Die Quotientenregel ist eine Methode zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion, die der Quotient zweier anderer Funktionen ist. Es handelt sich um eine Methode zur Differenzierung von Problemen, bei denen eine Funktion durch eine andere dividiert wird. Wir verwenden die Quotientenregel, wenn wir die Ableitung einer Funktion der Form f(x)/g(x) finden müssen.

Lassen Sie uns anhand gelöster Beispiele etwas über die Quotientenregel in der Analysis, ihre Formel und Ableitung lernen.

Definition der Quotientenregel

Die Quotientenregel ist die Regel von Differenzierung der Funktionen, die in der Form angegeben werden Brüche , wo beides Zähler Und Nenner sind Einzelfunktionen. Die Quotientenregel ist eine grundlegende Technik in Infinitesimalrechnung um die Ableitung einer Funktion zu finden, die der Quotient (Verhältnis) von zwei ist differenzierbare Funktionen . Es bietet eine Methode zur Differenzierung von Ausdrücken, bei denen eine Funktion durch eine andere dividiert wird.

Angenommen, wir erhalten eine Funktion f(x) = g(x)/h(x), dann ist die Differentiation von f(x), f'(x) wird gefunden als:

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Quotientenregelformel

Die Quotientenregelformel ist die Formel, mit der die Differentiation der Funktion ermittelt wird, die als Quotientenfunktion ausgedrückt wird. Unten ist die Formel der Quotientenregel:

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Wo,

• u(x) ist die erste Funktion, die eine differenzierbare Funktion ist,
• u'(x) ist die Ableitung der Funktion u(x),
• v(x) ist die zweite Funktion, die eine differenzierbare Funktion ist, und
• v'(x) ist die Ableitung der Funktion v(x).

Beweis der Quotientenregel

Wir können die Quotientenregel mit den folgenden Methoden ableiten:

• Verwendung der Kettenregel
• Verwendung der impliziten Differenzierung
• Verwendung von Ableitungs- und Limiteigenschaften

Lassen Sie uns nun im Detail mehr über sie erfahren.

Ableitung der Quotientenregel mithilfe der Kettenregel

Beweisen: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Gegeben: H(x) = f(x)/g(x)

Nachweisen:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Verwenden der Produktregel,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Anwendung der Potenzregel,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)] / g ² (X)

Damit ist die Quotientenregel bewiesen.

Mehr lesen:

• Kettenregel

Ableitung der Quotientenregel mittels impliziter Differenzierung

Nehmen wir eine differenzierbare Funktion f(x), so dass f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

unter Verwendung der Produktregel,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Lösen Sie nun nach f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Ersetzen Sie den Wert von f(x) durch f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (X)

Spreizbäume

Damit ist die Quotientenregel bewiesen.

Mehr lesen

• Implizite Differenzierung

Ableitung der Quotientenregel unter Verwendung von Ableitungs- und Grenzwerteigenschaften

Nehmen wir eine differenzierbare Funktion f(x) mit f(x) = u(x)/v(x),

Wir wissen das,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Ersetzen des Wertes von f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Verteilung des Limits,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1 in²(X)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)] / h}.{ 1 in²(X)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (X)

Welches ist die erforderliche Quotientenregel?

Mehr lesen

• Eigenschaften von Grenzwerten
• Regeln für Derivate

Wie verwendet man die Quotientenregel bei der Differenzierung?

Um die Quotientenregel anzuwenden, führen wir die folgenden Schritte aus:

Schritt 1: Schreiben Sie die einzelnen Funktionen als u(x) und v(x).

Schritt 2: Finden Sie die Ableitung der einzelnen Funktionen u(x) und v(x), d. h. finden Sie u'(x) und v'(x). Wenden Sie nun die Quotientenregelformel an:

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Schritt 3: Vereinfachen Sie die obige Gleichung und Sie erhalten die Differenzierung von f(x).

Wir können dieses Konzept anhand eines Beispiels verstehen.

Beispiel: Finden Sie f'(x), wenn f(x) = 2x ³ /(x+2)

Gegeben,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Beim Vergleich mit f(x) = u(x)/v(x) erhalten wir

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Nun differenzieren wir u(x) und v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Mit der Quotientenregel

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)·6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​​​​)/(x + 1)²

Produkt- und Quotientenregel

Die Produktdifferenzierungsregel wird verwendet, um die Differenzierung einer Funktion zu ermitteln, wenn die Funktion als Produkt zweier Funktionen gegeben ist.

Produktdifferenzierungsregel besagt, dass, wenn P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Während die Quotientenregel der Differenzierung wird verwendet, um eine Funktion zu differenzieren, die als Division zweier Funktionen dargestellt wird, d. h. f(x) = p(x)/q(x).

Dann erfolgt die Ableitung von f(x) unter Verwendung von Quotientenregel wird berechnet als:

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (X)

Muss lesen

• Produktregel in der Analysis
• Kettenregel
• Differenzierungs- und Integrationsformel
• Logarithmische Differentiation
• Grundlagen der Analysis
• Anwendung von Derivaten

Beispiele für Quotientenregeln

Lassen Sie uns einige Beispielfragen zur Quotientenregel lösen.

Beispiel 1: Differenzieren old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Lösung:

Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktionen sind differenzierbar.

Anwenden der Quotientenregel,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Beispiel 2: Differenzieren, f(x) = tan x.

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Lösung:

tan x wird als sinx/cosx geschrieben, d.h.

tan x = (sin x) / (cos x)

Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktionen sind differenzierbar.

Anwenden der Quotientenregel,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Beispiel 3: Differenzieren, f(x)= e ^X /X ²

Lösung:

Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktionen sind differenzierbar.

Anwenden der Quotientenregel,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Beispiel 4: Differenzieren, y=frac{cosx}{x^2}

Lösung:

Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktionen sind differenzierbar.

Anwenden der Quotientenregel,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Beispiel 5: Differenzieren, f(p) = p+5/p+7

Lösung:

Sowohl Zähler- als auch Nennerfunktionen sind differenzierbar.

Anwenden der Quotientenregel,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Übungsprobleme

Hier sind einige Übungsaufgaben zur Quotientenregel, die Sie lösen können.

P1. Finden Sie die Ableitung von f(x) = (x ² + 3)/(ohne x)

P2. Finden Sie die Ableitung von f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Finden Sie die Ableitung von f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Finden Sie die Ableitung von f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Quotientenregel der Ableitung – FAQs

Was ist die Quotientenregel der Differenzierung?

Die Quotientendifferenzierungsregel ist die Regel, die verwendet wird, um die Differenzierung der Funktion zu finden, die in der Quotientenform vorliegt, d. h. einer Funktion, die als Division zweier Funktionen gegeben ist.

Was ist die Quotientenregelformel?

Die Quotientenregelformel lautet:

f'(x) = [u(x)/v(x)]’ = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Diese Formel gibt die Differenzierung der Funktion an, die als f(x)/g(x) dargestellt wird.

Wie leitet man die Formel der Quotientenregel ab?

Die Quotientenregel kann mit drei Methoden abgeleitet werden:

• Nach Ableitungs- und Limiteigenschaften
• Durch implizite Differenzierung
• Nach Kettenregel

Wie verwende ich die Quotientenregel?

Die Quotientenregel wird verwendet, um die Differenzierung der Funktion zu finden, ausgedrückt als Division zweier Funktionen, die alle Funktionen der Form f(x) und g(x) umfasst, sodass eine individuelle Differenzierung von f(x) und g(x) existiert und g(x) kann niemals Null sein.

Wie findet man die Ableitung einer Divisionsfunktion?

Die Ableitung der Divisionsfunktion lässt sich leicht mithilfe der Quotientenregelformel finden, d. h. wenn wir die Differentiation von H(x) finden müssen, sodass H(x) ausgedrückt wird als H(x) = f(x)/g(x) dann wird seine Ableitung ausgedrückt als:

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

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Was ist die Grenze der Quotientenregel?

Die Quotientenregel für Grenzwerte besagt, dass der Grenzwert einer Quotientenfunktion gleich dem Quotienten des Grenzwerts jeder Funktion ist.