Pentagon ist eine zweidimensionale, geschlossene geometrische Form, die durch fünf gerade Seiten und fünf Winkel gekennzeichnet ist. Ein Pentagon ist eine von verschiedenen Arten von Polygonen, die eine Familie zweidimensionaler geometrischer Formen darstellen, die durch die Verbindung gerader Linien gebildet werden, um einen Bereich einzuschließen.

In diesem Artikel werden wir diskutieren Pentagon im Detail, einschließlich seiner Form, Teile, Typen, Winkel und Formeln sowie einige reale Beispiele eines Pentagons.

Inhaltsverzeichnis

cdr vollständiges Formular

• Was ist Pentagon?
• Fünfeckform
• Pentagon-Beispiele aus der Praxis
• Teile des Pentagons
• Winkel im Pentagon
• Innenwinkel des Pentagons
• Außenwinkel des Pentagons
• Arten von Pentagonen
• Regelmäßige und unregelmäßige Fünfecke
• Konvexes und konkaves Fünfeck
• Gleichseitiges Fünfeck
• Zyklisches Fünfeck
• Eigenschaften des Pentagons
• Symmetrielinie
• Bereich des Pentagons
• Bereich des unregelmäßigen Pentagons
• Umfang des Pentagons
• Gelöste Beispiele zum Pentagon
• Übungsaufgaben zum Pentagon

Was ist Pentagon?

Ein Fünfeck ist eine Art Polygon, das durch fünf gerade Seiten und fünf Innenwinkel gekennzeichnet ist. Wenn der Begriff verwendet wird, bezieht er sich normalerweise auf ein regelmäßiges Fünfeck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich sind und jeweils 108 Grad betragen. Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt immer 540 Grad

Bedeutung des Pentagons

Das Pentagon wird als fünfseitiges Polygon definiert. Es hat fünf gerade Seiten und insgesamt fünf Innenwinkel, die zusammen 540° ergeben.

Ein Pentagon wird als zweidimensionale, flache oder ebene Figur mit fünf Seiten klassifiziert. Diese Seiten sind miteinander verbunden und bilden eine geschlossene Form. Daher zeichnet sich ein Pentagon dadurch aus, dass es genau 5 Seiten hat.

Wenn alle Seiten und Winkel eines Fünfecks die gleiche Länge und das gleiche Maß haben, wird es als regelmäßiges Fünfeck bezeichnet; andernfalls spricht man von einem unregelmäßigen Fünfeck.

Fünfeckform

Der Begriff Pentagon stammt von den griechischen Wörtern Penta, was fünf bedeutet, und Gonia, was Winkel bedeutet . Daher Ein Fünfeck ist eine geometrische Figur, die durch fünf Seiten und fünf Innenwinkel definiert ist.

Im Fall eines regelmäßigen Fünfecks sind alle fünf Seiten gleich lang, alle fünf Innenwinkel betragen 108 Grad und die Form besitzt sowohl Spiegelungs- als auch Rotationssymmetrie um ihren Mittelpunkt, was zu fünf Symmetrielinien führt.

Pentagon-Beispiele aus der Praxis

• Ein Diamant kann mit seinen fünf Seiten und fünf Ecken einem Fünfeck ähneln.
• Das Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums ist aufgrund seiner architektonischen Ähnlichkeit mit der Form eines Fünfecks auch als Pentagon bekannt.
• Ein Fußball besteht aus mehreren fünfeckigen schwarzen und weißen Feldern mit fünfeckiger Form.
• Stachelhäuter weisen wie Seesterne eine fünfeckige Symmetrie in ihrem Körperbau auf.

Teile des Pentagons

Einige der häufigsten Teile des Fünfecks sind:

Winkel im Pentagon

Ein Winkel entsteht, wenn sich zwei Seiten des Pentagons in einem gemeinsamen Punkt schneiden, der als Winkelscheitel bezeichnet wird. In diesem Abschnitt werden wir verschiedene Arten von Winkeln innerhalb eines Fünfecks untersuchen, darunter

• Innenwinkel
• Außenwinkel

Lassen Sie uns diese beiden Aspekte im Detail besprechen.

