Permutation und Kombination sind die grundlegendsten Konzepte der Mathematik und mit diesen Konzepten wird den Schülern ein neuer Zweig der Mathematik vorgestellt, nämlich die Kombinatorik. Permutation und Kombination sind Möglichkeiten, eine Gruppe von Objekten anzuordnen, indem man sie in einer bestimmten Reihenfolge auswählt und ihre Teilmengen bildet.

Um Datengruppen in einer bestimmten Reihenfolge anzuordnen, werden Permutations- und Kombinationsformeln verwendet. Die Auswahl der Daten oder Objekte aus einer bestimmten Gruppe wird als Permutation bezeichnet, während die Reihenfolge, in der sie angeordnet sind, als Kombination bezeichnet wird.

Permutationen und Kombinationen

In diesem Artikel werden wir das Konzept der Permutation und Kombination und ihrer Formeln untersuchen und diese auch zur Lösung vieler Beispielprobleme verwenden.

Inhaltsverzeichnis

• Permutationsbedeutung
• Kombinationsbedeutung
• Ableitung von Permutations- und Kombinationsformeln
• Unterschied zwischen Permutation und Kombination
• Gelöste Beispiele zur Permutation und Kombination

Permutationsbedeutung

Permutation ist die unterschiedliche Interpretation einer bestimmten Anzahl von Komponenten, die einzeln, einzeln oder alle gleichzeitig übertragen werden. Wenn wir beispielsweise zwei Komponenten A und B haben, gibt es zwei wahrscheinliche Leistungen, AB und BA.

Eine Anzahl von Permutationen, wenn „r“ Komponenten aus insgesamt „n“ Komponenten positioniert werden, ist ^N P _R . Sei beispielsweise n = 3 (A, B und C) und r = 2 (alle Permutationen der Größe 2). Dann gibt es sie ³ P ₂ solche Permutationen, was gleich 6 ist. Diese sechs Permutationen sind AB, AC, BA, BC, CA und CB. Die sechs Permutationen von A, B und C, jeweils zu dritt genommen, sind im unten hinzugefügten Bild dargestellt:

Permutationsbedeutung

Permutationsformel

Permutationsformel wird verwendet, um die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten zu ermitteln R Dinge aus N verschiedene Dinge in einer bestimmten Reihenfolge und ein Austausch ist nicht zulässig und erfolgt wie folgt:

Permutationsformel

Erläuterung der Permutationsformel

Wie wir wissen, ist Permutation eine Anordnung von r Dingen aus n, wobei die Reihenfolge der Anordnung wichtig ist (AB und BA sind zwei verschiedene Permutationen). Wenn es drei verschiedene Ziffern gibt, 1, 2 und 3, und wenn jemand neugierig ist, die Ziffern zu vertauschen, indem er jeweils 2 nimmt, zeigt es (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) und (3, 2). Das heißt, es kann auf sechs Arten erreicht werden.

Hier sind (1, 2) und (2, 1) unterschiedlich. Auch hier gilt: Wenn diese drei Ziffern gleichzeitig dargestellt werden sollen, lauten die Interpretationen (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) und (3, 2, 1), also auf 6 Arten.

Im Allgemeinen können n verschiedene Dinge mit r (r) festgelegt werden^ThDing kann jedes der verbleibenden n – (r – 1) Dinge sein.

Daher beträgt die Gesamtzahl der Permutationen von n verschiedenen Dingen, die jeweils r tragen, n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], was geschrieben wird als^NP_R. Oder mit anderen Worten:

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Kombinationsbedeutung

Dabei handelt es sich um die einzelnen Abschnitte einer gemeinsamen Anzahl von Komponenten, die einzeln, einzeln oder alle gleichzeitig transportiert werden. Wenn es beispielsweise zwei Komponenten A und B gibt, gibt es nur eine Möglichkeit, zwei Dinge auszuwählen: beide auszuwählen.

Angenommen, n = 3 (A, B und C) und r = 2 (alle Kombinationen der Größe 2). Dann gibt es sie ³ C ₂ solcher Kombinationen, was gleich 3 ist. Diese drei Kombinationen sind AB, AC und BC.

