Funktionen In der Mathematik kann man sich Dinge wie Verkaufsautomaten vorstellen. Für das Geld in Form von Input geben sie im Gegenzug einige Dosen oder Kekse. In ähnlicher Weise nehmen Funktionen einige Eingabezahlen entgegen und geben uns eine Ausgabe. Man kann sagen, dass im wirklichen Leben alles mit Hilfe von Funktionen formuliert und gelöst werden kann. Von Gebäudedesign und Architektur bis hin zu Mega-Wolkenkratzern erfordert das mathematische Modell von fast allem im wirklichen Leben Funktionen. Daher lässt es sich nicht vermeiden, dass Funktionen in unserem Leben eine enorme Bedeutung haben. Domäne und Bereich sind ein Aspekt, durch den eine Funktion beschrieben werden kann.
Zum Beispiel: Angenommen, oben auf dem Automaten steht, dass nur 20- und 50-Rs-Scheine zum Kauf von etwas verwendet werden können. Was wäre, wenn jemand 10-Rs-Scheine verwendet? Die Maschine gibt keine Ausgabe ab. Die Domäne stellt also dar, welche Art von Eingaben wir in einer Funktion haben können. In diesem Fall sind 20- und 50-Rs-Scheine die Domäne des Verkaufsautomaten. Ebenso spielt es keine Rolle, wie viel Geld jemand in den Automaten steckt, er/sie wird nie Sandwiches daraus bekommen. Hier kommt also das Konzept der Reichweite ins Spiel. Reichweite ist die mögliche Leistung, die eine Maschine liefern kann.
Alphabet aus Zahlen
Bereich und Domäne einer Funktion
Domäne einer Funktion:
Eine Domäne umfasst alle Werte, die in eine Funktion eingehen können, für die sie eine gültige Ausgabe liefert. Es ist die Menge aller möglichen Eingaben für eine Funktion.
Zum Beispiel: In der Abbildung unten ist f(x) = x2. Die Menge aller Eingaben wird als Domäne bezeichnet und die Menge aller Ausgaben wird als Bereich betrachtet.
Wie finde ich den Definitionsbereich einer Funktion?
Der Definitionsbereich der Funktion sollte alle reellen Zahlen enthalten, mit Ausnahme der Punkte, an denen der Nenner Null wird und Terme unter Quadratwurzeln negativ werden. Um den Bereich zu finden, versuchen Sie, die Punkte oder Eingabewerte zu finden, über die die Funktion nicht definiert ist.
Frage 1: Finden Sie die Domäne von
Antwort:
Diese Funktion kann eine undefinierte Ausgabe liefern, wenn x = 1. Die Domäne ist also R – {1} .
Frage 2: Suchen Sie die Domäne der folgenden Funktion:
Antwort :
Es ist wichtig, die Funktion weder unendlich noch undefiniert zu machen. Daher müssen wir sehen, welche Domänenwerte die Funktion undefiniert oder unendlich machen können.
Ein Blick auf den Nenner zeigt, dass die Werte 3 und 5 den Nenner zu 0 machen und somit die Funktion unendlich machen, was nicht wünschenswert ist.
Daher können die Werte x=3 und x=5 hier nicht platziert werden.
Die Domain wird sein R – {3,5}.
Frage 3: Finden Sie die Domänenwerte, für die die Funktionen Y = (2x 2 -1) und Z= (1-3x) sind gleich.
Antwort :
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Gleichsetzung der beiden Funktionen:
2x2– 1 = 1 – 3 x
2x2+ 3x – 2 = 0
2x2+ 4x – x – 2 = 0
2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0
(2x – 1) (x + 2) = 0
x = 1/2, -2.
Daher sind die Domänenwerte {1/2, -2}.
Bereich einer Funktion
Der Bereich einer Funktion ist eine Menge aller ihrer möglichen Ausgaben.
Beispiel: Betrachten wir eine Funktion ƒ: A⇢A, wobei A = {1,2,3,4}.
Die Elemente der Set-Domäne werden als Vorbilder bezeichnet, und Elemente der Set-Co-Domäne, die auf Vorbilder abgebildet sind, werden als Bilder bezeichnet. Der Bereich einer Funktion ist eine Menge aller Bilder von Elementen im Definitionsbereich. In diesem Beispiel ist der Bereich der Funktion {2,3}.
Wie finde ich den Bereich einer Funktion?
Der Bereich ist die Streuung der Werte der Ausgabe einer Funktion. Wenn wir in der Lage sind, die maximalen und minimalen Werte der Funktion zu berechnen, können wir uns eine Vorstellung vom Bereich der Funktion machen.
