Bei der Vereinfachung des Booleschen Ausdrucks spielen die Gesetze und Regeln der Booleschen Algebra eine wichtige Rolle. Bevor Sie diese Gesetze und Regeln der Booleschen Algebra verstehen, sollten Sie sich mit dem Konzept der Addition und Multiplikation boolescher Operationen vertraut machen.

Boolesche Addition

Die Additionsoperation der Booleschen Algebra ähnelt der ODER-Operation. In digitalen Schaltungen wird die ODER-Verknüpfung zur Berechnung des Summenterms verwendet, ohne die UND-Verknüpfung zu verwenden. A + B, A + B', A + B + C' und A' + B + + D' sind einige Beispiele für „Summenterme“. Der Wert des Summenterms ist wahr, wenn ein oder mehrere Literale wahr sind, und falsch, wenn alle Literale falsch sind.

Boolesche Multiplikation

Die Multiplikationsoperation der Booleschen Algebra ähnelt der UND-Operation. In digitalen Schaltungen berechnet die UND-Verknüpfung das Produkt, ohne eine ODER-Verknüpfung zu verwenden. AB, AB, ABC und ABCD sind einige Beispiele für den Produktbegriff. Der Wert des Produktterms ist wahr, wenn alle Literale wahr sind, und falsch, wenn eines der Literale falsch ist.

Gesetze der Booleschen Algebra

Es gibt die folgenden Gesetze der Booleschen Algebra:

Kommutativgesetz

Dieses Gesetz besagt, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge wir die Variablen verwenden. Das bedeutet, dass die Reihenfolge der Variablen keine Rolle spielt. In der Booleschen Algebra sind die ODER- und Additionsoperationen ähnlich. Im folgenden Diagramm zeigt das ODER-Gatter an, dass die Reihenfolge der Eingangsvariablen überhaupt keine Rolle spielt.

Äquivalenzgesetze

Für zwei Variablen lautet das kommutative Additionsgesetz wie folgt:

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Für zwei Variablen wird das kommutative Gesetz der Multiplikation wie folgt geschrieben:

Assoziatives Recht

Dieses Gesetz besagt, dass die Operation in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden kann, wenn die Variablenpriorität gleich ist. Da „*“ und „/“ die gleiche Priorität haben. Im folgenden Diagramm wird das Assoziativgesetz auf das ODER-Gatter mit zwei Eingängen angewendet.

Für drei Variablen lautet das assoziative Additionsgesetz wie folgt:

Für drei Variablen lautet das assoziative Multiplikationsgesetz wie folgt:

Nach diesem Gesetz spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Variablen bei der UND-Verknüpfung von mehr als zwei Variablen gruppiert werden. Im folgenden Diagramm wird das Assoziativgesetz auf ein UND-Gatter mit zwei Eingängen angewendet.

Verteilungsrecht:

Wenn wir nach diesem Gesetz die ODER-Verknüpfung von zwei oder mehr Variablen und dann die UND-Verknüpfung des Ergebnisses mit einer einzelnen Variablen durchführen, ähnelt das Ergebnis der Durchführung der UND-Verknüpfung dieser einzelnen Variablen mit jeweils zwei oder mehr Variable und führen Sie dann die ODER-Verknüpfung dieses Produkts durch. Dieses Gesetz erklärt den Prozess des Factorings.

Für drei Variablen wird das Verteilungsgesetz wie folgt geschrieben:

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Regeln der Booleschen Algebra

Es gibt die folgenden Regeln der Booleschen Algebra, die hauptsächlich zur Manipulation und Vereinfachung boolescher Ausdrücke verwendet werden. Diese Regeln spielen eine wichtige Rolle bei der Vereinfachung boolescher Ausdrücke.

Regel 1: A + 0 = A

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir eine ODER-Verknüpfung mit 0 durchführen, ist das Ergebnis dasselbe wie die Eingabevariable. Wenn also der Variablenwert 1 ist, ist das Ergebnis 1, und wenn der Variablenwert 0 ist, ist das Ergebnis 0. Diagrammatisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

Regel 2: (A + 1) = 1

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir eine ODER-Verknüpfung mit 1 durchführen, ist das Ergebnis immer 1. Wenn der Variablenwert also entweder 1 oder 0 ist, ist das Ergebnis immer 1. Diagrammatisch , diese Regel kann wie folgt definiert werden:

Regel 3: (A.0) = 0

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir die UND-Verknüpfung mit 0 durchführen, ist das Ergebnis immer 0. Diese Regel besagt, dass eine mit 0 UND-verknüpfte Eingabevariable immer gleich 0 ist. Schematisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

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Regel 4: (A.1) = A

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir die UND-Verknüpfung mit 1 durchführen, ist das Ergebnis immer gleich der Eingabevariable. Diese Regel besagt, dass eine mit 1 UND-verknüpfte Eingabevariable immer gleich der Eingabevariable ist. Schematisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

Regel 5: (A + A) = A

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir die ODER-Operation mit derselben Variablen durchführen, ist das Ergebnis immer gleich der Eingabevariable. Diese Regel besagt, dass eine mit sich selbst ODER-verknüpfte Eingabevariable immer gleich der Eingabevariable ist. Schematisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

Regel 6: (A + A') = 1

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir die ODER-Operation mit dem Komplement dieser Variablen durchführen, ist das Ergebnis immer gleich 1. Diese Regel besagt, dass eine mit ihrem Komplement ODER-verknüpfte Variable gleich 1 ist stets. Schematisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

Regel 7: (A.A) = A

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir die UND-Operation mit derselben Variablen durchführen, ist das Ergebnis immer nur dieser Variablen gleich. Diese Regel besagt, dass eine mit sich selbst UND-verknüpfte Variable immer gleich der Eingabevariablen ist. Schematisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

Regel 8: (A.A') = 0

Gesetzt den Fall; Wir haben eine Eingabevariable A, deren Wert entweder 0 oder 1 ist. Wenn wir die UND-Operation mit dem Komplement dieser Variablen durchführen, ist das Ergebnis immer gleich 0. Diese Regel besagt, dass eine mit ihrem Komplement UND-verknüpfte Variable gleich 0 ist stets. Schematisch kann diese Regel wie folgt definiert werden:

Regel 9: A = (A')'

Diese Regel besagt, dass das Ergebnis das gleiche ist wie das der ursprünglichen Variablen, wenn wir das Doppelkomplement der Variablen ausführen. Wenn wir also das Komplement der Variablen A durchführen, ist das Ergebnis A'. Wenn wir außerdem erneut die Komplementierung von A' durchführen, erhalten wir A, das ist die ursprüngliche Variable.

Regel 10: (A + AB) = A

Wir können diese Regel beweisen, indem wir die Regel 2, Regel 4 und das Verteilungsgesetz wie folgt verwenden:

Regel 11: A + AB = A + B

Wir können diese Regel beweisen, indem wir die obigen Regeln wie folgt verwenden:

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Regel 12: (A + B)(A + C) = A + BC

Wir können diese Regel beweisen, indem wir die obigen Regeln wie folgt verwenden: