Die Zielfunktion ist, wie der Name schon sagt, das Ziel des linearen Programmierproblems. Bei der linearen Programmierung oder linearen Optimierung verwenden wir verschiedene Techniken und Methoden, um mit einigen Einschränkungen die optimale Lösung für das lineare Problem zu finden. Die Technik kann auch Ungleichheitsbeschränkungen umfassen. Die Zielfunktion in der linearen Programmierung besteht darin, zu optimieren, um die optimale Lösung für ein gegebenes Problem zu finden.

In diesem Artikel erfahren wir alles über die Zielfunktion, einschließlich ihrer Definition, Typen, wie man eine Zielfunktion für ein bestimmtes Problem formuliert usw. Wir lernen auch verschiedene Darstellungen von Zielfunktionen kennen, wie z. B. lineare Zielfunktionen oder nichtlineare Ziele Funktionen. Beginnen wir also damit, etwas über dieses grundlegende Konzept der linearen Programmierung zu lernen, nämlich die Zielfunktion.

Was ist eine Zielfunktion?

Wie der Name schon sagt, legt die Zielfunktion im Wesentlichen das Ziel des Problems fest. Es konzentriert sich auf die Entscheidungsfindung auf der Grundlage von Einschränkungen. Es handelt sich um eine reellwertige Funktion, die je nach Randbedingungen entweder maximiert oder minimiert werden muss. Es ist wie eine Gewinn- oder Verlustfunktion. Es wird normalerweise mit Z bezeichnet.

Die mit der Zielfunktion verbundenen Terminologien lauten wie folgt:

• Einschränkungen: Sie sind im Grunde die bedingten Gleichungen, die die lineare Funktion bestimmen
• Entscheidungsvariablen: Die Variablen, deren Werte ermittelt werden sollen. Die Gleichungen werden gelöst, um den optimalen Wert dieser Variablen zu erhalten.
• Mögliche Region: Es handelt sich um den Bereich im Diagramm, in dem die Einschränkungen erfüllt sind und in dem sich die Entscheidungsvariablen an den Ecken des Bereichs befinden.
• Optimale Lösung: Die bestmögliche Lösung, die alle Randbedingungen erfüllt und das höchste oder niedrigste Ziel erreicht.
• Undurchführbare Lösung: Eine Lösung, die eine oder mehrere Einschränkungen verletzt und nicht implementiert oder ausgeführt werden kann.

Zielfunktion in der linearen Programmierung

In der linearen Programmierung ist eine Zielfunktion eine lineare Funktion, die zwei Entscheidungsvariablen umfasst. Es handelt sich um eine lineare Funktion, die je nach Randbedingungen maximiert oder minimiert werden muss. Wenn a und b Konstanten und x und y Entscheidungsvariablen sind, wobei x> 0 und y> 0, dann ist die Zielfunktion

Z = ax + by

Um also den optimalen Wert der Optimierungsfunktion zu erhalten, müssen wir zunächst die Einschränkungen mit einer der Techniken lösen und die Entscheidungsvariablen ermitteln. Dann geben wir die Werte der Entscheidungsvariablen in die Zielfunktion ein, um den optimalen Wert zu generieren.

Formulieren einer Zielfunktion

Bei der linearen Programmierung geht es darum, die optimalen Werte der Entscheidungsvariablen zu finden und diese Werte in die Zielfunktion einzufügen, um einen Maximal- oder Minimalwert zu generieren. Es gibt viele Techniken wie die Simplex-Methode und die grafische Methode zur Lösung der linearen Programmierung. Aufgrund ihrer Einfachheit wird jedoch normalerweise die grafische Methode bevorzugt. Die Schritte zum Erhalten der optimalen Werte der Zielfunktion sind wie folgt:

xdxd Bedeutung

• Generieren Sie die Randbedingungsgleichungen und die Zielfunktion aus dem Problem.
• Tragen Sie die Randbedingungsgleichungen in das Diagramm ein.
• Identifizieren Sie nun den zulässigen Bereich, in dem die Einschränkungen erfüllt sind.
• Generieren Sie die Werte von Entscheidungsvariablen, die sich an den Ecken des zulässigen Bereichs befinden.
• Fügen Sie alle generierten Werte in die Zielfunktion ein und generieren Sie den optimalen Wert.

Gängige Arten von Zielfunktionen

Es gibt zwei Arten von Zielfunktionen.

• Maximierungszielfunktion
• Minimierungszielfunktion

Lassen Sie uns diese beiden Typen wie folgt im Detail besprechen:

Maximierungszielfunktion

Bei diesem Typ streben wir normalerweise danach, die Zielfunktion zu maximieren. Die Scheitelpunkte, die nach der grafischen Darstellung der Einschränkungen gefunden werden, neigen dazu, den Maximalwert der Zielfunktion zu erzeugen. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen

Beispiel: Ein Mann investiert höchstens 8 Stunden Zeit in die Herstellung von Geldbörsen und Schultaschen. Er investiert 2 Stunden in die Herstellung von Geldbörsen und 4 Stunden in Schultaschen. Sein Ziel ist es, höchstens fünf Geldbörsen und Schultaschen herzustellen, diese zu verkaufen und einen Gewinn von 20 Rupien für eine Brieftasche und 100 Rupien für eine Schultasche zu erzielen. Finden Sie die Zielfunktion.

