Sei L eine nicht leere Menge, die durch zwei binäre Operationen namens „Meet“ und „Join“ geschlossen wird und mit ∧ und ∨ bezeichnet wird. Dann heißt L ein Verband, wenn die folgenden Axiome gelten, wobei a, b, c Elemente in L sind:
1) Kommutativgesetz: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Assoziatives Gesetz:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Absorptionsgesetz: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Dualität:
Das Dual einer Aussage in einem Verband (L,∧,∨) ist definiert als eine Aussage, die durch Vertauschen von ∧ und ∨ erhalten wird.
Zum Beispiel , das Dual von a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a ist a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Begrenzte Gitter:
Ein Gitter L heißt ein begrenztes Gitter, wenn es das größte Element 1 und das kleinste Element 0 hat.
Beispiel:
- Die Potenzmenge P(S) der Menge S unter den Operationen Schnitt und Vereinigung ist ein beschränkter Verband, da ∅ das kleinste Element von P(S) und die Menge S das größte Element von P(S) ist.
- Die Menge der +ve ganzen Zahl I+unter der üblichen Ordnung von ≦ ist kein begrenztes Gitter, da es ein kleinstes Element 1 hat, das größte Element jedoch nicht existiert.
Eigenschaften begrenzter Gitter:
Wenn L ein begrenztes Gitter ist, dann haben wir für jedes Element a ∈ L die folgenden Identitäten:
- a ∨ 1 = 1
- ein ∧1= ein
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Satz: Beweisen Sie, dass jedes endliche Gitter L = {a1,A2,A3....AN} ist begrenzt.
Nachweisen: Wir haben das endliche Gitter angegeben:
L = {a1,A2,A3....AN}
Somit ist das größte Element des Gitters L a1∨ a2∨ a3∨....∨aN.
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Außerdem ist das kleinste Element des Gitters L a1∧ a2∧a3∧....∧aN.
Denn für jedes endliche Gitter gibt es das größte und das kleinste Element. Daher ist L beschränkt.
Untergitter:
Betrachten Sie eine nicht leere Teilmenge L1eines Gitters L. Dann ist L1heißt Untergitter von L, wenn L1selbst ist ein Verband, d. h. die Operation von L, d. h. a ∨ b ∈ L1und a ∧ b ∈ L1wann immer a ∈ L1und b ∈ L1.
Beispiel: Betrachten Sie den Verband aller +ve ganzen Zahlen I+unter der Operation der Teilbarkeit. Das Gitter DNaller Teiler von n > 1 ist ein Unterverband von I+.
Bestimmen Sie alle Untergitter von D30die mindestens vier Elemente enthalten, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Lösung: Die Untergitter von D30die mindestens vier Elemente enthalten, sind wie folgt:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Isomorphe Gitter:
Zwei Gitter L1und ich2heißen isomorphe Gitter, wenn es eine Bijektion von L gibt1zu L2d. h. f: L1⟶ L2, so dass f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) und f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die in Abb. gezeigten Gitter isomorph sind.
Lösung: Die in Abb. gezeigten Gitter sind isomorph. Betrachten Sie die Abbildung f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Zum Beispiel f (b ∧ c) = f (a) = 1. Auch wir Es gilt f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Verteilungsgitter:
Ein Gitter L wird als Verteilungsgitter bezeichnet, wenn es für alle Elemente a, b und c von L die folgenden Verteilungseigenschaften erfüllt:
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- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Erfüllt das Gitter L die oben genannten Eigenschaften nicht, spricht man von einem nichtdistributiven Gitter.
Beispiel:
- Die Potenzmenge P (S) der Menge S unter der Operation von Schnitt und Vereinigung ist eine Verteilungsfunktion. Seit,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
und außerdem a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) für alle Mengen a, b und c von P(S). - Das in Abb. II gezeigte Gitter ist ein Verteilungsgitter. Da es die Verteilungseigenschaften für alle geordneten Tripel erfüllt, die aus 1, 2, 3 und 4 entnommen werden.
Komplemente und ergänzte Verbände:
Sei L ein begrenztes Gitter mit der unteren Grenze o und der oberen Grenze I. Sei a ein Element, wenn L. Ein Element x in L heißt Komplement von a, wenn a ∨ x = I und a ∧ x = 0
Ein Gitter L heißt komplementär, wenn L beschränkt ist und jedes Element in L ein Komplement hat.
Beispiel: Bestimmen Sie das Komplement von a und c in Abb.:
Lösung: Das Komplement von a ist d. Da a ∨ d = 1 und a ∧ d = 0
Das Komplement von c existiert nicht. Da es kein Element c gibt, so dass c ∨ c'=1 und c ∧ c'= 0.
Modulares Gitter:
Ein Gitter (L, ∧,∨) heißt modulares Gitter, wenn a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c, wann immer a ≦ c.
Direktes Produkt von Gittern:
Sei (L1∨1∧1)und ich2∨2∧2) zwei Gitter sein. Dann ist (L, ∧,∨) das direkte Produkt von Gittern, wobei L = L1x L2wobei die binären Operationen ∨(verbinden) und ∧(treffen) auf L so sind, dass für jedes (a1,B1)und ein2,B2) in L.
(A1,B1)∨( a2,B2)=(a1∨1A2,B1∨2B2)
und ein1,B1) ∧ ( ein2,B2)=(a1∧1A2,B1∧2B2).
Beispiel: Betrachten Sie ein Gitter (L, ≦), wie in Abb. gezeigt. wobei L = {1, 2}. Bestimmen Sie die Gitter (L2, ≦), wobei L2=L x L.
Lösung: Das Gitter (L2, ≦) ist in Abb. dargestellt: