Eins-zu-Eins-Funktion oder One-One-Funktion ist eine davon Arten von Funktionen definiert über Domäne und Co-Domäne und beschreibt die spezifische Art der Beziehung zwischen Domäne und Co-Domäne. Die Eins-zu-Eins-Funktion wird auch als Injektionsfunktion bezeichnet. Eine Eins-zu-Eins-Funktion ist eine mathematische Funktion, bei der jedes Element in der Domäne wird einem eindeutigen Element in der Codomäne zugeordnet .

In diesem Artikel wird das Konzept der Eins-zu-Eins-Funktion oder Eins-Eins-Funktion im Detail untersucht, einschließlich seiner Definition und Beispielen, die Ihnen helfen, das Konzept leicht zu verstehen. Wir werden auch einige Beispielprobleme besprechen und einige Übungsaufgaben zur Lösung bereitstellen. Lernen wir also dieses wichtige Konzept der Mathematik kennen, das als Eins-zu-Eins-Funktion bekannt ist.

Inhaltsverzeichnis

• Was ist eine Eins-zu-Eins-Funktion?
• Beispiele für Eins-zu-Eins-Funktionen
• Eigenschaften von Eins-zu-Eins-Funktionen
• Eins-zu-Eins-Funktion und Onto-Funktion
• Gelöste Beispiele für eine Eins-zu-Eins-Funktion

Was ist eine Eins-zu-Eins-Funktion?

Eine Eins-zu-eins-Funktion, auch als injektive Funktion bekannt, ist eine Funktion, bei der verschiedene Elemente von A unterschiedliche Elemente haben, die mit B in Beziehung stehen, oder bei der verschiedene Elemente von A unterschiedliche Bilder in B haben.

Wenn es unterschiedliche Bilder für eine Funktion gibt, bedeutet dies, dass eine Eins-zu-eins-Eindeutigkeit nur möglich ist, wenn die Vorbilder unterschiedlich waren, wenn B-Satz unterschiedliche Elemente hat. Dies bedeutet, dass dies nur möglich ist, wenn A-Satz unterschiedliche Elemente hatte, für die diese waren Vorbilder.

bfs und dfs

Eins-zu-eins-Funktionsdefinition

Eine Funktion „f“ von einer Menge „A“ zu einer Menge „B“ ist eins zu eins, wenn keine zwei Elemente in „A“ demselben Element in „B“ zugeordnet sind.

Betrachten wir diese beiden Diagramme. Für Diagramm A erkennen wir, dass 10 auf 1, 20 auf 2 und 30 auf 3 abgebildet werden.

Für Diagramm B ist jedoch klar, dass 10 und 30 auf 3 und dann 20 auf 1 abgebildet werden.

Da wir Elemente in der Domäne haben, die unterschiedlichen Werten in jeder Domäne für Diagramm A entsprechen, wird die Funktion eins zu eins, also unser Diagramm B ist nicht eins zu eins.

Dies kann mathematisch ausgedrückt werden als:

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Beispiel für Eins-zu-Eins-Funktionen

• Identitätsfunktion: Die Identitätsfunktion ist ein einfaches Beispiel für eine Eins-zu-eins-Funktion. Es nimmt eine Eingabe entgegen und gibt denselben Wert wie die Ausgabe zurück. Für jede reelle Zahl x ist die Identitätsfunktion definiert als:

f(x) = x

Jede eindeutige Eingabe x entspricht einer eindeutigen Ausgabe f(x), was sie zu einer Eins-zu-Eins-Funktion macht.

• Lineare Funktion: Eine lineare Funktion ist eine Funktion, bei der die höchste Potenz der Variablen 1 ist. Beispiel:

f(x) = 2x + 3

Dies ist eine Eins-zu-eins-Funktion, denn egal, welchen Wert von x Sie wählen, Sie erhalten einen eindeutigen Wert für f(x).

• Absolutwertfunktion: Die Absolutwertfunktion f(x)=∣x∣ ist ebenfalls eine Eins-zu-eins-Funktion. Für jede reelle Zahl x gibt die Absolutwertfunktion einen nicht negativen Wert zurück, und unterschiedliche Werte von x führen zu unterschiedlichen Absolutwerten.

Lassen Sie uns ein solches Beispiel für eine Eins-zu-eins-Funktion beweisen.

Beispiel: Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = 1/(x+2), x≠2 eineindeutig ist.

Lösung:

Gemäß der Eins-zu-Eins-Funktion wissen wir das

f(a) = f(b)

Ersetze a durch x und x durch b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

Kreuzmultiplizieren Sie die obige Gleichung

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Da nun a = b ist, heißt die Funktion eine Eins-zu-eins-Funktion.

Eigenschaften Eins-zu-eins-Funktionen

Betrachten wir f und g als zwei Eins-zu-eins-Funktionen. Die Eigenschaften lauten wie folgt:

• Wenn f und g beide eins zu eins sind, folgt f ∘ g der Injektivität.
• Wenn g ∘ f eins zu eins ist, dann ist die Funktion f eins zu eins, die Funktion g jedoch möglicherweise nicht.
• f: Mit anderen Worten: Eins-Eins-Funktionen sind genau die Monomorphismen in der Kategoriemenge der Mengen.
• Wenn f: X → Y eins-eins ist und P eine Teilmenge von X ist, dann ist f^-1(f(A)) = P. Somit kann P aus seinem Bild f(P) ermittelt werden.
• Wenn f: X → Y eins-eins ist und P und Q beide Teilmengen von
• Wenn sowohl X als auch Y auf die gleiche Anzahl von Elementen beschränkt sind, dann ist f:

Diagramm einer Eins-zu-eins-Funktion

Sehen wir uns eine der grafischen Darstellungen einer Eins-zu-eins-Funktion an

Der obige Graph der Funktion f(x)= √x zeigt die grafische Darstellung einer Eins-zu-Eins-Funktion.

Horizontaler Linientest

Eine Funktion ist eins zu eins, wenn jede horizontale Linie den Graphen nicht an mehr als einem Punkt schneidet.

Nehmen wir als Beispiel eine lineare Funktion. Nennen wir es f(x), also hat f(x) eine Umkehrfunktion. Um festzustellen, ob f(x) eine Umkehrfunktion hat, müssen Sie zeigen, dass es sich um eine Eins-zu-eins-Funktion handelt und dass sie den horizontalen Linientest besteht. Wenn wir also eine horizontale Linie zeichnen und f(x) die horizontale Linie mehr als einmal berührt, bedeutet das, dass f(x) keine Eins-zu-eins-Funktion ist und keine Umkehrfunktion hat.

Im obigen Beispiel schneidet es die horizontale Linie nur an einem Punkt. f(x) ist also eine Eins-zu-eins-Funktion, was bedeutet, dass es eine Umkehrfunktion hat.

Umkehrung der Eins-zu-eins-Funktion

Sei f eine Eins-zu-eins-Funktion mit einem Bereich A und einem Bereich B. Dann ist die Umkehrung von f eine Funktion mit einem Bereich B und einem Bereich A, definiert durch f^-1(y) =x genau dann, wenn f(x)=y für jedes y in B. Denken Sie immer daran, dass eine Funktion genau dann eine Umkehrung hat, wenn sie eins zu eins ist. Eine Funktion ist eins zu eins, wenn der höchste Exponent eine ungerade Zahl ist. Wenn die höchste Zahl jedoch eine gerade Zahl oder ein absoluter Wert ist, handelt es sich nicht um eine Eins-zu-eins-Funktion.

Beispiel: f(x)=3x+2 finde die Umkehrung der Funktion

Lösung:

Schreiben Sie die Funktion in der Form y=f(x).