Innenwinkel des Pentagons

Ein Innenwinkel ist der Winkel, der von zwei benachbarten Seiten der Form auf der Innenseite gebildet wird. Wenn sich zwei gerade Linien innerhalb der Form schneiden, entstehen Innenwinkel.

Ein Pentagon kann man sich als aus drei Dreiecken zusammengesetzt vorstellen. Daher entspricht die Gesamtwinkelsumme in einem Fünfeck der Winkelsumme in drei Dreiecken, also dem Dreifachen der Winkelsumme in einem Dreieck (180 Grad). Daraus ergibt sich eine Summe von 540 Grad für die Innenwinkel eines Pentagons.

Summe der Innenwinkel in einem beliebigen Polygon = 180° × (n − 2)

Wobei „n“ die Anzahl der Seiten darstellt. Im Fall eines Fünfecks mit fünf Seiten lautet diese Formel:

Summe der Innenwinkel eines Fünfecks = 180° × (5 − 2) = 3 × 180° = 540°.

Notiz: Jeder Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks beträgt 540° ÷ n = 540° ÷ 5 = 108°.

Außenwinkel des Pentagons

Ein Außenwinkel ist der Winkel, der von zwei benachbarten Seiten der Form an der Außenseite gebildet wird. Es misst den Winkel an einem bestimmten Scheitelpunkt, jedoch an der Außenseite der Form.

Die Summe der Außenwinkel in einem Fünfeck beträgt 360°. Um zu beweisen, dass die Summe der Außenwinkel eines Polygons 360° beträgt, können wir die folgenden Schritte ausführen:

Wir kennen die Formel für die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons mit „n“ Seiten, die 180° × (n − 2) beträgt.

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Jeder Innenwinkel im Polygon kann wie folgt berechnet werden: 180° × (n-2)/n.

Es ist eine bekannte Tatsache, dass jeder Außenwinkel in einem Polygon eine Ergänzung zu seinem entsprechenden Innenwinkel darstellt.

Jeder Außenwinkel kann also ausgedrückt werden als: [180°n – 180°n + 360°]/n, was vereinfacht 360°/n ergibt.

Um die Gesamtsumme der Außenwinkel für das Polygon zu ermitteln, multiplizieren wir die Anzahl der Seiten „n“ mit dem Maß jedes Außenwinkels (360°/n).

Wenn wir dies auf ein Fünfeck mit 5 Seiten (n = 5) anwenden, stellen wir fest, dass die Summe der Außenwinkel für das Fünfeck 5 x (360°/5) = 360° beträgt

Notiz: Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks beträgt 360° ÷ n = 360° ÷ 5 = 72° .

Arten von Pentagonen

Fünfecke können je nach Seiten, Winkeln und Spitzen in vier Typen eingeteilt werden.

• Basierend auf der Seitenlänge
  • Regelmäßiges Pentagon
  • Unregelmäßiges Fünfeck
• Basierend auf dem Winkelmaß
  • Konvexes Fünfeck
  • Konkaves Fünfeck
• Einige andere Arten von Pentagonen
  • Gleichseitiges Fünfeck
  • Zyklisches Fünfeck

Regelmäßige und unregelmäßige Fünfecke

Bei einem regelmäßigen Polygon sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel haben das gleiche Maß. Diese Symmetrie stellt sicher, dass das Polygon aus jedem Winkel und von jeder Seite gleich aussieht. Im Falle eines regulären Fünfecks sieht es immer identisch aus.

Andererseits fehlt einem unregelmäßigen Fünfeck diese Symmetrie, da es unterschiedliche Seitenlängen und Winkel aufweist. Daher kann die Form bei Betrachtung aus verschiedenen Winkeln oder Seiten unterschiedlich aussehen.

Mehr lesen: Regelmäßige Polygone

Konvexes und konkaves Fünfeck

Ein konvexes Fünfeck ist ein Polygon, bei dem alle Eckpunkte nach außen zeigen, wodurch eine Form entsteht, die nicht nach innen zeigt. In einem konvexen Fünfeck sind keine Innenwinkel größer als 180°.

Mit anderen Worten: Ein konkaves Fünfeck enthält zwischen einigen Seiten eine schalenartige Struktur und hat mindestens eine nach innen gerichtete Spitze . Bei einem konkaven Fünfeck ist mindestens ein Innenwinkel größer als 180°.

Mehr lesen : Konvexe Polygone

Gleichseitiges Pentagon

Ein gleichseitiges Fünfeck ist eine geometrische Form, bei der alle fünf Seiten gleich lang sind. Während die Winkel innerhalb dieses Fünfecktyps innerhalb eines bestimmten Bereichs variieren können, wird es als gleichseitig und gleichwinklig bezeichnet, wenn alle Seiten und Winkel gleich sind.

Zyklisches Fünfeck

Ein zyklisches Fünfeck ist ein Polygon in der Geometrie, bei dem alle seine Eckpunkte auf dem Umfang eines Kreises positioniert sind. Diese Eigenschaft, dass seine Scheitelpunkte auf der Grenze des Kreises liegen, definiert ihn als zyklisches Fünfeck. Ein klassisches Beispiel für ein zyklisches Fünfeck ist ein regelmäßiges Fünfeck.

Eigenschaften des Pentagons

Ein Pentagon ist eine zweidimensionale Form mit fünf Seiten und fünf Innenwinkeln. Zu seinen wichtigsten Eigenschaften gehören:

Die Summe der Innenwinkel in einem Fünfeck beträgt immer 540°.

Für ein reguläres Fünfeck:

• Alle fünf Seiten sind gleich lang.
• Alle Innenwinkel sind deckungsgleich und betragen jeweils 108°.
• Auch alle Außenwinkel sind mit einem Maß von 72° deckungsgleich.
• Regelmäßige Fünfecke haben fünf Symmetrielinien, die die Form in kongruente Teile unterteilen.
• Sie besitzen außerdem fünf Rotationssymmetrien.
• Fünf Diagonalen schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt innerhalb des Fünfecks.
• Das Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge in einem regelmäßigen Fünfeck ist der Goldene Schnitt, (1 + √5)/2.

Symmetrielinie

Die Anzahl der Symmetrielinien in einem regelmäßigen Vieleck entspricht der Anzahl seiner Seiten. Diese symmetrischen Linien erstrecken sich von einem Scheitelpunkt bis zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite und ergeben insgesamt 5 Linien, die das Fünfeck in deckungsgleiche Hälften teilen. Ein regelmäßiges Fünfeck hat fünf Symmetrielinien: eine horizontale, eine vertikale und drei Diagonalen.

Bereich des Pentagons

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Fünfecks lautet wie folgt:

Fläche = (5/2) × Seitenlänge × Apothemlänge

Diese Formel multipliziert die Hälfte des Umfangs (5/2) mit der Apothemlänge. Es handelt sich um eine Schlüsselformel zur Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Fünfecks anhand seiner Seiten- und Apothemmaße.

Apothem ist eine gerade Linie, die vom Mittelpunkt eines Polygons zu einer seiner Seiten verläuft und senkrecht zu dieser Seite oder einem Segment vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt einer Seite verläuft.

Wenn nur die Seitenlänge eines Fünfecks angegeben ist, dann

Fläche = 5 × Seitenlänge²/ (4 tan 36°) Quadratische Einheiten

Wenn nur der Radius eines Fünfecks angegeben ist, dann

Fläche = (5/2) × Radius²sin 72° Quadratische Einheiten

Bereich des unregelmäßigen Pentagons

Um die Fläche eines unregelmäßigen Fünfecks zu berechnen, können wir es in kleinere Dreiecke oder Vierecke aufteilen, die einzelnen Flächen dieser kleineren Formen berechnen und sie dann summieren, um die Gesamtfläche des unregelmäßigen Fünfecks zu ermitteln.

Mehr lesen: Bereich des Pentagons

Umfang des Pentagons

Dabei handelt es sich um die Gesamtstrecke, die um den Rand des Pentagons zurückgelegt wird. Die Formel für den Umfang oder Umfang eines Fünfecks lautet:

Umfang = (Seite 1 + Seite 2 + Seite 3 + Seite 4 + Seite 5)

Um den Umfang eines regelmäßigen Fünfecks zu ermitteln, müssen Sie die Länge einer einzelnen Seite mit fünf multiplizieren, da alle Seiten in einem regelmäßigen Fünfeck gleich lang sind.

Im Fall eines unregelmäßigen Fünfecks erfordert die Bestimmung des Umfangs die Addition der Längen aller fünf Seiten, da diese nicht gleich lang sind.

Die Leute lesen auch:

• Dreieck
• Viereck
• Diagonalformel
• Fünfeckige Pyramide
• Fünfeckiges Prisma
• Polygon
• Arten von Polygonen

Gelöste Beispiele zum Pentagon

Beispiel 1: Bestimmen Sie die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks, wenn Ayushi misst, dass eine seiner Seiten 10 cm lang ist und das Apothem (ein Segment von der Mitte zum Mittelpunkt einer Seite) 8 cm lang ist.

Lösung:

Gegebene Daten,

hochgestellt im Illustrator

Länge des Apothems = 8 cm

Seitenlänge = 10 cm

Fläche = ½ × Umfang × Apothem.

In diesem Fall beträgt der Umfang das Fünffache der Länge einer Seite, also 10 cm. Die Formel lautet also:

Fläche = ½ × 5 × 10 × 8.

Lösung dieser Gleichung:

Fläche = ½ × 5 × 10 × 8 = ½ × 400 = 200 Quadratzentimeter.

Daher beträgt die Fläche des regulären Fünfecks 200 Quadratzentimeter.

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks, wenn es eine Seitenlänge von 20 cm und ein Apothem von 15 cm hat.

Lösung:

Gegebene Daten,

Seitenlänge = 20 cm

Länge des Apothems = 15 cm

Fläche = ½ × Umfang × Apothem.

In diesem Fall beträgt der Umfang das Fünffache der Länge einer Seite, also 20 cm. Die Formel lautet also:

Fläche = ½ × 5 × 20 × 15.

Lösung dieser Gleichung:

Fläche = ½ × 5 × 20 × 15 = ½ × 1500 = 750 Quadratzentimeter.

Daher beträgt die Fläche des regulären Fünfecks 750 Quadratzentimeter.

Beispiel 3: Wenn der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks 400 cm beträgt, ermitteln Sie die Länge jeder Seite.

Lösung:

Der Umfang des regulären Fünfecks beträgt 400 cm.

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Der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Seiten und der Länge jeder Seite. In diesem Fall gibt es 5 Seiten, also:

Umfang = 5 × Seite

Jetzt können wir nach der Länge jeder Seite auflösen:

400 cm = 5 × Seite

Um die Länge jeder Seite zu ermitteln, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 5:

Seite = 400 cm / 5 = 80 cm

Die Länge jeder Seite des regulären Fünfecks beträgt also 80 cm.

Übungsaufgaben zum Pentagon

Q1. Wenn die Seitenlänge eines Umfangs 22 cm beträgt, wie groß wäre dann der Umfang des Pentagons?

Q2. Wenn der Umfang eines regulären Fünfecks 360 cm beträgt, wie lang wäre dann jede Seite?

Q3. Ermitteln Sie die Fläche eines Fünfecks mit einer Seitenlänge von 8 cm.

Q4. Ein reguläres Fünfeck hat eine Seitenlänge von 22 cm und eine Apothemlänge von 46 cm. Wie groß wären seine Fläche und sein Umfang?

F5. In wie viele Dreiecke kann ein Pentagon unterteilt werden?

Fazit des Pentagon

Ein Fünfeck ist eine zweidimensionale geometrische Figur mit fünf geraden Seiten und fünf Innenwinkeln, die zusammen 540 Grad ergeben. Als Polygon kann es regelmäßig sein, mit gleichen Seiten und Winkeln von 108 Grad, oder unregelmäßig, mit unterschiedlichen Längen und Winkeln. Der Begriff Pentagon leitet sich aus dem Griechischen ab und weist auf seine fünfeckige Natur hin.

Im wirklichen Leben sind Fünfecke in verschiedenen Formen zu sehen, beispielsweise in der architektonischen Gestaltung des Pentagon-Gebäudes, in der Form eines Fußballs und in der Körperstruktur von Stachelhäutern wie Seesternen. Ein Fünfeck besteht aus Seiten, Eckpunkten und Diagonalen, wobei letztere nach der Formel berechnet werden N ( N −3) ÷2, was fünf für ein Fünfeck ergibt. Es umfasst Innenwinkel, die zur inneren Summe von 540 Grad der Form beitragen, und Außenwinkel, die zusammen die äußere Ausrichtung des Polygons widerspiegeln.