Hier das Kombination Wenn Sie zwei der drei Buchstaben A, B und C aus zwei beliebigen Buchstaben zusammenstellen möchten, ist unten dargestellt. Wir stellen fest, dass die Reihenfolge, in der A und B verwendet werden, in Kombination nicht wichtig ist, da AB und BA dieselbe Kombination darstellen.

Kombinationsbedeutung

Notiz: Im selben Beispiel haben wir unterschiedliche Punkte für Permutation und Kombination. Denn AB und BA sind zwei verschiedene Elemente, d. h. zwei unterschiedliche Permutationen, aber für die Auswahl sind AB und BA gleich, d. h. dieselbe Kombination.

Kombinationsformel

Die Kombinationsformel wird verwendet, um „r“ Komponenten aus einer Gesamtzahl von „n“ Komponenten auszuwählen, und ist gegeben durch:

Kombinationsformel

Wenn wir die obige Formel für r und (n-r) verwenden, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Daher,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Erläuterung der Kombinationsformel

Kombination hingegen ist eine Art Packung. Wenn wiederum aus diesen drei Zahlen 1, 2 und 3 Mengen mit zwei Zahlen erstellt werden, dann sind die Kombinationen (1, 2), (1, 3) und (2, 3).

Hier sind (1, 2) und (2, 1) identisch, im Gegensatz zu Permutationen, bei denen sie unterschiedlich sind. Dies wird geschrieben als³C₂. Im Allgemeinen beträgt die Anzahl der Kombinationen von n verschiedenen Dingen, die r gleichzeitig genommen werden,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Ableitung von Permutations- und Kombinationsformeln

Wir können diese Permutations- und Kombinationsformeln mithilfe der grundlegenden Zählmethoden ableiten, da diese Formeln dasselbe darstellen. Die Ableitung dieser Formeln ist wie folgt:

Ableitung der Permutationsformel

Unter Permutation versteht man die ersatzlose Auswahl von r verschiedenen Objekten aus n Objekten, wobei die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist. Durch den Grundsatz des Zählens und die Definition der Permutation erhalten wir

P(n, r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Durch Multiplikation und Division oben mit (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, wir bekommen

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Somit wird die Formel für P (n, r) abgeleitet.

Ableitung der Kombinationsformel

Bei der Kombination werden r Elemente aus n Elementen ausgewählt, wobei die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt. Seine Formel wird wie folgt berechnet:

C(n, r) = Gesamtzahl der Permutationen/Anzahl der Möglichkeiten, r verschiedene Objekte anzuordnen.
[Da wir durch den Grundsatz des Zählens wissen, dass die Anzahl der Möglichkeiten, r verschiedene Objekte auf r Arten anzuordnen, = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Daraus ergibt sich die Formel für die Kombination, d. h. C(n, r).

Unterschied zwischen Permutation und Kombination

Unterschiede zwischen Permutation und Kombination kann aus der folgenden Tabelle verstanden werden:

Überprüfen Sie auch,

• Binomialsatz
• Binomiale Erweiterung
• Binomiale Zufallsvariablen
• Grundsatz des Zählens

Gelöste Beispiele zur Permutation und Kombination

Beispiel 1: Ermitteln Sie die Anzahl der Permutationen und Kombinationen von n = 9 und r = 3 .

Arraylist und Linkedlist

Lösung:

Gegeben sei n = 9, r = 3

Mit der oben angegebenen Formel:

Zur Permutation:

^NP_R= (n!) / (n – r)!

⇒^NP_R= (9!) / (9 – 3)!

⇒^NP_R= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6!)/ 6!

⇒ ^N P _R = 504

Zur Kombination:

^NC_R= n!/r!(n − r)!

⇒^NC_R= 9!/3!(9 − 3)!

⇒^NC_R= 9!/3!(6)!

⇒^NC_R= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ^N C _R = 84

Beispiel 2: Auf wie viele Arten kann ein Gremium bestehend aus 4 Männern und 2 Frauen aus 6 Männern und 5 Frauen ausgewählt werden?

Lösung:

Wählen Sie 4 Männer aus 6 Männern =⁶C₄Wege = 15 Wege

Wählen Sie 2 Frauen aus 5 Frauen =⁵C₂Wege = 10 Wege

Der Ausschuss ist wählbar⁶C₄×⁵C₂= 150 Wege.