⇒ y=3x+2

Lassen Sie uns y- und x-Variablen austauschen

⇒ x=3y+2

Lösen Sie y anhand von x

⇒ x-2=3y

Teilen Sie die Gleichung durch 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

Eins-zu-Eins-Funktion und Onto-Funktion

Die wichtigsten Unterschiede zwischen One-to-One- und Onto-Funktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Die folgende Abbildung zeigt den deutlichen Unterschied zwischen einer Eins- und einer Ont-Funktion:

Mehr lesen,

• Funktionen
• Arten von Funktionen
• Beziehung und Funktion

Probleme mit der Eins-zu-Eins-Funktion gelöst

Lassen Sie uns einige Probleme lösen, um Eins-zu-Eins-Funktionen zu veranschaulichen:

Aufgabe 1: Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion eineindeutig ist: f(x) = 3x – 1

Lösung:

Lösung 1: Um zu überprüfen, ob es eineindeutig ist, müssen wir zeigen, dass keine zwei unterschiedlichen x-Werte demselben y-Wert zugeordnet werden können.

Angenommen, f(a) = f(b), wobei a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Da f(a) = f(b) nur dann gilt, wenn a = b gilt, ist diese Funktion tatsächlich eineindeutig.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion eineindeutig ist: g(x) = x ²

Lösung:

Lösung 2: Wir verwenden den horizontalen Linientest, indem wir die Funktion grafisch darstellen. Wenn eine horizontale Linie das Diagramm mehr als einmal schneidet, ist sie nicht eins zu eins.

Der Graph von g(x) = x^2 ist eine nach oben geöffnete Parabel. Jede horizontale Linie schneidet das Diagramm nur einmal, daher ist diese Funktion nicht eins zu eins.

Üben Sie Aufgaben zu Eins-zu-Eins-Funktionen

Problem 1: Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion eineindeutig ist:

• f(x) = 2x + 3
• g(x) = 3x²- 1
• h(x) =³√x

Problem 2: Finden Sie eine Funktion, die eins zu eins von der Menge der reellen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen ist.

Problem 3: Gegeben sei die Funktion g(x) = x²+ 1, bestimmen Sie, ob es in seiner gesamten Domäne eins zu eins ist.

Problem 4: Betrachten Sie die Funktion h(x) = e^X. Handelt es sich um eine Eins-zu-eins-Funktion?

Problem 5: Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = 4x – 7 und bestimmen Sie ihren Definitionsbereich.

Problem 6: Bestimmen Sie, ob die Funktion p(x) = √x eins zu eins ist.

Problem 7: Ermitteln Sie bei gegebenem q(x) = x/2 den Definitionsbereich und den Bereich der Funktion.

Problem 8: Überprüfen Sie, ob die Funktion r(x) = sin (x) über das Intervall [0, π] eins zu eins ist.

Problem 9: Betrachten Sie die Funktion s(x) = |x|. Handelt es sich um eine Eins-zu-Eins-Funktion?

Problem 10: Bestimmen Sie, ob die Funktion t(x) = 1/x eins zu eins ist, und ermitteln Sie ihren Definitionsbereich.

Eins-zu-Eins-Funktionen – FAQs

1. Was ist eine Eins-zu-Eins-Funktion?

Eine Eins-zu-eins-Funktion ist eine mathematische Funktion, die jedes Element in seiner Domäne einem eindeutigen Element in seiner Codomäne zuordnet. Mit anderen Worten: Es werden nicht zwei verschiedene Elemente in der Domäne demselben Element in der Codomäne zugeordnet.

2. Wie kann ich feststellen, ob eine Funktion eineindeutig ist?

Sie können den horizontalen Linientest verwenden. Wenn keine horizontale Linie den Graphen der Funktion mehr als einmal schneidet, handelt es sich um eine Eins-zu-eins-Funktion.

3. Was ist der Unterschied zwischen einer Eins-zu-eins-Funktion und einer Ont-Funktion?

Eine Eins-zu-eins-Funktion stellt sicher, dass keine zwei unterschiedlichen Elemente in der Domäne demselben Element in der Kodomäne zugeordnet werden, während eine Ont-Funktion, auch als surjektive Funktion bekannt, sicherstellt, dass jedes Element in der Kodomäne durch mindestens ein Element in der Domäne.

4. Sind alle linearen Funktionen eins zu eins?

Nein, nicht alle linearen Funktionen sind eins zu eins. Beispielsweise ist f(x) = 2x eins zu eins, g(x) = 2x + 1 jedoch nicht, da dadurch zwei verschiedene x-Werte demselben y-Wert zugeordnet werden (z. B. g(1) = 3). und g(2) = 5).