

Cofaktor der Matrix

Der Cofaktor einer Matrix wird durch Multiplikation des Nebenfaktors der Matrix für ein bestimmtes Element mit (-1)i+j ermittelt. Der Cofaktor einer Matrix wird als Cij dargestellt. Daher ist die Beziehung zwischen dem Nebenfaktor und dem Cofaktor einer Matrix gegeben als Mij = (-1)^i+jMij. Wenn wir alle für ein Element erhaltenen Cofaktoren anordnen, erhalten wir eine Cofaktormatrix mit der Bezeichnung C =egin{bmatrix} c_{11} & c_{12}& c_{13} c_{21} & c_{22} & c_{23} c_{31} & c_{32} &c_{33} end{bmatrix}

Erfahren Sie mehr , Minderjährige und Cofaktoren

Adjunkt einer Matrix

Adjunkt wird für eine quadratische Matrix berechnet. Adjunkt einer Matrix ist die Transponierte des Cofaktors der Matrix. Der Adjungierte einer Matrix wird somit ausgedrückt als adj(A) = C_Twobei C die Cofaktormatrix ist.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine Matrix
A = egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}
Dann
mathrm{adj(A)} = egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}^T Rightarrow mathrm{adj(A)} =egin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3 B_1 & B_2 & B_3 C_1 & C_2 & C_3 end{bmatrix}
Wo,
egin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1 A_2 & B_2 & C_2 A_3 & B_3 & C_3 end{bmatrix}ist Cofaktor der Matrix A.

Eigenschaften des Adjunkten der Matrix

Die Eigenschaften des Adjungierten einer Matrix sind unten aufgeführt:

• A(Adj A) = (Adj A) A = |A| ICH_N
• Adj(AB) = (Adj B) . (Anpassung A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1Adj(A)
• |adj(adj(A))| =|A| ^ (n-1) ^ 2
• adj(adj(A)) = |A|^(n-2)× A
• Wenn A = [L,M,N], dann adj(A) = [MN, LN, LM]
• adj(I) = I {wobei I die Identitätsmatrix ist}

Wobei n = Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten

Umkehrung einer Matrix

Eine Matrix soll eine sein Umkehrung der Matrix „A“, wenn die Matrix auf die Potenz -1 erhöht wird, d. h. A-1. Die Umkehrung wird nur für eine quadratische Matrix berechnet, deren Determinante ungleich Null ist. Die Formel für die Umkehrung einer Matrix lautet:

A^-1= adj(A)/det(A) = (1/|A|)(Adj A), wobei |A| sollte nicht gleich Null sein, was bedeutet, dass Matrix A nicht singulär sein sollte.

Eigenschaften Umkehrung der Matrix

• (A^-1)^-1= A
• (AB)^-1= B^-1A^-1
• Nur eine nicht singuläre quadratische Matrix kann eine Umkehrung haben.

Elementare Operation an Matrizen

Elementare Operationen auf Matrizen werden durchgeführt, um die lineare Gleichung zu lösen und die Umkehrung einer Matrix zu finden. Elementare Operationen finden zwischen Zeilen und zwischen Spalten statt. Es gibt drei Arten von Elementaroperationen, die für Zeilen und Spalten ausgeführt werden. Diese Vorgänge werden im Folgenden aufgeführt:

Zu den elementaren Operationen an Zeilen gehören:

• Zwei Reihen vertauschen
• Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl ungleich Null
• Zwei Zeilen hinzufügen

Zu den elementaren Operationen an Spalten gehören:

• Zwei Spalten vertauschen
• Multiplizieren einer Spalte mit einer Zahl ungleich Null
• Zwei Spalten hinzufügen

Erweiterte Matrix

Eine Matrix, die durch die Kombination von Spalten zweier Matrizen gebildet wird, wird aufgerufen Erweiterte Matrix . Eine erweiterte Matrix wird verwendet, um elementare Zeilenoperationen durchzuführen, eine lineare Gleichung zu lösen und die Umkehrung einer Matrix zu finden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels verstehen.