Frage 1: Finden Sie die Reichweite. f(x) =
Antwort:
Da die Funktion nun eine Quadratwurzel ist, kann sie niemals negative Werte als Ausgabe liefern. Der Minimalwert kann also bei x = 1 nur 0 sein. Der Maximalwert kann bis ins Unendliche ansteigen, wenn wir x weiter erhöhen.
Der Bereich der Funktion ist also [0,∞).
Frage 2: Der Definitionsbereich der Funktion ƒ definiert durch f(x) =
Antwort:
Gegeben sei f(x) =
frac{1}{sqrtx – } .Escape-Zeichen JavaBei der Auswahl des Domänensatzes müssen zwei Dinge sichergestellt werden:
- Der Nenner geht nie auf Null.
- Der Term liegt innerhalb der Quadratwurzel und wird nicht negativ.
Erweitern wir das, was im Term innerhalb der Quadratwurzel geschrieben steht.
sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases} LokaldatumIn diesem Fall können wir keinen der Werte x ≥ 0 oder x <0 setzen.
Daher ist f für kein x ∈ R definiert. Der Definitionsbereich ist also eine leere Menge.
Bereich und Bereich quadratischer Funktionen
Quadratische Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = ax2+ bx + c, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0. Der Graph einer quadratischen Funktion hat die Form einer Parabel. Es handelt sich im Grunde um eine gebogene Form, die sich nach oben oder unten öffnet.
Schauen wir uns an, wie man quadratische Funktionen grafisch darstellt.
Also in unserer quadratischen Funktion
- ist a> 0, öffnet sich die Parabel nach oben.
- wenn a <0, öffnet sich die Parabel nach unten.
Nun ist der Scheitelpunkt der höchste oder niedrigste Punkt unserer Kurve, abhängig vom Graphen der quadratischen Funktion. Den Scheitelpunkt des Graphen eines allgemeinen quadratischen Ausdrucks finden.
In der quadratischen Standardform ist der Scheitelpunkt gegeben durch
Notiz: Jede Kurve ist symmetrisch um ihre vertikale Achse.
Schauen wir uns einige Beispiele an,
Frage: Zeichnen Sie den Graphen von f(x) = 2x 2 + 4x + 2.
Antwort:
Vergleich dieser Gleichung mit der allgemeinen quadratischen Funktionsgleichung. a = 2, b = -4 und c = 2.
ipconfig für UbuntuDa a> 0 ist, öffnet sich diese Parabel nach oben.
- Scheitelpunkt-x-Wert =
frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1 - Scheitelpunkt-y-Wert = 2(-1)2+ 4(-1) + 2 = 0
Der Scheitelpunkt liegt also bei (-1,0). Da sich die Parabel nach oben öffnet, muss dies der Minimalwert der Funktion sein.
Der Punkt, an dem der Graph die Y-Achse schneidet, ist (0,2).
Bereich und Bereich quadratischer Funktionen lassen sich leicht durch Zeichnen des Diagramms ermitteln. Es ist nicht immer notwendig, den gesamten Graphen darzustellen. Für die Entfernung sollten nur die Richtung der Parabel (nach oben oder unten) und der Wert der Parabel am Scheitelpunkt bekannt sein. Der Wert am Scheitelpunkt ist je nach Richtung der Parabel immer entweder Minimum/Maximum. Der Definitionsbereich solcher Funktionen sind immer ganze reelle Zahlen, da sie überall definiert sind, d. h. Es gibt keinen Eingabewert, der dazu führen könnte, dass sie undefiniert als Ausgabe ausgeben.
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel bezüglich der Domäne und Reichweite der Parabel an.
Frage: Zeichnen Sie den Graphen und ermitteln Sie den Definitionsbereich und den Bereich der gegebenen Funktion, f(x) = -x 2 + 4.
Antwort:
Da a = -1. Die Parabel öffnet sich nach unten, d. h. Es wird keinen Mindestwert geben, er reicht bis ins Unendliche. Es wird jedoch einen Maximalwert geben, der am Scheitelpunkt auftritt.
Um die Position des Scheitelpunkts zu ermitteln, kann die vorherige Formel verwendet werden. Der Scheitelpunkt liegt an der Position (0,4).
Der Wert am Scheitelpunkt (0,4) = (0)2+ 4 = 4.
Der Maximalwert ist also 4 und der Minimalwert ist negativ von Unendlich.
Bereich der Funktion – (-∞, 4] und der Definitionsbereich ist R .