Beispiel 3: Auf wie viele Arten können 5 verschiedene Bücher in einem Regal angeordnet werden?

Lösung:

Dies ist ein Permutationsproblem, da die Reihenfolge der Bücher wichtig ist.

Mit der Permutationsformel erhalten wir:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Daher gibt es 120 Möglichkeiten, 5 verschiedene Bücher in einem Regal anzuordnen.

Beispiel 4: Wie viele Wörter mit drei Buchstaben können aus den Buchstaben des Wortes FABLE gebildet werden?

Lösung:

Dies ist ein Permutationsproblem, da die Reihenfolge der Buchstaben wichtig ist.

Mit der Permutationsformel erhalten wir:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Daher gibt es 60 Wörter mit drei Buchstaben, die aus den Buchstaben des Wortes FABLE gebildet werden können.

Beispiel 5: Aus einer Gruppe von 10 Personen soll ein 5-köpfiger Ausschuss gebildet werden. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Lösung:

Dies ist ein Kombinationsproblem, da die Reihenfolge der Mitglieder keine Rolle spielt.

Mit der Kombinationsformel erhalten wir:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Daher gibt es 252 Möglichkeiten, aus einer Gruppe von 10 Personen ein Komitee mit 5 Mitgliedern zu bilden.

Beispiel 6: Ein Pizzarestaurant bietet 4 verschiedene Beläge für seine Pizzen an. Wenn ein Kunde eine Pizza mit genau 2 Belägen bestellen möchte, auf wie viele Arten kann dies erfolgen?

Lösung:

Dies ist ein Kombinationsproblem, da die Reihenfolge der Beläge keine Rolle spielt.

Mit der Kombinationsformel erhalten wir:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Daher gibt es 6 Möglichkeiten, eine Pizza mit genau 2 Belägen aus 4 verschiedenen Belägen zu bestellen.

Beispiel 7: Wie umfangreiche Wörter können durch die Verwendung von 2 Buchstaben des Begriffs LOVE erzeugt werden?

Lösung:

Der Begriff LIEBE besteht aus 4 verschiedenen Buchstaben.

Daher ist die erforderliche Anzahl an Wörtern =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Erforderliche Wortanzahl = 4! / 2! = 24 / 2

⇒ Erforderliche Anzahl Wörter = 12

Beispiel 8: Wie viele Wörter mit 3 Konsonanten und 2 Vokalen können aus 5 Konsonanten und 3 Vokalen gebildet werden?

Lösung:

Anzahl der Möglichkeiten, 3 Konsonanten aus 5 auszuwählen =⁵C₃

Anzahl der Möglichkeiten, 2 Vokale aus 3 = auszuwählen³C₂

Anzahl der Möglichkeiten, 3 Konsonanten aus 2 und 2 Vokale aus 3 auszuwählen =⁵C₃׳C₂

⇒ Erforderliche Anzahl = 10 × 3

= 30

Das bedeutet, dass wir 30 Gruppen haben können, wobei jede Gruppe insgesamt 5 Buchstaben (3 Konsonanten und 2 Vokale) enthält.

Anzahl der Möglichkeiten, 5 Buchstaben untereinander anzuordnen

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Daher ist die erforderliche Anzahl von Wegen = 30 × 120

⇒ Erforderliche Anzahl Wege = 3600

Beispiel 9: Wie viele verschiedene Kombinationen erhalten Sie, wenn Sie 5 Artikel haben und 4 auswählen?

Lösung:

Setzen Sie die angegebenen Zahlen in die Kombinationsgleichung ein und lösen Sie sie. n ist die Anzahl der Elemente in der Menge (in diesem Beispiel 5); r ist die Anzahl der Elemente, die Sie auswählen (4 in diesem Beispiel):

C(n, r) = n! / R! (n – r)!

⇒^NC_R= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒^NC_R= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒^NC_R= 120/24

⇒^NC_R= 5

Die Lösung ist 5.

Beispiel 10: Wie viele Ausdrücke gibt es von 6 Konsonanten und 3 Vokalen? aus 2 Konsonanten und 1 Vokal entstehen kann?