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Pentagon – FAQs

Was ist ein Pentagon in der Geometrie?

Ein Fünfeck ist eine zweidimensionale, geschlossene geometrische Form, die durch fünf gerade Seiten und fünf Winkel gekennzeichnet ist.

Wie viele Seiten hat das Pentagon?

Es gibt 5 Seiten in einem Pentagon.

Wie viele Symmetrielinien hat das Pentagon?

Ein regelmäßiges Fünfeck, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind, hat 5 Symmetrielinien.

Kann ein Pentagon ein Parallelogramm sein?

Nein, ein Pentagon ist kein Parallelogramm. Ein Fünfeck ist ein fünfseitiges Polygon und ein Parallelogramm ist ein vierseitiges Polygon.

Schreiben Sie den Unterschied zwischen regelmäßigem und unregelmäßigem Fünfeck?

Wenn alle Seiten und Winkel eines Fünfecks die gleiche Länge und das gleiche Maß haben, wird es als regelmäßiges Fünfeck bezeichnet; andernfalls spricht man von einem unregelmäßigen Pentagon.

Welchen Wert hat der Innenwinkel des Pentagons?

Jeder Innenwinkel des regulären Fünfecks beträgt 540° ÷ n = 540° ÷ 5 = 108°.

Kann ein Pentagon konkav sein?

Polygone, einschließlich Fünfecke, weisen konvexe oder konkave Eigenschaften auf. Ein Polygon, beispielsweise ein Fünfeck, ist konvex, wenn alle seine Innenwinkel weniger als 180° betragen. Andererseits wird es als konkav klassifiziert, wenn es einen oder mehrere Innenwinkel von mehr als 180° aufweist.

Was sind einige Beispiele aus dem wirklichen Leben für Pentagonformen?

• Ein Diamant kann mit seinen fünf Seiten und fünf Ecken einem Fünfeck ähneln.
• Das Hauptquartier des US-Verteidigungsministeriums ist aufgrund seiner architektonischen Ähnlichkeit mit der Form eines Fünfecks auch als Pentagon bekannt.
• Ein Fußball besteht aus mehreren fünfeckigen schwarzen und weißen Feldern mit fünfeckiger Form.
• Stachelhäuter weisen wie Seesterne eine fünfeckige Symmetrie in ihrem Körperbau auf.

Was ist die Summe der Innenwinkel des Pentagons?

Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks, egal ob regelmäßig oder unregelmäßig, beträgt 540 Grad. Dies kann mit der Formel für die Summe der Innenwinkel eines Polygons berechnet werden: ( N −2) × 180°, wobei N ist die Anzahl der Seiten.

Was ist die Summe der Außenwinkel des Pentagons?

Die Summe der Außenwinkel eines Polygons, einschließlich eines Fünfecks, beträgt immer 360 Grad.

Wie berechnet man die Pentagon-Formel?

• Die Anzahl der Diagonalen in einem Polygon mit „n“ Seiten kann wie folgt berechnet werden: n × (n – 3) ÷ 2 = 5 × (5 − 3) ÷ 2 = 5.
• Die Summe der Innenwinkel in einem Polygon kann zu 180° × (n – 2) = 180° × (5 − 2) = 540° berechnet werden. In einem regelmäßigen Fünfeck misst jeder Außenwinkel 360° ÷ n = 360° ÷ 5 = 72°.
• In einem regelmäßigen Fünfeck beträgt jeder Innenwinkel 540° ÷ n = 540° ÷ 5 = 108°.
• Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks kann mit der Formel berechnet werden: 1/2 × Umfang × Apothem.
• Der Umfang des Fünfecks ist die Summe seiner fünf Seiten.

Wie können wir die Summe der Pentagonwinkel berechnen?

Um beispielsweise die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks zu ermitteln, verwenden wir die Formel: S = ( n-2) x 180°; hier ist n = 5. Daraus ergibt sich (5-2) x1 80° = 3 x 180° = 540°.