Logarithmusregeln oder Protokollregeln sind entscheidend für die Vereinfachung komplizierter Formulierungen, die logarithmische Funktionen enthalten. Log-Regeln erleichtern die Berechnung und Manipulation von Logarithmen in einer Vielzahl mathematischer und wissenschaftlicher Anwendungen. Von all diesen Protokollregeln sind die Produktregel, die Quotientenregel und die Potenzregel die drei gebräuchlichsten. Abgesehen von diesen gibt es viele Regeln des Logarithmus, die wir im Artikel weiter besprechen werden. In diesem Artikel werden alle Regeln für Protokolle, einschließlich Ableitungen und Integrale, im Detail anhand der Beispiele für Logarithmusregeln erläutert. Beginnen wir also mit dem Erlernen aller Regeln für Logarithmen.

Inhaltsverzeichnis

• Was sind Protokollregeln?
• Arten von Logarithmen
• Liste der Logarithmusregeln
• Natürliche Protokollregeln
• Anwendungen des Logarithmus
• Produktregel der Logarithmen
• Logarithmus-Potenzregel
• Quotientenregel der Logarithmen
• Beispiele für Protokollregeln gelöst
• Übungsfragen zu Protokollregeln

Was sind Protokollregeln?

Logarithmusregeln in der Mathematik sind die Regeln und Gesetze, die zur Vereinfachung und Manipulation logarithmischer Funktionsausdrücke verwendet werden. Diese Prinzipien stellen Beziehungen zwischen exponentiellen und logarithmischen Formen her und bieten eine systematische Technik zur Handhabung komplizierter logarithmischer Berechnungen.

Die wichtigsten Regeln lauten wie folgt: Produktregel : was uns erlaubt, ein Produkt innerhalb eines Logarithmus in eine Summe einzelner Logarithmen zu dividieren; Quotientenregel : was uns erlaubt, einen Quotienten innerhalb eines Logarithmus in eine Differenz von Logarithmen zu teilen; Potenzregel: was es uns ermöglicht, Exponenten aus einem Logarithmus zu extrahieren; Basiswechselregel oder Änderung der Basisregel : Damit können wir die Basis eines Logarithmus ändern.

Diese Gesetze sind in vielen mathematischen und wissenschaftlichen Anwendungen von entscheidender Bedeutung und machen Logarithmen zu einem wertvollen Werkzeug zum Lösen von Gleichungen, zur Modellierung exponentiellen Wachstums und zur Analyse großer Datenmengen.

Arten von Logarithmen

Normalerweise beschäftigen wir uns mit zwei Arten von Logarithmen:

• Gemeinsamer Logarithmus
• Natürlicher Logarithmus

Notiz: Es kann einen Logarithmus mit jeder reellen Zahl als Basis geben, aber diese beiden, d. h. der gewöhnliche und der natürliche Logarithmus, sind die gebräuchlichsten und gebräuchlichsten.

Lassen Sie uns diese Typen im Detail besprechen.

Gemeinsamer Logarithmus

Ein allgemeiner Logarithmus, oft auch als Logarithmus zur Basis 10 oder einfach Log bezeichnet, ist eine mathematische Funktion, die den Exponenten darstellt, um den eine bestimmte Zahl erhöht werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erreichen. Es berechnet die Zehnerpotenz, die erforderlich ist, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Zum Beispiel loggen Sie sich ein₁₀(100) ist gleich 2, weil 10 hoch 2 gleich 100 ist. Der dezidierte Logarithmus von 100 ist in diesem Fall 2, was zeigt, dass 10²= 100. Gemeinsame Logarithmen werden in vielen Bereichen, einschließlich Wissenschaft, Technik und Finanzen, verwendet, um die Darstellung großer Zahlen zu vereinfachen und bei Berechnungen zu helfen, die Zehnerpotenzen erfordern.

Natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ist eine mathematische Funktion, die den Logarithmus zur Basis „e“ (Eulersche Zahl, etwa 2,71828) ausdrückt. Sie ist die Umkehrung der Exponentialfunktion und stellt die Zeit dar, die benötigt wird, damit eine Größe um einen konstanten Faktor zu- oder abnimmt.

Beispielsweise bedeutet ln (10) ≈ 2,30259, dass e multipliziert mit 2,30259 gleich 10 ist. Der natürliche Logarithmus wird in vielen Bereichen, einschließlich Mathematik, Physik und Finanzen, verwendet, um Phänomene zu beschreiben, die ein exponentielles Wachstum oder einen exponentiellen Rückgang aufweisen, wie z. B. Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall und Zinseszinsberechnungen.

Was sind Logarithmusregeln?

Logarithmische Operationen können nach bestimmten Regeln durchgeführt werden. Diese Regeln sind bekannt als:

• Produktregel
• Quotientenregel
• Null-Regel
• Identitätsregel
• Potenzregel oder Exponentialregel
• Änderung der Grundregel
• Gegenseitige Regel

Abgesehen von diesen allgemeinen Regeln können wir auch einige ungewöhnliche Regeln haben, wie zum Beispiel:

• Logarithmus-Umkehreigenschaft
• Ableitung von Log
• Integration von Protokoll

Produktregel des Protokolls

Nach der Produktregel ist der Logarithmus eines Produkts die Summe der Logarithmen seiner Elemente.

Formel: Protokoll_A(XY) = log_AX + log_AUND

Beispiel: Protokoll₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Quotientenregel des Protokolls

Die Quotientenregel besagt, dass der Logarithmus eines Quotienten gleich der Differenz der Zähler- und Nennerlogarithmen ist.

Formel: Protokoll_A(X/Y) = log_AX – Protokoll_AUND

Beispiel: Protokoll₃(9 / 3) = log₃(9) – Protokoll₃(3)

Nullregel des Protokolls

Nach der Nullregel ist der Logarithmus von 1 zu jeder Basis immer 0.

Formel: Protokoll_A(1) = 0

Beispiel: Protokoll₄(1) = 0

Identitätsregel des Protokolls

Nach der Identitätsregel beträgt der Logarithmus einer Basis zu sich selbst immer 1.

Formel: Protokoll_A(a) = 1

Beispiel: Protokoll₇(7) = 1

Gegenseitige Regel

Gemäß der Kehrwertregel der Logarithmen ist der Logarithmus des Kehrwerts einer Zahl (1 dividiert durch diese Zahl) gleich dem Negativ des Logarithmus der ursprünglichen Zahl. In mathematischer Notation:

Formel: Protokoll_A(1/X) = – log_A(X)

Beispiel: Protokoll_A(1/2) = – log_A(2)

Potenzregel oder Exponentialregel des Logarithmus

Nach der Potenzregel ist der Logarithmus einer zum Exponenten erhöhten Zahl gleich dem Exponenten multipliziert mit dem Logarithmus der Basis.

Formel: Protokoll_A(X^N) = n × log_AX

Beispiel: Protokoll₅(9²) = 2 × log₅(9)

Änderung der Grundregel des Protokolls

Mit der Basisänderungsregel können Sie den Logarithmus einer Zahl in einer anderen Basis berechnen, indem Sie einen gemeinsamen Logarithmus verwenden (normalerweise Basis 10 oder Basis e). Change of Base Rule wird auch Change of Base Rule genannt Basiswechselregel.

Formel: Protokoll_A(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Beispiel: Protokoll₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3)

Logarithmus-Umkehreigenschaft

Die Eigenschaft „Logarithmus invers“ besagt, dass die Berechnung des Logarithmus eines potenzierten Werts den ursprünglichen Exponenten ergibt.

Formel: Protokoll_A(aⁿ) = n

Beispiel: log₄(4²) = 2

Ableitung von Log

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion ist der Kehrwert der Funktion multipliziert mit der Ableitung der Funktion.

Formel: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Beispiel: Wenn y = ln(x²), dann ist dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integration von Protokoll

Neben der Differentiation können wir auch das Integral des Logarithmus berechnen. Das Integral der Log-Funktion ist wie folgt angegeben:

Formel: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Natürliche Protokollregeln

Da natürliche und gemeinsame Protokolle nur einen Unterschied in der Basis haben, gelten für natürliche Protokolle dieselben Regeln wie für gewöhnliche Protokolle, die bereits besprochen wurden. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir in den Regeln des natürlichen Logarithmus anstelle von log (Symbol für den gemeinsamen Logarithmus zur Basis 10) ln (Symbol für den natürlichen Logarithmus zur Basis e) verwenden. Diese Regeln lassen sich wie folgt formulieren:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln m^N= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• Es ist^{ln x}= x

Anwendungen des Logarithmus

Schauen wir uns einige der Anwendungen von log an.

• Wir verwenden Logarithmen, um den Säuregehalt und die Alkalität chemischer Lösungen zu berechnen.
• Zur Berechnung der Erdbebenintensität wird die Richterskala verwendet.
• Die Lärmmenge wird auf einer logarithmischen Skala in Dezibel (dB) gemessen.
• Logarithmen werden verwendet, um exponentielle Prozesse wie den Zerfall aktiver Isotope, die Bakterienentwicklung, die Ausbreitung einer Epidemie in einer Bevölkerung und die Abkühlung einer toten Leiche zu analysieren.
• Zur Berechnung der Rückzahlungszeit eines Kredits wird ein Logarithmus verwendet.
• Der Logarithmus wird in der Analysis verwendet, um schwierige Gleichungen zu differenzieren und die Fläche unter Kurven zu berechnen.

Produktregel der Logarithmen

Gemäß der Produktregel für Logarithmen ist der Logarithmus einer Multiplikation zweier Terme dasselbe wie die Addition der Logarithmen dieser einzelnen Terme. Mit anderen Worten, diese Regel wird als Protokoll ausgedrückt_B(mn) = log_B(m) + log_B(N). Fahren wir mit der Ableitung dieser Regel fort.

Ableitungsprozess:

Beginnen wir mit der Log-Annahme_B(m) = x und log_B(n) = y. Wenn wir beide in ihre Exponentialformen umwandeln, erhalten wir:

Protokoll_B(m) = x impliziert m = b^X… (1)

Protokoll_B(n) = y impliziert n = b^Und… (2)

Wenn wir die Gleichungen (1) und (2) miteinander multiplizieren,

mn = b^{X .}B^Und

Unter Verwendung der Regeln zur Multiplikation von Exponenten,

mn = b^{x + y}

Die Rückumrechnung in die logarithmische Form ergibt:

Protokoll_B(mn) = x + y

Durch das Zurücksetzen von x und y,

Protokoll_B(mn) = log_B(m) + log_B(N)

Damit haben wir die Produktregel der Logarithmen abgeleitet. Diese Regel kann auf verschiedene Arten genutzt werden, wie zum Beispiel:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Es ist wichtig zu beachten, dass die Produktregel für Logarithmen nicht für log gilt (m + n), die nicht in einzelne Logarithmen zerlegt werden kann. Diese Regel bezieht sich ausschließlich auf den Logarithmus eines Produkts, log(mn).

Logarithmus-Potenzregel

Die Logarithmus-Potenzregel besagt, dass, wenn das Argument eines Logarithmus potenziert wird, dieser Exponent an den Anfang des Logarithmus verschoben werden kann. Mit anderen Worten: logb mn = n logb m. Lassen Sie uns die Ableitung dieser Regel untersuchen.

Ableitungsprozess:

Beginnen Sie mit der Protokollierung_Bm ist gleich x. Wenn wir dies in seine Exponentialform umwandeln, erhalten wir:

B^X= m

Erhöhen Sie dann beide Seiten mit n, was zu Folgendem führt:

inurl:.git/head

(B^X)^N= m^N

Die Anwendung der Exponentenpotenzregel ergibt:

B^nx= m^N

Wenn wir zurück in die logarithmische Form konvertieren, erhalten wir:

Protokoll_BM^N= nx

Durch Ersetzen von x durch log_Bm, wir kommen zu:

Protokoll_BM^N= n log_BM

Damit ist die Ableitung der Logarithmus-Potenzregel abgeschlossen. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Anwendung dieser Regel:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Quotientenregel der Logarithmen

Gemäß der Quotientenregel für Logarithmen ist der Logarithmus einer Division zwischen zwei Zahlen die Subtraktion der Logarithmen jeder Zahl.

Konkret heißt es in der Regel, dass log_B(m/n) = log_Bm – log_BN. Fahren wir mit der Ableitung dieser Regel fort.

Ableitungsprozess:

Angenommen, Protokoll_Bm ist gleich x und log_Bn ist gleich y. Wir werden diese in ihren Exponentialformen ausdrücken.

Protokoll_Bm = x impliziert m = b^X… (1)

Protokoll_Bn = y impliziert n = b^Und… (2)

Wenn wir Gleichung (1) durch Gleichung (2) dividieren,

m/n = b^X/ B^Und

Anwendung der Quotientenregel für Exponenten,

m/n = b^x–y

Rückumwandlung in die logarithmische Form,

Protokoll_B(m/n) = x – y

Durch das Zurücksetzen von x und y,

Protokoll_B(m/n) = log_Bm – log_BN

Daher haben wir die Quotientenregel für Logarithmen abgeleitet. Diese Regel kann wie folgt genutzt werden:

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Es ist wichtig zu beachten, dass die Quotientenregel nichts für log (m – n) impliziert.

Verwandte Themen:

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Beispiele für Protokollregeln gelöst

Beispiel 1: Protokoll vereinfachen ₂ (4 × 8).

Lösung:

Mithilfe der Produktregel zerlegen wir das Produkt in eine Summe von Logarithmen:

Protokoll₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Beispiel 2: Protokoll vereinfachen ₄ (16/2).

Lösung:

Mit der Quotientenregel dividieren wir den Quotienten durch eine Differenz von Logarithmen:

Protokoll₄(16 / 2) = log₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Beispiel 3: Protokoll vereinfachen ₅ (25 ³ ).

Lösung:

Mithilfe der Potenzregel können wir den Exponenten als Koeffizient herunterrechnen:

Lebenszyklus der Softwareentwicklung

Protokoll₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Beispiel 4: Protokoll konvertieren ₃ (7) in einen Ausdruck mit Basis 10 umwandeln.