Lösung:

Sei x die Anzahl der Rotis und y die Anzahl der Brote.

Ein Mann kann maximal 8 Stunden investieren, indem er 2 Stunden in die Herstellung einer Brieftasche und 4 Stunden in die Herstellung einer Schultasche investiert. Daher lautet die erste Zwangsgleichung

2x + 4J ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

Die maximale Anzahl, die er herstellen kann, ist 5

x+y ⩽ 5

Die Zielfunktion sei mit Z bezeichnet

char zu string

Daher ist Z = 20x + 100y

Minimierungszielfunktion

Bei diesem Typ zielen wir normalerweise darauf ab, die Zielfunktion zu minimieren. Die Scheitelpunkte, die nach der grafischen Darstellung der Einschränkungen gefunden werden, neigen dazu, den Minimalwert der Zielfunktion zu generieren. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen

Beispiel: Angenommen, die Summe der beiden Variablen beträgt mindestens 20. Angenommen, eine Variable ist größer als gleich 9. Leiten Sie die Zielfunktion ab, wenn die Kosten einer Variablen 2 Einheiten und die Kosten einer anderen Variablen 9 Einheiten betragen.

Lösung:

Seien x und y die beiden Variablen. Es wird angegeben, dass die Summe der beiden Variablen mindestens 20 betragen sollte.

x+y ⩾ 20

und x ⩾ 9

Die beiden oben genannten Ungleichungen sind Einschränkungen für die folgende Zielfunktion.

Die Zielfunktion sei mit Z bezeichnet. Daher ist Z

Z = 2x + 9y

Mathematische Darstellung der Zielfunktion

Wie wir über die Zielfunktion im Kontext der linearen Programmierung besprochen haben, kann die Zielfunktion auch nichtlinear sein.

• Lineare Zielfunktionen: Bei dieser Art von Zielfunktion sind sowohl die Einschränkungen als auch die Zielfunktionen linearer Natur. Die Exponenten der Variablen sind 1.
• Nichtlineare Zielfunktionen: Bei dieser Art von Zielfunktion sind sowohl die Einschränkungen als auch die Zielfunktionen linearer Natur. Die Exponenten der Variablen sind entweder 1 oder größer als 1.

Anwendungen objektiver Funktionen

Objektive Funktionen sind in realen Szenarien wichtig. Diese Funktionen werden beispielsweise von Geschäftsleuten genutzt. Geschäftsleute nutzen es, um ihren Gewinn zu maximieren. Zielfunktionen sind auch für Transportprobleme nützlich. Durch die Einrichtung einer Funktion kann analysiert werden, wie viel Kraftstoff verbraucht wird und wie der Benutzer die Preise dafür entsprechend senken kann. Zielfunktionen sind auch bei Distanzproblemen nützlich.

Probleme mit der Zielfunktion gelöst

Problem 1: Eine Person möchte Gürtel und Geldbörsen. Er hat insgesamt 6.000 Rupien gespart und möchte seine gesamten Ersparnisse für den Kauf von Gürteln und Geldbörsen ausgeben, um sie später verkaufen zu können. Der Wert der Brieftasche beträgt 20 Rupien und der Wert des Gürtels 10 Rupien. Er möchte sie in einem Schrank aufbewahren und die maximale Kapazität des Schranks beträgt 50 Einheiten. Er erwartet einen Gewinn von 2 Rupien auf dem Gürtel und 3 Rupien auf dem Portemonnaie. Finden Sie die Einschränkungen und die resultierende Zielfunktion.

Lösung:

Sei x die Anzahl der zu kaufenden Geldbörsen und y die Anzahl der zu kaufenden Gürtel. Es ist zu beachten, dass wir immer dann, wenn in der Aufgabe ein Maximum erwähnt wird, „⩽“ verwenden sollten, um die Einschränkungen zu finden

Die maximale Investition beträgt 6000 Rupien. Die erste Einschränkungsgleichung lautet

20x+10y⩽6000

Die maximale Lagerkapazität des Schranks beträgt 50

x+y⩽50

Hier ist die Gewinnfunktion im Grunde die Zielfunktion. Dies sei mit P bezeichnet. Daher ist die Gewinnfunktion

P = 3x + 2y

Problem 2: Identifizieren Sie die Zwangsgleichungen und die Zielfunktion aus der gegebenen Menge

• 2x + 3 Jahre ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4J ⩽ 40
• Z = 7x + 8y

Wobei x und y größer als 0 sind.