Nehmen wir an, wir haben eine Matrix A =egin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 a_2 & b_2 & c_2 a_3 & b_3 & c_3 end{bmatrix}, X =egin{bmatrix} x y z end{bmatrix}und B =egin{bmatrix} p_{1} p_{2} p_{3} end{bmatrix}Dann wird eine erweiterte Matrix zwischen A und B gebildet. Die erweiterte Matrix für A und B ist angegeben als

[A|B] =left[egin{array}lll a_1 & b_1 & c_1&p_1 a_2 & b_2 & c_2&p_2 a_3 & b_3 & c_3 &p_3end{array} ight]

Lösen einer linearen Gleichung mithilfe von Matrizen

Matrizen werden zur Lösung linearer Gleichungen verwendet. Um lineare Gleichungen zu lösen, müssen wir drei Matrizen erstellen. Die erste Matrix besteht aus Koeffizienten, die zweite Matrix aus Variablen und die dritte Matrix aus Konstanten. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels verstehen.

Verteilungsgesetz Boolesche Algebra

Nehmen wir an, wir haben zwei Gleichungen, die als a angegeben sind₁x + b₁y = c₁und ein₂x + b₂y = c₂. In diesem Fall bilden wir die erste Koeffizientenmatrix, sagen wir A =egin{bmatrix}a_{1} & b_{1}a_{2} & b_{2}end{bmatrix}, die zweite Matrix besteht aus Variablen, sagen wir X =egin{bmatrix}xyend{bmatrix}und die dritte Matrix hat den Koeffizienten B =egin{bmatrix}c_{1}c_{2}end{bmatrix}dann ist die Matrixgleichung gegeben als

AX = B

⇒ X = A ^-1 B

Wo,

• A ist die Koeffizientenmatrix
• X ist eine variable Matrix
• B ist eine konstante Matrix

Daraus können wir erkennen, dass der Wert der Variablen X berechnet werden kann, indem die Umkehrung der Matrix A mit B multipliziert und dann das äquivalente Produkt zweier Matrizen mit der Matrix

Rang einer Matrix

Der Rang einer Matrix wird durch die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten einer Matrix angegeben. Der Rang einer Matrix ist immer kleiner oder gleich der Gesamtzahl der in einer Matrix vorhandenen Zeilen oder Spalten. Eine quadratische Matrix hat linear unabhängige Zeilen oder Spalten, wenn die Matrix nicht singulär ist, d. h. die Determinante ungleich Null ist. Da eine Nullmatrix keine linear unabhängigen Zeilen oder Spalten hat, ist ihr Rang Null.

Der Rang einer Matrix kann durch Konvertieren der Matrix in die Zeilenstufenform berechnet werden. In der Zeilenstufenform versuchen wir, alle zu einer Zeile gehörenden Elemente mithilfe von Elementary Opeartion on Row in Null umzuwandeln. Nach der Operation ist die Gesamtzahl der Zeilen, die mindestens ein Nicht-Null-Element enthalten, der Rang der Matrix. Der Rang der Matrix A wird durch ρ(A) dargestellt.

Eigenwert und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte sind der Satz von Skalaren, die der linearen Gleichung in Matrixform zugeordnet sind. Eigenwerte werden auch charakteristische Wurzeln der Matrizen genannt. Die Vektoren, die mithilfe des Eigenwerts zur Angabe der Richtung an diesen Punkten gebildet werden, werden Eigenvektoren genannt. Eigenwerte ändern die Größe von Eigenvektoren. Wie jeder Vektor ändert sich der Eigenvektor bei der linearen Transformation nicht.

Für eine Quadratmatrix A der Ordnung „n“ wird eine weitere Quadratmatrix A – λI derselben Ordnung gebildet, wobei I die Identitätsmatrix und λ der Eigenwert ist. Der Eigenwert λ erfüllt eine Gleichung Av = λv, wobei v ein Vektor ungleich Null ist.

Lerne mehr über Eigenwerte und Eigenvektoren auf unserer Website.

Matrizenformeln

Die Grundformel für die Matrizen wurde unten besprochen:

• A^-1= adj(A)/|A|
• A(adj A) = (adj A)A = I, wobei I eine Identitätsmatrix ist
• |adj A| = |A|n-1 wobei n die Ordnung der Matrix A ist
• adj(adj A) = |A|n-2A wobei n die Ordnung der Matrix ist
• |adj(adj A)| = |A|^{(n-1)^2}
• adj(AB) = (adj B)(adj A)
• adj(A^P) = (adj A)^P
• adj(kA) = kn-1(adj A) wobei k eine beliebige reelle Zahl ist
• adj(I) = I
• adj 0 = 0
• Wenn A symmetrisch ist, ist auch adj(A) symmetrisch
• Wenn A eine Diagonalmatrix ist, dann ist adj(A) auch eine Diagonalmatrix
• Wenn A eine Dreiecksmatrix ist, dann ist adj(A) auch eine Dreiecksmatrix
• Wenn A eine singuläre Matrix ist, dann |adj A| = 0
• (AB)^-1= B^-1A^-1

Mehr lesen,

• Mengenlehre
• Infinitesimalrechnung
• Trigonometrie

Matrizen JEE Hauptfragen

Q1. Die Anzahl der quadratischen Matrizen der Ordnung 5 mit Einträgen aus der Menge {0, 1}, so dass die Summe aller Elemente in jeder Zeile 1 ist und die Summe aller Elemente in jeder Spalte ebenfalls 1 ist, beträgt

Q2. Sei A eine 3 × 3-Matrix mit |adj(adj(adj A))| = 12 ⁴ . Dann |A ^-1 adj A| ist gleich,

Q3. Seien α und β die reellen Zahlen. Betrachten Sie eine 3 × 3-Matrix A mit A ² = 3A + αI. Wenn ein ⁴ = 21A + βI, dann ermitteln Sie den Wert von α und β.

Q4. Sei A = [a]ij, aij ϵ Z ∩ [0, 4], 1 ≤ i, j ≤ 2. Die Anzahl der Matrizen A, so dass die Summe aller Einträge eine Primzahl p ϵ (2, 13) ist

F5. Sei A eine n × n-Matrix mit |A| = 2. Wenn die Determinante der Matrix Adj (2. Adj(2A ^-1 )) ist 2 ⁸⁴ dann ist n gleich,

Matrizen – FAQs

Was ist Matrix in der Mathematik?

Matrizen in der Mathematik sind rechteckige Array-Anordnungen von Zahlen oder Variablen, die sich in bestimmten Zeilen und Spalten befinden und verschiedenen Operationen unterzogen werden.

Wie löst man Matrizen?

Wir lösen Matrizen für verschiedene Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Transponierung usw. Diese Methoden werden unter dem Titel Operationen auf Matrizen besprochen.

Welche verschiedenen Arten von Matrizen gibt es?

Die verschiedenen Arten von Matrizen sind Zeilenmatrix, Spaltenmatrix, horizontale Matrix, vertikale Matrix, quadratische Matrix, diagonale Matrix, Nullmatrix, Identitätsmatrix, Dreiecksmatrizen, symmetrische und schiefsymmetrische Matrizen, hermitesche und schiefhermitesche Matrizen usw. Diese Typen haben unter dem Titel „Typen von Matrizen“ diskutiert.

Was ist der Rang einer Matrix?

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten in einer Matrix.

Was ist die Transponierte einer Matrix?

Die Transponierung einer Matrix ist die Neuanordnung von Zeilenelementen in Spalten und umgekehrt.

Wie lautet die Formel, um die Umkehrung einer Matrix zu finden?

Die Umkehrung der Matrix lässt sich mit der Formel A ermitteln^-1= (1/|A|)(adj A)

Was ist die Bedingung für die Multiplikation zweier Matrizen?

Zwei Matrizen können nur multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.

Wie finde ich die Determinante der 2⨯2-Matrix?

Die Determinante einer 2⨯2-Matrix kann durch Subtrahieren des Produkts diagonaler Elemente der Matrix ermittelt werden.

Was ist die Hauptdiagonale einer Matrix?

Die Diagonale einer quadratischen Matrix, die von den Elementen oben links zu den Elementen unten rechts verläuft, ist die Hauptdiagonale einer Matrix.