Lösung:

Unter Verwendung der Basiswechselregel dividieren wir durch den Logarithmus der neuen Basis:

Protokoll₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Beispiel 5: Protokoll auswerten ₇ (49) unter Verwendung der Basisänderungsregel mit Basis 2.

Lösung:

Verwendung der Basisänderungsregel mit Basis 2:

Protokoll₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (ungefähr).

Übungsfragen zu Protokollregeln

Problem 1: Vereinfachen Sie den Ausdruck: log₂(4) + log₂(8).

Problem 2: Vereinfachen Sie: Protokoll₅(25) – log₅(5).

Problem 3: Vereinfachen Sie den Ausdruck: log₃(9²).

Problem 4: Express-Protokoll₄(25) in Form von dekadischen Logarithmen.

Problem 5: Vereinfachen Sie die Verwendung von Protokollregeln: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problem 6: Nach x auflösen: log₂(x) = 3.

Problem 7: Lösen Sie nach x auf: 2^{3x – 1}= 8.

Protokollregeln – FAQs

Was sind Logarithmusregeln?

Logarithmusregeln sind eine Sammlung von Empfehlungen zur Manipulation und Vereinfachung von Formeln mithilfe logarithmischer Funktionen. Sie bieten eine systematische Methode für den Umgang mit komplizierten Berechnungen und Wechselwirkungen zwischen Exponentialen und Logarithmen.

Wie viele wichtige Logarithmusregeln gibt es?

Die Produktregel, die Quotientenregel, die Potenzregel, die Basiswechselregel und die Basisänderungsregel sind allesamt wichtige Logarithmusregeln. Diese Prinzipien ermöglichen logarithmische Ausdrucksmodifikationen und Berechnungen.

Was ist die logarithmische Produktregel?

Nach der Produktregel ist der Logarithmus eines Produkts gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Was sind zwei Arten von Logarithmen?

Die beiden am häufigsten verwendeten Logarithmustypen sind:

• Gemeinsamer Logarithmus oder Basis-10-Logarithmus
• Natürlicher Logarithmus oder Basis-e-Logarithmus

Was ist die Protokollregel für den Basiswechsel?

Gemäß der Änderung der Grundregel von Protokoll, Protokoll_A(b)=[log_C(b)]/[log_C(a)], wobei c eine beliebige positive reelle Zahl ist.

Was ist Log 0?

Der Logarithmus von Null ist unbekannt. Wir erhalten niemals die Zahl 0, indem wir einen Wert mit einem anderen Wert potenzieren.

Was ist Protokoll 1?

Aufgrund der Nullregel ist der Logarithmus von 1 zu jeder Basis immer 0, d. h. log_A(1) = 0.

Was ist der Logarithmus einer beliebigen Zahl zu sich selbst als Basis?

Gemäß der Identitätsregel ist der Logarithmus einer Basis zu sich selbst immer 1, also log_A(a) = 1.

Welche Beziehung besteht zwischen Logarithmen und Exponentialzahlen?

Logarithmen und Exponentialrechnungen sind Umkehroperationen. Ein Logarithmus gibt den Exponenten an, der benötigt wird, um eine bestimmte Zahl zu erreichen, während ein Exponential eine Basis zu einem Exponenten erhöht.

Was sind die 7 Regeln des Logarithmus?

Zu den 7 Regeln des Logarithmus gehören:

• Produktregel
• Quotientenregel
• Machtregel
• Änderung der Grundregeln
• Null-Regel
• Identitätsregel
• Negative Regel

Diese Regeln werden zur Vereinfachung logarithmischer Ausdrücke verwendet.

Was ist die Log-Exponent-Regel?

Die logarithmische Exponentenregel besagt, dass die logarithmische Basis b von a^Xist gleich dem x-fachen des Logarithmus zur Basis b von a, d. h. log_BA^X= x log_BA.

Was ist der Hauptunterschied zwischen Common Log und Natural Log?

Der Hauptunterschied zwischen gewöhnlichem und natürlichem Logarithmus besteht darin, dass gewöhnliche Logarithmen die Basis 10 verwenden, während natürliche Logarithmen die mathematische Konstante „e“ als Basis verwenden.

Was ist die Ableitungsregel für Log?

Die Ableitungsregel für Protokollfunktionen lautet: d/dx[log_B(x)] = 1 / (x ln(b)), wobei „b“ die Basis des Logarithmus ist.

Was ist die Basiswechselregel?

Gemäß der Basiswechselregel kann die Basis jedes Logarithmus mithilfe der Formel in jede andere gewünschte Basis geändert werden: loga(X) = logb(X) / logb(a).