Lösung:

Anzahl der Möglichkeiten, 2 Konsonanten aus 6 auszuwählen =⁶C₂

Anzahl der Möglichkeiten, 1 Vokal aus 3 = auszuwählen³C₁

Anzahl der Möglichkeiten, 3 Konsonanten aus 7 und 2 Vokale aus 4 auszuwählen.

⇒ Erforderliche Wege =⁶C₂׳C₁

⇒ Erforderliche Wege = 15 × 3

⇒ Erforderliche Wege = 45

Das bedeutet, dass wir 45 Gruppen haben können, wobei jede Gruppe insgesamt 3 Buchstaben (2 Konsonanten und 1 Vokal) enthält.

Anzahl der Möglichkeiten, 3 Buchstaben untereinander anzuordnen = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Erforderliche Möglichkeiten zum Anordnen von drei Buchstaben = 6

Daher ist die erforderliche Anzahl von Wegen = 45 × 6

⇒ Erforderliche Wege = 270

Beispiel 11: In wie vielen unterschiedlichen Formen Können die Buchstaben des Begriffs „PHONE“ so angeordnet werden, dass die Vokale konsistent sind? gemeinsam kommen?

Lösung:

Das Wort „TELEFON“ besteht aus 5 Buchstaben. Es enthält die Vokale „O“ und „E“ und diese beiden Vokale sollten immer zusammen vorkommen. Somit können diese beiden Vokale gruppiert und als ein einziger Buchstabe betrachtet werden. Das heißt, PHN(OE).

Daher können wir Gesamtbuchstaben wie 4 annehmen und alle diese Buchstaben sind unterschiedlich.

Anzahl der Methoden zum Organisieren dieser Buchstaben = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Erforderliche Arten, Buchstaben anzuordnen = 24

Alle 2 Vokale (OE) sind unterschiedlich.

Anzahl der Möglichkeiten, diese Vokale untereinander anzuordnen = 2! = 2 × 1

⇒ Erforderliche Möglichkeiten zur Anordnung von Vokalen = 2

Daher ist die erforderliche Anzahl von Wegen = 24 × 2

⇒ Erforderliche Wege = 48.

FAQs zu Permutationen und Kombinationen

Was ist die Fakultätsformel?

Die Faktorformel wird zur Berechnung von Permutationen und Kombinationen verwendet. Die Fakultätsformel für n! ist gegeben als

N! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Zum Beispiel 3! = 3 × 2 × 1 = 6 und 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Was macht ^N C _R vertreten?

^NC_Rstellt die Anzahl der Kombinationen dar, aus denen erstellt werden kann N Gegenstände nehmen R auf einmal.

Was meinst du mit Permutationen und Kombinationen?

Eine Permutation ist ein Vorgang, bei dem Dinge in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet werden. Kombinationen sind die Möglichkeiten der Auswahl R Objekte aus einer Gruppe von N Objekte, bei denen die Reihenfolge der gewählten Objekte keinen Einfluss auf die Gesamtkombination hat.

Schreiben Sie Beispiele für Permutationen und Kombinationen.

Anzahl der 3-Buchstaben-Wörter, die aus den Buchstaben des Wortes gebildet werden können: HALLO;⁵P₃= 5!/(5-3)! Dies ist ein Beispiel für eine Permutation.
Anzahl der Kombinationen, mit denen wir die Wörter mit den Vokalen des Wortes HALLO schreiben können;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], dies ist ein Beispiel für eine Kombination.

Latexmatrix

Schreiben Sie die Formel zum Finden von Permutationen und Kombinationen.

• Formel zur Berechnung von Permutationen: ^N Pr = n!/(n-r)!
• Formel zur Berechnung von Kombinationen: ^N Cr = n!/[r! (n-r)!]

Schreiben Sie einige Beispiele aus der Praxis für Permutationen und Kombinationen.

Das Sortieren von Personen, Zahlen, Buchstaben und Farben sind einige Beispiele für Permutationen.
Beispiele für Kombinationen sind die Auswahl der Speisekarte, der Kleidung und der Themen.

Was ist der Wert von 0!?

Der Wert 0! = 1, ist sehr nützlich bei der Lösung der Permutations- und Kombinationsprobleme.