Lösung:

Die Einschränkungen können Ungleichheit oder Ungleichheitsformat sein. Aber eine Zielfunktion hat immer ein Gleichheitssymbol

Daher lauten die Zwangsgleichungen

2x + 3 Jahre ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4J ⩽ 40

Die objektive Gleichung lautet Z = 7x + 8y

Problem 3: Eine Frau investiert höchstens 7 Stunden Zeit in die Herstellung von Rotis und Brot. Sie investiert 2 Stunden in Rotis und 4 Stunden in Brot. Ihr Ziel ist es, höchstens 20 Brote und Rotis herzustellen, diese zu verkaufen und einen Gewinn von 2 Rupien für Roti und 1 Rupien für Brot zu erzielen. Finden Sie die Zielfunktion.

Lösung:

Stapel in Java

Sei x die Anzahl der Rotis und y die Anzahl der Brote.

Eine Frau kann maximal 7 Stunden investieren, indem sie 2 Stunden in die Zubereitung eines Roti und 4 Stunden in die Herstellung eines Brotes investiert. Daher lautet die erste Zwangsgleichung

2x + 4J ⩽ 7

Sie kann maximal 20 Brote und Rotis zubereiten

x + y ⩽ 20

Die Zielfunktion sei mit Z bezeichnet

Daher ist Z = 2x + y.

Problem 4: Das Unternehmen möchte Produkt A und Produkt B herstellen. Produkt A benötigt 4 Einheiten Kakaopulver und 1 Einheit Milchpulver. Produkt B benötigt 3 Einheiten Kakaopulver und 2 Einheiten Milchpulver. Es stehen 87 Einheiten Kakaopulver und 45 Einheiten Milchpulver zur Verfügung. Der mit jedem Produkt zu erzielende Gewinn beträgt 3 $ bzw. 5 $. Finden Sie die Zielfunktion.

Lösung:

Sei x die Anzahl von Produkt A und y die Anzahl der Elemente vom Typ B.

Die maximale Menge an Kakaopulver beträgt 87 Einheiten. Die erste Zwangsgleichung lautet also

4x + 3J ⩽ 87

Die maximale verfügbare Milchpulvermenge beträgt 45 Einheiten. Die zweite Zwangsgleichung lautet also

Unix-Erstellungsverzeichnis

x + 2y ⩽ 45

Dabei ist unser Ziel die Gewinnmaximierung. Unsere Gewinnfunktion ist also die Zielfunktion. Es sei mit Z bezeichnet

Z = 3x + 5y

Aufgabe 5: Es sollen zwei Arten von Lebensmittelpaketen A und B erstellt werden, die Vitamine enthalten. Es müssen mindestens 45 Einheiten der Lebensmittelpackung A zur Verfügung gestellt werden und die Herstellung beider Lebensmittelpackungen sollte mindestens 30 betragen. Generieren Sie die zu generierende Zielfunktion, bei der Lebensmittelpackung A 6 Einheiten Vitamine und Lebensmittelpackung B 8 Einheiten enthält .

Lösung:

Sei x die Anzahl der Lebensmittelpakete A und y die Anzahl der Lebensmittelpakete B

Es sind mindestens 45 Lebensmittelpakete zur Verfügung zu stellen. Daher lautet die erste Zwangsgleichung

x ⩾ 45

Die zweite Einschränkungsgleichung lautet

x + y ⩾ 30

Die Zielfunktion ist wie folgt:

Z = 6x + 8y

FAQs zur Zielfunktion

F1: Was ist die Zielfunktion im linearen Programmierproblem?

Antwort:

Eine Zielfunktion ist eine Funktion mit reellen Werten, die abhängig von den Randbedingungen entweder maximiert oder minimiert werden soll. Es umfasst zwei Entscheidungsvariablen.

F2: Was ist das Ziel der Zielfunktion?

Antwort:

Das Ziel der Zielfunktion besteht darin, den resultierenden Wert zu maximieren oder zu minimieren. Es handelt sich um eine Gleichung, die durch Entscheidungsvariablen ausgedrückt wird und eine entscheidende Rolle in der linearen Programmierung spielt.

F3: Wie verstehen wir, ob eine Funktion maximiert oder minimiert werden soll?

Antwort:

Um zu überprüfen, ob eine Funktion maximiert werden soll oder nicht, sollten wir mit Begriffen wie „höchstens“, „mindestens“ vertraut sein. Wenn der Begriff „mindestens“ in Frage gestellt wird, ist die Zielfunktion zu minimieren. Für den Begriff „höchstens“ sollte die Funktion maximiert werden.

F4: Nennen Sie die häufigsten Arten von Zielfunktionen.

Antwort:

Es gibt zwei Arten von Zielfunktionen:

• Maximierungszielfunktion
• Minimierungszielfunktion

F5: Was sind die Anwendungen der Zielfunktion?

Antwort:

Es gibt verschiedene Anwendungen der Zielfunktion. Sie sind in realen Szenarien nützlich. Sie dienen grundsätzlich der Gewinn- oder Verlustschätzung im jeweiligen Einzelfall. Zielfunktionen sind nützlich bei Transportproblemen, Zeitproblemen usw.